Физика - Колебания и волны. Механические колебания и волны
 Скачать 0.83 Mb.
|
|
II семестр Механические колебания и волны Общая черта колебательных процессов – высокая степень повторяемости процесса. Колебания подразделяются:
Механические колебания Колебательные системы Колебания – физические процессы, которые происходят с определённой повторяемостью во времени. Периодические колебания – колебания, при которых значения характерных параметров системы повторяются через равные промежутки времени. Полное колебание – процесс, проходящие в системе за период. Период – минимальный период времени, через который все параметры системы повторяются. Частота – число полных колебаний, происходящих в единицу времени. Циклическая частота – число полных колебаний за  единиц времени.Гармонические колебания – колебания, происходящие по закону изменения гармонических функций. Линейные колебания – колебания, возникающие в линейных системах. Линейная система – система, реакция которой линейно зависит от воздействия. Свободные (собственные) колебания – колебания, которые происходят в отсутствие внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы из состояния её устойчивого равновесия под действием внутренних сил системы. Вынужденные колебания – колебания, возникающие в какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия. Равновесие в механических системах и возникновение колебаний Условие равновесия точечного тела:  , протяжённого тела: ,  .Характерным свойством колебательной системы является наличие возвращающей (квазиупругой) силы.  ,  ;  . Необходимое условие колебательной системы:  . Достаточность:  .Свободные незатухающие колебания у Пружинный маятник:  ,  ,  ,  , где  .Математический маятник:  .  ,  .  ,  ,  ,  ,  ,  , где  .Физический маятник:  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , где .Приведённая длина физического маятника – длина математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника,  .Центр качания – математическая точка, отстоящая от точки подвеса на приведённую длину и лежащая на маятнике. Если физический и математический маятники с приведённой длиной колеблются около одной оси, то материальная точка математического и центр качания физического маятника движутся синхронно, если вначале их отклонили на одинаковый угол и одновременно отпустили. Точка подвеса и центр качания обратимы (можно подвесить за любую из них, период колебаний будет одинаков). Уравнение колебаний Все системы описываются уравнением  , где  (пружинный), (математический), (физический).Переменная колебаний – параметр, характеризующий отклонение системы от положения равновесия. (x). Решение уравнения колебаний.  .Линейный гармонический осциллятор – любая колебательная система, в которой возникают малые линейные гармонические колебания. Основные характеристики гармонических колебаний Амплитуда – максимальное значение переменной колебания (максимальное отклонение системы от положения равновесия). Амплитуда всегда положительна.  , A – амплитуда.Фаза – параметр, характеризующий относительное значения отклонения системы от положения равновесия (  ).Начальная фаза – значение фазы в начальный момент времени (  ).Период:  , частота  ,  - циклическая частота.Свойства гармонических колебаний:
Скорость и ускорение при колебаниях: Пусть  . Тогда  ,   .Начальные условие – задание смещение и скорости в начальный момент времени.
Задание начальных условий определяет амплитуду и начальную фазу. Кинетическая и потенциальная энергия системы:  . Для пружинного маятника   - закон сохранения энергии при свободных незатухающих колебаниях. . ,  .Э  нергия и вычисление периода колебаний:
Представление колебаний с помощью векторных диаграмм и комплексных чисел. П  усть  , где  . Возьмём  ,  . Тогда  , а уравнение  описывает движение проекций конца вектора по соответствующим осям. Пусть теперь xy – комплексная плоскость. Тогда  .Фазовая плоскость (пространство) – геометрический образ, представимый множеством состояний системы  или  .Фазовая точка – точка фазовой плоскости, определяемая скоростью и координатой и соответствующая определённому состоянию системы. Фазовая траектория – линия, которую описывает точка на фазовой плоскости при изменении состояния системы. Фазовый портрет маятника – фазовая траектория маятника:  или  ( или  ).Ф  азовый портрет для гармонических колебаний:  .Свободные затухающие колебания Пружинный маятник:  .  , где - параметр (коэффициент) затухания,  .Математический маятник:  .Решение уравнения свободных затухающих колебаний: Предположим, что  . Тогда  ,  .   ,  . Отсюда  . Обозначив  , получим:  - решение уравнения свободных затухающих колебаний.Если трение мало  , то  .Основные характеристики затухающих колебаний. В  ремя релаксации – время, в течение которого значение параметра убывает в e раз:   .Декремент затухания характеризует, во сколько раз амплитуда колебаний убывает за один период:  .Логарифмический декремент затухания характеризует, во сколько раз изменяется логарифм убывания амплитуды:  .Пусть  и совершается N колебаний, т.е.  . Тогда  ,  .Скорость и ускорение затухающих колебаний:  ,  ,  .Добротность системы  .Э  нергия  ,  . . При   .Вынужденные колебания Д  ля пружинного маятника:  , где m – масса тела, F – амплитуда силы, - циклическая частота силы.Для математического маятника:  .Длительность переходного режима совпадает со временем релаксации.  - амплитудно-частотная характеристика вынужденных колебаний,  - фазо-частотная характеристика вынужденных колебаний.Общее уравнение:  , где первое слагаемое представляет собой начальное колебаний системы, которое из-за затухания постепенно сходит на нет, а второе – установившийся режим вынужденных колебаний.Резонанс. Н  айдём максимум амплитуды колебаний в зависимости от частоты воздействующей силы. Для этого решим уравнение  . Получим:  .Резонанс – явление резкого возрастания (убывания) амплитуды вынужденных колебаний при стремлении частоты воздействия внешней силы к частоте собственных колебаний (точнее, к величине  , где - коэффициент затухания, но обычно  ).Резонансная частота – частота внешней возбуждающей силы, при которой достигается максимум амплитуды вынужденных колебаний. Наложение колебаний Сложение колебаний одного направления Пусть  ,  . Тогда  .Векторная диаграмма:  ,  ,  . Тогда   ,  .Таким образом,   .Б  иения: Рассмотри два колебания:  и  , где  . Результирующее колебания будет описываться уравнением  .Частота биения:  , период  .Взаимно перпендикулярные колебания Рассмотрим два колебания, происходящие во взаимно перпендикулярных направлениях:  ,  .
Фигура Лиссажу - эта линия, которую описывает тело, одновременно колеблющееся в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Свойства фигур Лиссажу:
Механические волны Распространение волн в упругой среде Волны – процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени. Упругие волны – волны, распространяющиеся в упругой среде. Волновая поверхность – геометрическое место точек среды, колеблющихся в одной фазе. Волновой фронт – поверхность, разделяющая возмущённую и невозмущённую части среды. Виды волн:
В газообразной и жидкой среде колеблется плотность или, что то же, давление. В твёрдой среде и на границе раздела фаз – деформация или, что то же, механическое напряжение. Волновое уравнение И  сследуем колебания струны. Пусть в какой-то момент времени струна деформирована так, как показано на рисунке. Тогда уравнение движения для этой струны выглядит так:  . Т.к.  и  , то  . Спроектируем это уравнение на ось :  и на ось z:  . Т.к.  и  очень малы, то  ,  . Тогда  . Введём линейную плотность  , тогда  . Таким образом мы получили волновое уравнение поперечной волны:  , где  .Волновое уравнение для продольной волны выглядит так:  , где  , p – давление в среде распространения волны.Анализ механических волн Пусть  . Тогда  ,  и  ,  ,   ,  . Подставим это в волновое уравнение:   .Общее решение волнового уравнения:  , где  и  - произвольные функции.Гармоническое решение волнового уравнения:  .Период волны  , фаза волны  . - фазовая скорость волны.Длина волны – расстояние, на которое распространяется волна за один период,  Волновое число  .Волновой вектор:  ,  сонаправлен с направлением распространения волны.Фазовая скорость волны – скорость, с которой движутся точки волны, колеблющиеся в одной фазе.  .Геометрические свойства волн Для трёхмерного случая выражение  , где - это оператор Лапласа, в декартовой системе координат  .Плоские, цилиндрические и сферические волны – волны, волновой фронт которых представляет собой соответственно плоскость, цилиндр и сферу. В случае плоской волны в волновом уравнении достаточно заменить  , т.е.  .Для цилиндрической волны  или, для гармонических колебаний,  . Здесь  - проекция волнового вектора на ось  .Уравнение сферической волны:  ,  . Здесь  - проекция волнового вектора на радиус-вектор.Бегущие и стоячие волны Если  , то направление распространения волны сонаправленно с осью z. Если же  , то направление распространения волны противоположно направлено оси z.Рассмотрим сложение двух одинаковых волн, двигающихся навстречу друг другу. Т.е. пусть  ,  . Тогда  - уравнение стоячей волны.Узлы – это точки, амплитуда колебаний которых равна 0 (т.е.  ).Пучности – это точки, амплитуда колебаний которых максимальна (т.е.  ).Длина стоячей волны  .Граничные условия для стоячих волн:
Стоячие волны возбуждаются на струне или в акустической трубе только при соблюдении одного из этих условий. Основной тон – колебание с максимальной длиной волны:  . Остальные колебания называются обертонами.Энергия механической волны Скорость точек волны  . Тогда кинетическая энергия колеблющейся точки  , а плотность кинетической энергии  , где V – объём, занимаемый рассматриваемой частью волны, а  - плотность среды до волнового возмущения.Рассмотрим волны на струне. Согласно закону Гука,  , где - механическое напряжение, E – модель Юнга и - относительное удлинение струны. Тогда  , где l – длина стержня. Изменение потенциальной энергии  , откуда   . Плотность потенциальной энергии  . Плотность суммарной энергии  .Пусть  . Тогда  и средняя за период плотность энергии  .Потоком энергии через поверхность называется энергия волны, проходящая через единицу времени через единичную поверхность, перпендикулярную вектору скорости волны:  . , где - угол между площадью и вектором скорости. Тогда   . Здесь  - нормальный вектор рассматриваемой площади,  - вектор Умова,  .Интенсивность волны  , для гармонической волны  .Эффект Доплера в акустике Эффект изменения частоты или длины волны, регистрируемой приёмником волн в сравнении с частотой или длиной волн, испущенной источником вследствие относительного движение приёмника и источника, называется эффектом Доплера. Пусть источник испускает волны с частотой  и длиной  , а приемник принимает волны с частотой и длиной .
В общем случае  . |
, 
, 
- колебания отсутствуют.
, 
, 
.
, 
.
, 
.
. 
.
.
/
и 
, то график 
представляет собой прямую, проходящую через начало координат.
и 
, то график 
, 
, 
.
и 
.
- величина рациональная, то фигура Лиссажу замкнута, иначе – незамкнута.
и 
, где L – длина струны, откуда 
и 
, т.е. 
или 
.
, откуда 
и 
.
и 
, откуда 
и 
.
, 
, 
.
.