лекция. глава4_5_6_2018. Макро и микромоделирование глава 4 Метод конечных элементов
 Скачать 1.17 Mb.
|
|
, соответствующих четырем узлам элемента. Пробная функция U ˆ может быть получена отбрасыванием двух членов из полного полинома 2-го порядка, который содержит шесть членов. От- брасывание симметричной пары 2 2 , y x с целью сохранения геометрической изотропии дает простую пробную функцию xy y x U 4 3 2 1 ˆ , (4.83) которая линейно меняется вдоль границы элемента. Здесь 1 - 4 явля- ются обобщенными координатами элемента. Поочередно используя (4.83) для четырех узлов, получим следующие уравнения: 4 4 4 4 3 4 2 1 1 3 3 4 3 3 3 2 1 3 2 2 4 2 3 2 2 1 2 1 1 4 1 3 1 2 1 1 y x y x U y x y x U y x y x U y x y x U (4.84) В матричном обозначении система (4.84) может быть записана как 144 A U e , (4.85) где T e U U U U U 4 3 2 1 - узловой вектор элемента 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 y x y x y x y x y x y x y x y x A (4.86) T 4 3 2 1 Равенство (4.83) позволяет записать x U ˆ , (4.87) где xy y x x 1 Матрица [A] может быть обращена, если ее определитель отличен от нуля. Можно показать, что 2 det A , (4.88) где - площадь прямоугольника. Следовательно, det Aне равен нулю, если матрица [А] не вырождена. Обращая [ А ], получим e U A 1 (4.89) Подставляя (4.89) в (4.87), получим равенство e U A x U 1 ˆ , (4.90) которое переписано в виде e U N U ˆ , (4.91) 145 где матрица формы [N] есть 1 A x N (4.92) Описанная процедура может быть записана и в терминах локальной си- стемы - координат 0 , где например 0 совпадает c узлом - I, а оси и параллельны осям X и Y(рисунок 4.8). Последующие действия упрощают- ся благодаря обозначениям , 2 3 1 4 4 3 1 2 y y y y b x x x x a (4.93) Для лагранжевых элементов с известной в явном виде формой аппрок- симирующего полинома базисные функции в принципе всегда могут быть вычислены согласно описанной процедуре. В случае больших алгебраиче- ских выражений можно прибегнуть к численному расчету базисных функ- ций. Для эрмитовых элементов приведенный подход требует модифика- ций. 4.6.2 Получение базисных функций интерполяцией Рассмотрим тот же элемент, но представим, что пробная функция, за- данная равенством (4.83), неизвестна. Однако связь базисной функции с пробной Uˆ всегда известна e e U U U U N N N N U N U 4 3 2 1 4 3 2 1 ] [ } ]{ [ ˆ (4.94) Базисная функция должна иметь значение I в узле K и нулевое значе- ние во всех других узлах; при этом Uˆ сводится к k U , когда уравнение (4.94) рассматривается в узле K. Как показано будет ниже, применение этих свойств позволяет использовать интерполяционные формулы для по- лучения базисной функции. 146 4.6.3 Лагранжевые элементы Рассмотрим аппроксимацию функции U(x) полином n-го порядка, где значение U(x) заданы как U 1 ,...,U R+1 в (R+1) точках X 1 ,....,X R+1 Из численного анализа известно, что функция U(X) может быть запи- сана как полином n-го порядка 1 1 ) ( ) ( R i i i U x L x U , (4.95) где L i (X) полином Лагранжа, определяемый равенством 1 , 1 ) ( R i j i j i j i x x x x x L (4.96) Следует отметить, что так называемые базовые точки X 1 ,…,X R+1 не обязательно расположены равномерно, хотя это часто бывает удобным. Использование равенств (4.95) и (4.96) по стороне 1-2 прямоугольника е позволяет определить U ˆ на этой стороне 2 2 1 1 2 1 ) ( ) ( ˆ U x L U x L U , (4.97) где 2 1 2 1 x x x x L , 1 2 1 2 x x x x L (4.98) Аналогично для строки 4-3 получим 4 2 3 1 3 4 ) ( ) ( ˆ U x L U x L U , (4.99) где L 1 (x) и L 2 (x) - определены равенством (4.98). Представление типа (4.97) и (4.99) используется при постоянных (y=y 1 и y=y 4 ). Снова может быть применена интерполяционная формула Ла- гранжа, на этот раз в направлении оси у 147 3 4 2 2 1 1 ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ U y L U y L U , (4.100) 4 1 4 1 y y y y L , 1 4 1 2 y y y y L (4.101) Подстановка равенств (4.97) и (4.99) в (4.100) позволяет окончательно записать пробную функцию U ˆ элемента е в виде: 4 2 2 3 2 1 2 1 2 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ U y L x L U y L x L U y L x L U y L x L U (4.102) Рисунок 4.8 - Четырехугольный элемент Сравнивая выражение (4.102) и (4.94), получим базисные функции в виде ), ( ) ( ), ( ) ( 2 1 3 1 1 1 y L x L N y L x L N ). ( ) ( ), ( ) ( 2 2 4 1 2 2 y L x L N y L x L N (4.103) Можно показать, что базисные функции, полученные подстановкой ра- венств (4.98) и (4.101) в (4.103), идентичны базисным функциям, следую- щим из (4.91), что свидетельствует об эквивалентности обоих подходов. Проверка этого факта предоставляется вам в качестве упражнения. h ξ 0 1 4 3 2 148 4.6.4 Эрмитовые элементы Базисные функции для эрмитовых элементов могут быть получены аналогичным образом, но с использованием эрмитовых полиномов вместо полиномов Лагранжа. При этом узловой вектор будет включать не только узловые значения функции, но и ее производные. Для иллюстрации рассмотрим одномерный элемент е с sузлами, при- чем узлы не обязательно расположены равномерно. Пусть у каждого узла имеются две степени свободы - функция U и ее производная x U . Сле- довательно, пробная функция для элемента e может быть записана в виде S i i i i i x U x N U x N U 1 1 0 ) ( ) ( ˆ (4.111) У базисной функции в равенстве (4.111) первый индекс обозначает по- рядок дифференцирования соответствующей узловой переменной, а вто- рой - номер узла. Для того, чтобы (4.111) в узле k: U давало U k и x U k , функции ) ( 0 x N i и ) ( 1 x N i должны (i j) удовлетворять соотношениям , 0 ) ( , 0 ) ( , 0 ) ( , ) ( 0 0 0 0 xj N xj N x N I x N i i i i i i 0 ) ( , 0 ) ( , ) ( , 0 ) ( 1 1 1 1 xj N xj N I x N x N i i i i i i (4.112) Равенствам (4.112) удовлетворяют эрмитовы полиномы S i j j S i j j j i j j i j i x x x x x x x x N , 1 , 1 2 2 0 2 1 ) ( ) ( , (4.113) 149 S i j j i j i j i x x x x x x N , 1 2 2 1 ) ( ) ( , (4.114) Рассмотрим случай S=2. Равенство (4.111) при этом примет вид x U x N U x N x U x N U x N U 2 12 2 02 1 11 1 01 ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ , (4.115) где базисные функции ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( , 2 1 ) ( ) ( ) ( , 2 1 ) ( ) ( ) ( 2 2 1 2 2 1 12 1 2 1 2 2 2 11 1 2 2 2 1 2 2 1 02 1 2 1 2 1 2 2 2 01 x x x x x x x N x x x x x x x N x x x x x x x x x N x x x x x x x x x N , (4.116) полученные из (4.113), (4.114) и (4.115). В случае использования локаль- ных координат =(x-x 1 )/L, где L=x 2 -x 1 , равенство (4.115) и (4.116) прини- мают вид x U N U N x U N U N U 2 12 02 1 11 01 ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ , (4.117) где ; ) 1 ( ) ( ; 2 3 1 ) ( 2 11 3 2 01 L N N ). ( ) ( ; 2 3 ) ( 2 3 12 3 2 02 L N N , (4.118) Узловые производные x U 1 и x U 2 могут быть заменены 1 U и 2 U ра- венствами 150 L x 1 , (4.119) Описанная процедура обобщена включением дополнительно к функци- ям и ее первым производным также производных от U более высокого по- рядка. Для двумерных элементов интерполяция применяется дважды: пер- вая - в направленииоси Xи вторая -в направлении оси Y , что дает базис- ные функции в виде произведения одномерных базисных функций. 4.6.5 Естественные координаты Когда используется произвольная глобальная система координат, зна- чения узловых координат ограничены только границами области. Было бы полезным упрощением, если бы экстремальные значения этих координат принимали значение - 1,0 или 1. Этого можно достичь выбором локальной системы координат, привязанной к элементу так, чтобы координаты меня- лись линейно между нормированными узловыми координатами. Система координат такого типа называется системой естественных координат. Преимущество естественных координат состоит в том, что интегриро- вание по элементу для МКЭ зачастую проводится в стандартном аналити- ческом виде. В качестве примера рассмотрим естественные координаты в одномер- ном случае (рисунок 4.9). Вводя локальную систему координат 1 O , с нача- лом в X 1 и с осью ξ 1 , направленной вдоль оси Х, получим систему есте- ственных координат. Рисунок 4.9 - Одномерный элемент Û x 0 1 x 1 x 2 е 151 Преимущество естественных координат состоит в том, что интегриро- вание по элементу для МКЭ зачастую проводится в стандартном аналити- ческом виде. В качестве примера рассмотрим естественные координаты в одномер- ном случае (рисунок 4.9). Вводя локальную систему координат 1 О , с началом в X 1 и с осью ξ 1 , направленной, вдоль оси X, получим 1 1 x x (4.120) или, разделив на длину элемента (x 2 -x 1 ), 1 2 1 x x x x (4.121) Черта сверху используется для нормированной координаты Если вы- брана локальная система 2 О с началом в осях, то получим 1 2 2 2 x x x x (4.122) Из равенства (4.121) можно заметить, что ξ 1 =0 при x=x 1 и 1 =1 при x=x 2 . Аналогично из (4.122) следует, что 2 =1 при x=x 1 и 2 =0 при x=x 2 Легко удостовериться, что 1 и 2 совпадают с L 2 (X)и L 1 (X) - полиномами Лагранжа, ранее определенными. Отметим, что обе координаты изменяют- ся линейно и независимой является одна из координат 1 ) ( ) ( 2 2 2 1 x L x L , (4.123) которая легко доказывается. Таким образом, естественные координаты 1 и 2 или L2 и L1, являют- ся функциями независимой переменной x узловых координат x1 и x2 при- нимают значения 1 в одном узле и 0 - в другом. Поэтому аппроксимацией для Uˆ на элементе е будет 152 2 1 1 2 ˆ U U U (4.124) или 2 2 1 1 ) ( ) ( ˆ U x L U x L U (4.125) Сравнение показывает, что пробная функция ), ( 1 1 x L N ) ( 2 2 x L N (4.126) Для рассмотрения элемента можно показать, что пробная функция x U 2 1 ˆ (4.127) дает те же базисные функции, что и в уравнении (4.126); хотя оба мето- да довольно просты, интерполяционный метод обычно более выгоднее для элементов более сложного вида. Обычно элементные вклады в функционал могут быть выражены инте- гралами вида e e h b a b a dx x L x L )! 1 ( ! ! ) ( ) ( 3 2 0 1 , (4.128) где h e - длина элемента, a и b - целочисленные показатели. Естественные координаты имеют место в дву- и трехмерных случаях. 4.6.6 Семейства конечных элементов Одномерные элементы. Можно ограничиться элементами, рассмотрен- ными нами ранее, - линейными и квадратичными (рисунок 4.10). 153 1 2 1 2 3 Рисунок1.12 Рисунок 4.10 - Одномерные элементы Двумерные элементы. Наиболее простыми являются треугольные эле- менты. Следующий возможный тип, который широко распространен,- это прямоугольные или в общем случае, четырехугольные элементы. Лагранжевые семейства треугольных элементов. Эти элементы могут быть сформулированы просто выбором достаточного числа узлов, обеспе- чивающих единственное решение для коэффициентов выбранной полино- миальной пробной функции. Полный полином порядка n содержит ) 2 )( 1 ( 2 1 n n S коэффициентов: S-узловой лагранжевый элемент, осно- ванный на этом полиноме, должен содержать такое же число узлов. ) 2 )( 1 ( 2 1 n n S (4.129) Все эти элементы характеризуются непрерывностью пробных функций при переходе через границу между элементами, и, следовательно, по всей области, где решается задача. В таблице 4.1 приведены основные типы треугольных конечных эле- ментов. Эрмитовые семейства треугольных элементов приведены в таблице 4.2. Термин “связанный” в таблице 4.2 означает следующее: связанный поли- ном - это полный полином, коэффициенты которого подчиняются одному или нескольким уравнениям связи. 154 Таблица 4.1 - Основные типы треугольных конечных элементов. Элементы Тип Порядок полинома Число членов пробной функций Линейный 1 3 Квадратичный 2 6 Кубичный 3 10 Четвертой сте- пени 4 15 Пятой степени 5 21 155 Таблица 4.2 - Эрмитовые семейства треугольных элементов Элементы Полином Количе- ство степеней свободы Узловой параметр Узловой вектор Непре- рывные Квадра- тичный 6 U n U U Кубиче- ский 12 y U x U U n U n U U U несо- гла сован- ное Связан- ный Кубиче- ский 9 y U x U U x U U U согла- сован- ное Четвер- той Степени 15 y U x U U n U U U Четырехугольные и прямоугольные элементы. Прямоугольные элемен- ты сами по себе не очень удобны в применении к нерегулярным границам, но очень часто используются совместно с широко распространенными треугольными элементами. Они подразделяются на Лагранжевые прямоугольные элементы 156 n i m j ij ij U N U 1 1 ˆ , (4.130) где ) ( ) ( y L x L N n i m j ij Первый элемент- билинейный КЭ - наиболее популярный (таблица 4.3). Таблица 4.3 - Сирендиповы элементы Элементы Тип Число узлов Линейный 4 Квадратичный 8 Кубический 12 Для определения базисных функций используются следующие непол- ные полиномиальные функции: 3 7 2 6 5 2 4 3 2 1 2 8 2 7 2 6 5 2 4 3 2 1 4 3 2 1 ˆ , ˆ , ˆ U U U (4.131) 3 12 3 11 3 10 2 9 2 8 В этих уравнениях из полного полинома для сохранения геометриче- ской изотропии опущены симметричные пары членов. Эрмитовы элементы. Параметрами в этих элементах являются значения y x U y U x U U 2 , , , |