Математика РГСУ. Математика (Модуль 4) Практическое задание 3. Математика (Модуль 4) Практическое задание к Разделу Элементы теории игр и социально

• Название: Математика (Модуль 4) Практическое задание к Разделу Элементы теории игр и социально
• Анкор: Математика РГСУ
• Дата: 29.12.2021
• Размер: 327.23 Kb.
• Имя файла: Математика (Модуль 4) Практическое задание 3.pdf
• Тип: Решение; #321754

1
Математика (Модуль 4)
Практическое задание к Разделу 3. «Элементы теории игр и социально-
экономическое прогнозирование»
Требования к выполнению заданий
Решите задачи из раздела «Задачи для самостоятельного решения» (стр.8).
Решение задач необходимо располагать в порядке, указанном в заданиях, сохраняя номера задач. Перед решением каждой задачи желательно кратко записать имеющиеся данные из условия. Решение же следует излагать подробно и аккуратно, объясняя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи. Записывайте или выделяйте ответ. Файл с ответом прикрепите в СДО к Практическому заданию 3.
Критерии оценки заданий
Правильное полное решение всех заданий оценивается в 100 баллов (1 задача=20 балла). При наличии неточностей или ошибок выставляемый за задачу балл может быть уменьшен до 0 либо 1.
Разбор типовых задач
Пример 1. В игре участвуют два игрока. Каждый из них может записать независимо от другого цифры 1, 2, 3. Если разность между цифрами, записанными игроками, положительна, то первый игрок выигрывает количество очков, равное разности между цифрами, и, наоборот, если разность отрицательная, то выигрывает второй игрок. Если разность равна нулю, то игра заканчивается вничью. Определить оптимальные стратегии и седловую точку, если она есть.
Решение. У первого игрока три стратегии:
1
A
- записать 1,
2
A
- записать 2,
3
A
- записать 3. Второй игрок также имеет три стратегии
1
B
,
2
B
,
3
B
. Задача первого игрока - максимизировать свой выигрыш, а второго - минимизировать свой проигрыш. Составим платежную матрицу:
0 1
2 1
0 1
2 1
0
A














Определим оптимальные стратегии каждого из игроков. Игрок А анализирует свою стратегию на максимин, то есть на максимальный из своих минимальных выигрышей. На стратегию
1
A
игрок в ответит стратегией
3
B
, то есть той, при которой выигрыш игрока А будет минимальным. Значение -2 означает, что игрок А проиграет 2. На стратегию
2
A
игрок В ответит стратегией
3
B
, на стратегию
3
A
игрок В снова ответит стратегией
3
B
Запишем минимальные выигрыши игрока А в правом столбце таблицы:
1
B
2
B
3
B
Минимальные выигрыши игрока А
1
A
0
-1
-2
-2 2
A
1 0
-1
-1 3
A
2 1
0 0
Максимальные выигрыши игрока А
2 1
0

2
Найдем наилучшую стратегию игрока А. Если игрок выбрал стратегию
1
A
, то в худшем случае он получит выигрыш
1
min(1, 1, 2)
2


   
. Соответственно при выборе стратегии
2
A
-
2
min(1,0, 1)
1


  
,
3
A
-
3
min(2,1,0)
0



. Предвидя такую возможность, игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш max max( 2, 1,0)
0
i




 

Величина

(нижняя цена игры) это гарантированный выигрыш игрока А.
Аналогично определяется наилучшая стратегия игрока В. При выборе стратегии
1
B
он в худшем случае получит проигрыш
1
max(0,1,2)
2



. При выборе стратегий
2
B
,
3
B
проигрыш составит, составит, соответственно,
2
max( 1,0,1) 1




,
3
max( 2, 1,0)
0


 

. Запишем максимальные выигрыши игрока А в нижней строке таблицы.
Игрок В выберет ту стратегию, где его проигрыш будет минимальным и составит min min(2,1,0)
0
j





Величина

(верхняя цена игры) это гарантированный проигрыш игрока В.
Таким образом, в данной игре цена игры
0
  
  
. Следовательно, имеется седловая точка, а ситуация оказывается равновесной. Оптимальной стратегией становится пара
3 3
(
,
)
A B
Ответ:
3 3
(
,
)
A B
,
0


Пример 2. Рассмотрим игру, представленную платежной матрицей
8 6
4 4
3 5
3 2
2 1
4 7
7 3
5 5
3 2
2 1
1 4
4 2
3
A

















Определить цену игры, используя правило доминирования.
Решение. Запишем матрицу в виде таблицы:
1 2
3 4
5
B
B
B
B
B
1 2
3 4
5
A
A
A
A
A
8 6
4 4
3 5
3 2
2 1 4
7 7
3 5
5 3
2 2 1 1
4 4
2 3

3
Откуда: max max(3,1,3,1,1)
3
i





, min min(8,7,7,4,5)
4
j





,
 

,
3 4

 
Элементы стратегий
2
A
и
4
A
одинаковы, одну из них можно исключить. Все элементы стратегии
2
A
меньше элементов стратегии
1
A
, следовательно,
2
A
можно исключить. Все элементы
5
A
меньше
3
A
, значит исключаем
5
A
8 6
4 4
3 4
7 7
3 5
A


 



Для второго игрока, сравнивая
1
B
и
4
B
, исключаем
1
B
; сравнивая
2
B
и
5
B
, исключаем
2
B
В результате преобразований получим матрицу
4 4
3 7
3 5
A


 



max max(3,3)
3
i





, min min(7,4,5)
4
j





,
 

,
3 4

 
Ответ:
3


,
4


,
 

,
3 4

 
Пример 3. Рассмотрим игру, представленную платежной матрицей
8 5
3 6 7
4 7
9 5
8






Определить цену игры и оптимальные стратегии игрока А и игрока В.
Решение. Запишем платежную матрицу в виде таблицы.
Найдем наилучшую стратегию игрока А и игрока В: max max(3,4)
4
i





, min min(8,7,9,6,8)
6
j





,
 

,
4 6

 
. Игра не имеет Седловой точки и решение следует искать в области смешанных стратегий.
1 2
3 4
5
B
B
B
B
B
Вероятность использования чистых стратегий игроком А
1 2
A
A
8 5
3 6 7
4 7
9 5
8 1
p
p

Вероятность использования чистых стратегий игроком В
0 0 1
0
q
q

Построим график нижней огибающей семейства с помощью прямых:
1 8
4(1
)
4 4
w
p
p
p





;
2 5
7(1
)
2 7
w
p
p
p



 

;
3 3
9(1
)
6 9
w
p
p
p



 

;
4 6
5(1
)
5
w
p
p
p



 
;
5 7
8(1
)
8
w
p
p
p



  

4
Строим графики данных прямых, учитывая, что значение аргумента
p
может принимать значения на отрезке
[0,1]
. Выделим нижнюю огибающую жирной линией.
Точка максимума нижней огибающей лежит на пересечении прямых
3
w
и
4
w
. Решим уравнение
6 9
5
p
p

  
, получаем
4 7
opt
p

и, следовательно оптимальная стратегия игрока А
4 4
,1 7
7
opt
P








или
4 3
,
7 7
opt
P


 



. Найдем цену игры – ордината наивысшей точки огибающей
4 4
39 5
7 7
w
v
  

Определим смешанную стратегию игрока В. Выделим из пяти чистых стратегий игрока В стратегии
3
B
и
4
B
, т.е. те, которые определяют наивысшую точку нижней огибающей. Решим уравнение:
3 6(1
)
9 5(1
)
q
q
q
q





или после упрощения
7 1
q

. Отсюда, имеем
1 7
opt
q

Ответ:
4,
6




,
39 7
v

,
4 3
,
7 7
opt
P


 



,
1 6
(0,0, , ,0)
7 7
opt
Q

Пример 4. Рассмотрим игру, представленную платежной матрицей
3 1
5 2
4 7
2 8












Определить цену игры и оптимальные стратегии игрока А и игрока В.
Решение. Запишем платежную матрицу в виде таблицы. Найдем наилучшую стратегию игрока
А и игрока
В: max max(1,2,4,2)
4
i





, min min(5,8)
5
j





,
 

,
4 5

 
. Игра не имеет Седловой точки и решение следует искать в области смешанных стратегий.
1 2
B
B
Вероятность использования чистых стратегий игроком А

5 1
2 3
4
A
A
A
A
3 1
5 2
4 7
2 8
1 2
3 4
p
p
p
p
Вероятность использования чистых стратегий игроком В
1
q
q

Построим график верхней огибающей семейства с помощью прямых:
1 3
(1
)
2 1
w
q
q
q

 


;
2 5
2(1
)
3 2
w
q
q
q





;
3 4
7(1
)
3 7
w
q
q
q



  
;
4 2
8(1
)
6 8
w
q
q
q



  
Строим графики данных прямых, учитывая, что значение аргумента
q
может принимать значения на отрезке
[0,1]
. Верхняя огибающая выделена жирной линией.
Точка минимума верхней огибающей лежит на пересечении прямых
2
w
и
3
w
Решим уравнение
3 2
3 7
q
q
   
, получаем
5 6
opt
q

и, следовательно, оптимальная стратегия игрока В
5 5
,1 6
6
opt
Q








или
5 1
,
6 6
opt
Q


 



. Найдем цену игры – ордината наименьшей точки огибающей
2 5
9 3
2 6
2
w
v
    
Определим оптимальную стратегию игрока А. Выделим из четырех чистых стратегий игрока А стратегии
2
A
и
3
A
, т.е. те, которые определяют наименьшую точку огибающей. Решим уравнение:
2 7(1
)
5 4(1
)
p
p
p
p





или после упрощения
6 3
p

. Отсюда, имеем
1 2
opt
p

Ответ:
4,
5




,
9 2
v

,
1 1 0, , ,0 2 2
opt
P


 



,
5 1
( , )
6 6
opt
Q


6
Пример 5. Найти алгебраическим и геометрическим методами решение игры, платежная матрица которой имеет вид
B
j
A
i
B
1
B
2

i
A
1 4
-2
-2
A
2 1
3 1

j
4 3
Решение. В данной игре нижняя цена игры

=1 не равна верхней цены игры

=3, поэтому игра не имеет седловой точки и, в соответствии с основной теоремой матричных игр, имеет оптимальное решение в смешанных стратегиях.
Для игрока А, в соответствии с формулами (см. теоретическую часть), оптимальные вероятности применения стратегий А
1
и А
2
равны:
22 21 1
11 22 21 12 3 1 2
1 4 3 1 2 8
4
a
a
p
a
a
a
a




 



  
;
11 12 2
11 22 21 12 4
2 3
4 3 1 2 4
a
a
p
a
a
a
a








  
Для игрока В, в соответствии с аналогичными формулами, оптимальные вероятности применения стратегий В
1
и В
2
равны:
22 12 1
11 22 21 12 3 2 5
4 3 1 2 8
a
a
q
a
a
a
a








  
;
22 12 2
11 22 21 12 4 1 3
8 8
a
a
q
a
a
a
a








Таким образом, оптимальные смешанные стратегии игроков
1 3
;
4 4
A
S


 



;
5 1
;
8 8
B
S


 



, а цена игры равна:
11 22 12 21 11 22 21 12 4 3 ( 2) 1 7
4 3 1 2 4
a
a
a
a
a
a
a
a




   






  
Так как

, то игра выгодна для игрока А.
Графическое изображение игры для игрока А показана на следующем рисунке.

7 1,0 2,0 3,0 4,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0
0.2 0.4 0.5 0.6 0.8
v
A
v
A
1
N
v
=
1.75
B
2
B
1 0.1 0.3 0.7 0,9
-1,0
-2,0
p
1opt
=0
.25
C
D
p
1
Нижняя граница выигрыша игрока А определяется ломаной CND. Оптимальное решение, определяется точкой N, естественно, дает тоже решение, что и алгебраический метод:


0.25;0.75 1.75
A
S
v


Геометрическое изображение игры для игрока В показано на рисунке ниже.
Оптимальное решение, определяемое точкой
М, дает решение
(0.625;0.375),
1.75
B
S
v


Ответ:
(0.25;0.75),
1.75
A
S
v


,
(0.625;0.375),
1.75
B
S
v


1,0 2,0 3,0 4,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0
0.2 0.4 0.6 0.8
v
B
v
B
1
М
А
2
А
1 0.1
-1,0
-2,0
C
D
-1,0
-2,0
q
1

8
Задачи для самостоятельного решения
1. Определить верхнюю и нижнюю цены игры, оптимальную стратегию и, если возможно, седловую точку.
6 2
8 7
9 4
8 5
5 3
7 4
A




 





2. Определить верхнюю и нижнюю цены игры, оптимальную стратегию и, если возможно, седловую точку.
4 7
4 7
8 0
5 9
1 2
3 4
4 3
2
A






 







3. Решить игру в смешанных стратегиях:
7 3
2 5







4. Графическим методом найти решение игры, заданной матрицей:
8 7
4 4
7 2
4 6
8 10
A


 



5. Найти нижнюю и верхнюю цену игры, заданной матрицей:
3 2
1 3
4 1
1 5
2













Определить седловые точки, если они существует, и найти минимаксные стратегии.