Главная страница
Навигация по странице:

  • Матрицею

  • Порядком квадратної матриці

    		•

    Лінійна алгебра та аналітична геометрія. Матриці і визначники Матриця. Основні визначення. Лінійні операції над матрицями


    Скачать 52.36 Kb.
    НазваниеМатриці і визначники Матриця. Основні визначення. Лінійні операції над матрицями
    Дата26.01.2019
    Размер52.36 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаЛінійна алгебра та аналітична геометрія.docx
    ТипДокументы
    #65369

    1. Матриці і визначники

      1. Матриця. Основні визначення. Лінійні операції над матрицями

        1. Що називається матрицею розміром ?


    Матрицею розміром називають прямокутну таблицю чисел, розташованих урядках та стовпцях, і позначають великими літерами латини і беруть у круглі ( ), квадратні [ ] або подвійні || || дужки:

    .

        1. Що називається елементами матриці?


    Числа , , , називаються елементами матриці .

    Елементами матриці називаються елементи таблиці чисел, з яких вона складається.

        1. Як позначається елемент, що знаходиться -му рядку та -му стовпці матриці ?


    Число .

    Приклад. Матриця має 2 рядка та 3 стовпці. Елемент знаходиться у 2-му рядку та 1-му стовпці.

        1. Яка матриця називається квадратною?


    Матриця називається квадратною, якщо кількість стовпців цієї матриці дорівнює кількості її рядків, тобто .

    Квадратну матрицю розміру називають матрицею порядку та позначають:

    .

    Числа , ,…, утворюють головну діагональ квадратної матриці , а , ,…, числа утворюють побічну діагональ матриці .

    Квадратна матриця називається верхньою трикутною (нижньою трикутною), якщо всі її елементи нижче (вище) головної діагоналі, рівні нулю.

    Приклад. Матриця 4-го порядку є верхньою трикутною матрицею, а матриця є нижньою трикутною матрицею.

        1. Що називається порядком квадратної матриці?


    Порядком квадратної матриці називається число її рядків (стовпців).

        1. Яка матриця називається нульовою?


    Матриця називається нульовою, якщо всі її елементи дорівнюють нулю. Позначається .

    Приклад. Нульова матриця : .

        1. Яка матриця називається діагональною?


    Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи окрім елементів головної діагоналі дорівнюють нулю.

    Приклад. Діагональна матриця третього порядку: .

        1. Яка матриця називається одиничною?


    Діагональна матриця називається одиничною, якщо всі елементи головної діагоналі цієї матриці дорівнюють одиниці. Одиничні матриці позначаються літерами або .

    Приклад. Одинична матриця порядку : .

    Матриця, яка містить один рядок (стовпець), називається матрицею-рядком або вектор-рядком (матрицею-стовпцем або вектор-стовпцем).

    Приклад. Матриця є матрицею-рядком, що містить елементів, а матриця є матрицею-стовпцем, що містить елементів.

    Яка матриця називається східчастою?


    Матриця називається східчастою, якщо крайній елемент кожного рядка знаходиться справа від крайнього елемента попереднього рядка.

    Елемент рядка матриці називається крайнім, якщо він відмінний від нуля, а всі елементи цього рядка, які знаходяться зліва від нього, дорівнюють нулю.

    Приклад. Східчаста матриця розміру : .

    Елементи , та є крайніми елементами 1-го, 2-го та 3-го рядків відповідно.

        1. Які матриці називаються рівними?


    Матриці та називаються рівними між собою, якщо вони однакової розмірності і всі відповідні елементи цих матриць рівні між собою.

        1. Що називається сумою двох матриць?


    Сумою матриць однакової розмірності та називається матриця , кожен елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць та , тобто , , . Позначається : .

    Приклад. Задано матриці: та .

    Тоді .

        1. Чи можливо додавати матриці різних розмірів?


    Ні.

        1. Що називається сумою матриць, де?


    Сумою матриць називається матриця, яка є результатом послідовного додавання даних матриць.

        1. Що називається добутком числа на матрицю ?


    Добутком матриці на число називається матриця , кожен елемент якої дорівнює добутку кожного елемента матриці на число , тобто .

    Приклад. Для матриці та числа : .

        1. Яка матриця називається протилежною матриці ?


    Матриця називається протилежною до матриці .

        1. Що називається різницею двох матриць?


    Різницею матриць однакової розмірності та називається матриця , кожен елемент якої дорівнює різниці відповідних елементів матриць та , тобто , , . Позначається : .

    Приклад. Задано матриці: та .

    Тоді .

        1. Які операції над матрицями називаються лінійними?


    Лінійними операціями над матрицями називаються додавання матриць і множення матриці на число.

        1. Які властивості лінійних операцій над матрицями?


    Основні властивості операцій додавання матриць та множення матриці на число:

    Теорема. Для довільних матриць , , , та чисел виконується:

    1. комутативність додавання матриць: ;

    2. асоціативність додавання матриць: ;

    3. ;

    4. ;

    5. ;

    6. дистрибутивність множення на число щодо додавання матриць: ;

    7. дистрибутивність множення матриці на число щодо додавання чисел: ;

    8. асоціативність множення матриці на число: .

    Доведення. Всі властивості операцій додавання матриць та множення на число випливають безпосередньо з означень цих операцій та властивостей операцій додавання дійсних чисел.

        1. Чи можливо , ? Знайти ; .


    Задано матриці: ; ; ; .

    Матрицю не можна додавати до матриці , оскільки матриця має розміри , а матриця - розміри , а додавати можливо лише матриці однакової розмірності.

    Матриці і однакової розмірності, тому додати їх можливо: .

    .

        1. Вказати розміри матриць:


    а) ; б) ; в) .

        1. Чому дорівнюють в матриці елементи , , якщо


    : .

        1. Визначити, які з матриць є квадратними, і вказати порядок кожної квадратної матириці.


    Матриця є квадратною з порядком 2;

    матриця не є квадратною;

    матриця є квадратною з порядком 3.

        1. Які елементи в матриці складають головну діагональ, а які побічну?


    :

    – елементи складають головну діагональ;

    – елементи складають побічну діагональ.

        1. Вказати, які з матриць є діагональними.


    є діагональною, тому що всі елементи матриці, окрім головної діагоналі, дорувнюють нулю;

    не є діагональною;

    є діагональною, тому що всі елементи матриці, окрім головної діагоналі, дорувнюють нулю.

        1. Написати одиничну матрицю четвертого порядку.


    .

        1. Вказати, якими є матриці.


    є симетричною матрицею;

    є верхньою трикутною матрицею, оскільки всі елементи її нижче від головної діагоналі дорівнюють нулю; трапецевидна;

    є трапецевидною матрицею;

    є нижньою трикутною матрицею, оскільки всі елементи її вище від головної діагоналі дорівнюють нулю;

    .

        1. Знайти .


    та : .

        1. Знайти та :


    : ; .

        1. Знайти та :


    ; ; :

    ;

    .

        1. Довести, що сума двох симетричних матриць є симетричною матрицею.



        1. Знайти матрицю .



    а) : ;

    б) : .

    написать администратору сайта