лекция. глава4_5_6_2018. Макро и микромоделирование глава 4 Метод конечных элементов
 Скачать 1.17 Mb.
|
|
. 157 На рисунке 4.8 представлен эрмитов прямоугольный элемент первого порядка. Пробная функция является неполным полиномом шестого поряд- ка. Трехмерные элементы. Трехмерные задачи обусловливают большое число степеней свободы. Даже с умеренным числом элементов система может иметь несколько тысяч неизвестных. Поэтому неудивительно, что трехмерные конструкции, даже типа оболочек, которые используются в летательных аппаратах, автомобилях и кораблях, могут содержать десятки тысяч неизвестных. Далее выгоднее выбирать элементы с узловыми параметрами в верши- нах. Лагранжевы элементы (рисунок 4.11). Рисунок 4.11 - Лагранжевы элементы Эрмитовые элементы (рисунок 4.12). z U y U x U U , , , 16 степеней свободы Рисунок 4.12 - Эрмитовые элементы 158 Шестигранные элементы (рисунок 4.13) Их часто называют "кирпичиками". Большая часть их принадлежит к Лагранжеву и Сирендипову семейству. Рисунок 4.13 - Шестигранные элементы Изопараметрические элементы. При расчете областей, имеющих кри- волинейные границы, для удовлетворительного геометрического пред- ставления этих границ необходимо использовать большое количество гра- ничных элементов с прямыми гранями. Если используются криволинейные элементы то число необходимых элементов может быть заметно сокраще- но и в результате уменьшится общее число переменных в системе. Осо- бенно это может быть полезным для трехмерных задач. Широко используемый на практике метод основывается на отображе- нии регулярных (прямореберных) элементов. Если известны базисные функции для регулярного порождающего элемента в локальной системе координат, то можно определить и порожденный криволинейный элемент. Как было показано Айронсом и Зенкевичем, отображение из локальной си- стемы координат ξηζ в декартову XYZ осуществляется посредством соот- ношений }. ]{ [ }, ]{ [ }, ]{ [ z N z y N y x N x m m m (4.132) Элементы в уравнениях (4.132), которые входят в матрицу базисных функций [T], являются функциями от ξ, η, ζ,, а столбцы {X},{Y},{Z} обра- зуют список значений узловых (естественных) координат по отношению к 159 глобальной системе. В локальной системе координат пробная функция может быть записана в виде } ]{ [ ˆ U N U , (4.133) где элементы [N] зависят от ξ, η, ζ,. Для любой точки с координатами ξ η ζ, по уравнению могут быть полу- чены соответствующие точки в Х, У, Z (рисунок 4.16). Значение пробной функции в точке (X, У, Z) совпадает со значением функции в соответствующей точке (ξ, η, ζ,) и его можно вычислить с по- мощью уравнения (4.133). Удобно выбирать матрицы базисных функций [N m ] и [N]одинакового вида. В этом случае порожденный элемент называется изопараметриче- ским. Если [N m ] имеет меньший порядок, чем [N], то полученный элемент называется субпараметрическим. Если наоборот, то суперпараметриче- ским. Если в уравнениях (4.132) и (4.133) используют базисные функции, то двумерный прямоугольный отображается на произвольный четырехуголь- ник, а трехмерные кирпичики станут шестигранниками с плоскими, но не параллельными гранями. Для получения криволинейных элементов можно использовать отображения более высокого порядка, такие как квадратич- ные или кубичные. Преобразования из локальных координат в глобальные осуществляется с использованиями матриц преобразования между [T]. Например, элемент- ная матрица [K] e в системе глобальных координат записывается как }, ]{ [ } { ], [ ] [ ] [ ] [ U T U T K T K L e L T e (4.134) где e L K –элементная матрица в местной системе координат. 160 4.6.7 Выбор конечных элементов Сформулируем несколько рекомендаций, помогающих выбору элемен- та. 1) Для пробной функции должны существовать все производные, появ- ляющиеся в функционале. Поэтому желательно применять элементы, ос- нованные на полном полиноме. 2) Для задач с регулярными границами обычно выбирают элементы простой геометрии, тогда как для криволинейных границ выбор более сложен (изопараметрический элемент ). 3) Следует в первую очередь выбирать элементы, у которых узловые параметры концентрируются в вершинах. Элементы с производными представляют интерес тогда, когда решение включает производные, по- скольку в этом случае нет необходимости вычислять их последующей ин- терполяцией. 4.7 МКЭ в задачах теории пластичности Охватить все термопластические свойства, проявляющиеся при сварке, в рамках единой теории - задача трудно осуществимая [10,11]. Поэтому для ее решения при определении сварочных напряжений и деформаций использовались, как теория малых упругопластических деформаций [10], так и теория пластического течения [11]. Уравнения теории малых упруго- пластических деформаций устанавливают связь между напряжениями и деформациями, уравнения теории течения - между бесконечно малыми приращениями этих величин. Как известно, в случае простого нагружения обе теории дают одинаковый результат. Однако при сварке процесс нагру- жения изделия имеет сложный характер [10,11]. Поэтому дифференциаль- ная форма уравнений теории течения позволяет более полно отразить ис- торию нarpyжения тела. Теория неизотермического пластического течения базируется на сле- дующих основных положениях [11]. 1. Приращения полной деформации представляются в виде суммы 161 0 d d d d p e , (4.135) где e d - приращения упругой деформации, 0 d - приращения терми- ческой деформацией. 2. Накопленная пластическая деформация p при активном нагруже- нии для любых напряженных состояний и постоянной температуры опре- деляется одной и той же функцией текучести 0 , , , T f (4.136) Здесь под подразумевается текущий вектор напряжений, - па- раметр упрочнения. Функция текучести характеризует переход материала из упругого со- стояния в пластическое. В частности, при f<0 материал деформируется по упругому закону, при f=0 наступает состояние текучести. Принято, что со- стояниеf>0 не может быть реализовано. При использовании критерия Губера-Мизеса функция текучести имеет вид 0 T f T , (4.137) где - интенсивность напряжений, ) (T T - мгновенный предел текуче- сти, заданный в виде билинейной функции. В случае плоского напряженного состояния интенсивность напряжений вычисляется как 2 2 2 3 xy y y x x , (4.138) а в случае объемного напряженного состояния 2 2 2 2 2 2 3 2 zx yz xy z x z y y x (4.139) 162 3. В ассоциированном законе течения приращение вектора пластиче- ских деформаций p d пропорционально вектору производных функций текучести по напряжениям: a f d p , (4.140) где - некоторый неотрицательный скалярный множитель. Соотношение (4.140) означает, что пластическое течение развивается по нормали к поверхности текучести. Перейдем к выводу физического уравнения связи между приращения- ми напряжений и приращениями деформаций в неизотермической теории течения. Используя формулу (4.140), можно переписать соотношение (4.135) в виде a d dT T D d D d 0 1 1 (4.142) Умножим обе части этого равенства на величину D a T . В результате получим 0 1 a D a d D a dT T D D a d a d D a T T T T T (4.143) Для того чтобы найти величину d a T , продифференцируем условие текучести (4.137). Если при этом не учитывается деформационная анизо- тропия, считая 0 p f , то получим 0 dx f dT T f d f df (4.144) Отсюда A dT T f d a T , где d f A 1 163 Можно показать, что при изотропном упрочнении величина Aесть наклон кривой деформирования материала для текущего состояния, то есть T E A , где T E - тангенс угла наклона кривой деформирования в билиней- ном законе упрочнения. Тогда равенство (4.137) с учетом этого выражения запишется в виде 0 1 a D a d D a A dT T D D a dT T f d D a T T T T (4.145) Отсюда находим выражение для определения : A a D a dT T f dT T D D a d D a d D a T T T 1 0 (4.146) Когда элемент находится в пластической зоне, нагружение или раз- грузка его контролируется знаком множителя . При соблюдении условии (4.143) возможны следующие случаи: а) 0 - элемент находится в пластической зоне; б) 0 - элемент разгружается, находясь в пластическом состоянии. Подставляя значение в уравнение (4.142) и решая его относительно d , имеем dC d d D D d p 0 или dC d d D d ep 0 (4.147) Матрица ep D занимает место матрицы упругости, связывая прираще- ния напряжений и деформаций в упругопластической области. Она сим- метрична и имеет смысл независимо от того, равен ли нулю наклон кривой 164 деформирования (случай идеального упругопластического тела). Впервые эта матрица была введена в работе [6]: A a D a D a a D D D T T ep (4.148) Вектор-столбец dC учитывает суммарное влияние изменения темпе- ратуры и параметров упругости и выглядит в виде dT a D a T f a D T D D dC T ep 1 (4.149) Таким образом, уравнение (4.141) выражает связь между приращения- ми напряжений и деформаций в неизотермической теории течения для идеального упругопластического материала с учетом зависимости от тем- пературы модуля упругости и предела текучести. Аналогичное выражение для случая объемного напряженного состоя- ния выглядит следующим образом: S d E dE E dE d d D d T T ep 0 , (4.150) где ; ; T zx yz xy z y x T zx yz xy z y x S d d d d d d d 2 2 2 ' ' ' 2 ' ' ' ' ' 2 ' ' ' ' ' ' ' 2 1 zx zx yz yz zx xy yz xy xy zx z yz z xy z z zx y yz y xy y z y y zx x yz x xy x z x y x x ep сим Q E D D ; (4.151) A Q zx yz xy z y x 2 2 2 2 2 2 2 ; (4.152) 165 0 0 0 0 ; ; ; 3 z z y y x x z y x (4.153) При разгрузке элементов, находящихся в пластической области, вели- чина в уравнении (4.149) принимает отрицательное значение, то есть 0 . Тогда связь между приращениями напряжений и деформаций будет определяться не соотношением (4.150), а уравнением неизотермической теории упругости E dE d d D d 0 Отметим, что уравнение связи для трехмерной задачи (4.150) и для плоско-напряженного случая одинаково по структуре. Сравнивая выраже- ния для матриц упругости и упруго-пластичности, можно отметить, что диагональные элементы ep D меньше соответствующих диагональных элементов D . Это снижает жесткость или усилия сдвига, вызывающие текучесть. Следует особо отметить, что матрица ep D учитывает сжимае- мость материала в упругой области и несжимаемость в пластической обла- сти. Соотношения, полученные выше, между приращениями напряжений и приращениями деформаций справедливы только для бесконечно малых изменений этих величин. Рассмотрим напряженное состояние точки тела после того, как тело получило приращение вектора перемещений i вследствие термической нагрузки (рисунок 4.14). Пусть до приращения точка находилась в поло- жении 1, имела накопленные значения интенсивности напряжений 1 i и интенсивности деформаций 1 i и находилась в упругом состоянии, а по- сле приращения нагрузки перешла в пластическую область. Значение функции текучести в начале шага меньше нуля: 0 1 1 i i f f 166 e r r 1 i 1 i i 1 0 2 t e Рисунок 4.14 - Перемещение 1-2 точки тела в процессе упругопластиче- ского деформирования при конечных шагах изменения нагрузки Считая шаг упругим, подсчитываем напряжения в конце шага , 0 1 C D i e e i i (4.154) Естественно, в этом случае 0 i i f f , что является недопусти- мым состоянием. Определим коэффициент r , указывающий, какая часть приращения деформаций упругая. Зенкевичем О. [6] предложена итераци- онная схема для определения коэффициента r . В работе [11] предложен способ односторонней коррекции к поверхности текучести. Все эти спосо- бы требуют от одной до нескольких итераций, что увеличивает расход ма- шинного времени. В данной работе предложена процедура определения коэффициента r без применения итерационных схем, который основан на критерии текуче- сти Мизеса ) (T f T (4.155) 167 Подобный подход описан в работе [10]. Однако он реализован при применении метода касательной жесткости. Правильно подобранный коэффициент должен удовлетворять условию 0 c f , (4.156) где e i c r 1 Подстановка значения вектора напряжений c , выраженного через коэффициент r, в соотношение (4.170) позволяет получить квадратное уравнение относительноr 0 2 C Br Ar (4.157) Решая уравнение (4.171) и отбрасывая отрицательный корень, получа- ем точное значение коэффициента r без итераций. При решении трехмерных задач параметры уравнения (4.155) опреде- ляются выражениями (4.156) (таблица 4.4) |