Теоретический материал по теме ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Матрицы. Системы линейных уравнений Содержание Определители
 Скачать 0.52 Mb.
|
|
Матрицы. Системы линейных уравнений Содержание: 1. Определители Определители второго и третьего порядка. Свойства определителей 2. Матрицы Матрицы. Линейные операции над матрицами 3. Обратная матрица Обратная матрица. Определитель матрицы. Алгебраические дополнения 4. Ранг матрицы Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц 5. Системы линейных уравнений Решение систем линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера. Матричный метод. Метод Гаусса 1. Определители Определителем второго порядка называется число, обозначаемое символом = и определяемое равенством = - Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом = и определяемое равенством : = - + (5.1) Все определители второго порядка, входящие в правую часть равенства (5.1), получены из определителя третьего порядка вычеркиванием одной строки и одного столбца. Они называются минорами и обозначаются , где i – номер вычеркиваемой строки, а j - номер вычеркиваемого столбца. Формула (5.1) называется формулой разложения определителя по элементам первой строки. Назовем алгебраическим дополнением к элементу произведение = . Тогда разложение (5.1) можно записать в виде: = + + . Так же, как мы ввели понятие определителя третьего порядка через определитель второго порядка, можно ввести понятие определителя четвертого порядка через определители третьего порядка: = - + - Свойства определителей: 1. Величина определителя не изменится от замены строк столбцами. 2. Величина определителя при перестановке местами двух его строк меняет знак на противоположный. 3. Определитель с двумя одинаковыми строчками равен нулю. 4. Общий множитель элементов строки можно вынести за знак определителя. 5. Величина определителя не изменится, если к элементам какой – либо строки, прибавить элементы другой строки, умноженные на произвольное одинаковое число. Пример1. Вычислить = Решение: = = 2( 3 4) – 3(15 – 2) + 4(10 + 1) = 9 2. Матрицы Назовем матрицей размера m×n таблицу вида A = , состоящую из m строк и n столбцов. Числа, из которых состоит таблица, называются элементами матрицы. Если m= n, то матрица квадратная. Если m ≠ n, то матрица прямоугольная. Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы. Пусть заданы две матрицы одинакового размера: А = и В = Суммой двух матриц С=А+В называется матрица Умножить матрицу на число означает, что нужно умножить на это число каждый элемент матрицы: λА = Пусть задана матрица А размером m×n и матрица В размером n×k. Тогда произведением матриц А и В называется такая матрица С размером m×k, каждый элемент которой определяется равенство = + + (i = 1,2,…m; j = 1,2…k), т.е. элемент матрицы С, стоящий на пересечении i-той строки и j-того столбца есть сумма произведений элементов i-той строки матрицы А и соответствующих элементов j-того столбца матрицы В. Это означает, что число столбцов матрицы А должно быть равным числу строк матрицы В. Матрица называется транспонированной, если столбцы матрицы А заменить ее строками: А = = Пример 2. Найти матрицу ∙В, если А = и В = Решение: ∙В= = = 3. Обратная матрица Пусть задана квадратная матрица n-го порядка. Краткости ради будем считать, что n=3. Если, определитель Δ, составленный из элементов матрицы А не равен нулю ( ≠0), то матрица А называется невырожденной. Матрица называется обратной к матрице А, если выполняется условие: А = А = Е, где Е – единичная матрица, Е = . Всякая невырожденная матрица А = имеет себе обратную: = (5.2) В формуле (5.2) - алгебраические дополнения к элементам матрицы А и Δ – определитель матрицы А. Отметим, что 1. = 2. = 3. = Пример 3. Найти , если А = Решение: Вычислим определитель матрицы Δ = = 6+20 = 26 ≠ 0 Так как определитель матрицы не равен нулю, то она имеет обратную матрицу. Находим алгебраические дополнения : = 2 = Проверка: ∙ А = = = 4. Ранг матрицы В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля, а все миноры высших порядков равны нулю, то такой минор называется базисным. Порядок базисного минора называется рангом матрицы. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях, к которым относятся: 1. перестановка местами двух строк матрицы; 2. умножение всех элементов строки на некоторое число, отличное от нуля; 3. прибавление ко всем элементам строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число. Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. Пример 4. Найти ранг матрицы А = Решение: Вычтем первую строку умноженную на 2 из второй строки и первую строку умноженную на 3 из третьей строки. Получим новую матрицу, ранг которой будет такой же, как и у матрицы А: А≈ ≈ Так как у последней матрицы есть миноры второго прядка, отличные от нуля, то ранг матрицы А равен 2. 5. Системы линейных уравнений Системой алгебраических уравнений называется система вида: , (5.3) где (i = 1 ÷ m; j = 1 ÷ n) называются коэффициентами системы, а – свободными членами. Если обозначить А = ; X= ; B= , то систему (5.3) можно записать в матричной форме: AX=B (5.4) Матрица А называется матрицей системы. Если к матрице А присоединить столбец свободных членов, то получим расширенную матрицу системы. Решением системы называется n значений неизвестный , ,… , подстановка которых в каждое из уравнений системы, обращает это уравнение в верное равенство. Система совместна, если она имеет хотя бы одно решение и не совместна, если решений нет, если системы имеет единственное решение, то она называется определенной, и система неопределенная, если у нее – бесконечно много решений. Система уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц А системы и ранги расширенной матрицы равны. Рассмотрим совместную систему n уравнений с n неизвестными и ранг матрицы системы также равен n. В этом случае единственное решение системы находится по формуле Крамера. = (i=1÷n) (5.5) где - определитель матрицы системы, а - определитель, полученный из определителя заменой i-того столбца столбцом свободных членов. Кроме того, такую систему можно решать в матричной форме: AX=B → X = B (5.6) Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений. Правило решения такой системы следующее: 1. Найти ранг матрицы системы r (напомним, что r = = ). 2. Находим базисный минор матрицы. 3. Выбираем те уравнения, коэффициенты при неизвестных у которых входят в этот минор. Неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, называют базисными и оставляют слева, а остальные (свободные) неизвестные переносят в правую сторону. При любом выборе свободных неизвестных будем по формулам Крамера получать значение базисных неизвестных. Таким образом, получим бесконечное множество решений системы. Пример 5. Решить систему уравнений: = = (3+8)+3(6 12)+5(4+3) = 28 = = (3+8)+3( 3+8)+5( 2 2) = 28 = = 28 = = 28 a) Решим сначала систему по формулам Крамера: Очевидно, что = = = 1 б) Решим систему в матричном виде: = Находим матрицу, обратную матрице системы: Обратная матрица имеет вид: Подставляя эту матрицу в формулу (5.6) получим решение системы: = = Ответ : = Пример 6. Решить матричное уравнение XA = B, где А = , В = Решение: Чтобы найти матрицу X, умножим обе части уравнения на матрицу справа: X = B → X = B Найдем матрицу : = 1; Определитель матрицы равен 7. Тогда = и X = = = Ответ : X = Пример 7. Найдите количество базисных неизвестных системы Решение: Убедимся в совместности системы, вычислив ранги матрицы системы и расширенной матрицы: → → Очевидно, что система совместна и ранг равен 2. Это означает, что число базисных неизвестных равно 2. Пример 8. Решить систему уравнений: Решение: Найдем ранг матрицы системы и расширенной матрицы. → → → Вначале поменяем местами первую и вторую строки, а затем с помощью умножения первой строки на «-2» с последующим сложением со второй и четвертой строкой, а также сложением первой и третьей строки обращаем в ноль элементы первого столбца. Далее, с помощью новой второй строки обращаем в ноль элементы второго столбца. Аналогично, с помощью новой третьей строки обращаем в ноль элементы третьего столбца. Ранги матрицы системы и расширенной матрицы равны и равны 3. Система совместна и число неизвестных больше ранга. В качестве базисного минора может быть выбран минор третьего порядка, стоящий в левом верхнем углу (очерчен штриховой линией), так как он не равен нулю. Тогда базисными неизвестными будут неизвестные , а - свободное неизвестное. Отбросим последнее уравнение, которое, очевидно, есть линейная комбинация остальных уравнений, и перепишем систему в виде: Эту систему можно решать методом исключения неизвестных: подставляя во второе уравнение, получим ; подставляя и в первое уравнение, получим : 5 = 2( ) + = → = ( ) = ( ) 3( = ( ) Общее решение запишем в виде столбца: = + Давая произвольные значения, будем получать частные решения системы. |