Матрицы. Матрицы и операции над ними. Определение

• Название: Матрицы и операции над ними. Определение
• Анкор: Vatrix
• Дата: 13.03.2023
• Размер: 49.32 Kb.
• Имя файла: Матрицы.docx
• Тип: Документы; #984543

Матрицы и операции над ними.

Определение. Матрицей называется множество чисел, которое составляет прямоугольную таблицу, состоящее из m строк и n столбцов



коротко матрицу обозначают так:



где элементы данной матрицы, i – номер строки, j – номер столбца.

Если в матрице число строк равно числу столбцов (m = n), то матрица называется квадратной n-го порядка, а в противном случае – прямоугольной.

Если m=1 иn >1, то получаем однострочную матрицу



которая называется вектор-строкой, если, же m>1 и n=1, то получаем одностолбцовую матрицу

,

которая называется вектор-столбцом.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице, называется единично, обозначается E.

Матрица, полученная из данной заменой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной. Обозначается .

Две матрицы и равны, если равны между собой элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть если



при всех iи j (при этом число строк (столбцов) матриц A и B должно быть одинаковым).

1°. Суммой двух матриц A=(a_ij) и B=(b_ij) с одинаковым количеством mстрок и n столбцов называется матрица C=(c_ij), элементы которой определяются равенством



Сумму матриц обозначают C=A+B.

Пример.

.

2⁰. Произведением матрицы A=(a_ij) на число λ называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число λ:

λA=λ(a_ij)=(λa_ij), (i =1,2…,m ; j=1,2…,n ).

Пример.



3⁰. Произведением матрицы A=(a_ij), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу B=(b_ij), имеющей kстрок и n столбцов, называется матрица C=(c_ij), имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент c_ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы B, то есть



При этом число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B. В противном случае произведение не определено. Произведение матриц обозначается A*B=C.

Пример.







Для произведения матриц не выполняется равенство между матрицами A*Bи B* A, в общем случае одна из них может быть не определена.

Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.

Пример. Пусть , , тогда согласно правилу умножения матриц имеем

=

и

,

откуда заключаем, что

и