лекция. Лекц 2 (МЗиКМвЭ). Метод ЖорданаГаусса

• Название: Метод ЖорданаГаусса
• Анкор: лекция
• Дата: 22.07.2022
• Размер: 180 Kb.
• Имя файла: Лекц 2 (МЗиКМвЭ).ppt
• Тип: Документы; #634936

Метод Жордана-Гаусса базируется на элементарных преобразованиях системы уравнений и позволяет получить ответы на выше перечисленные вопросы.
Запишем расширенную матрицу системы уравнений (1) в виде:
a11 a12 … a1q … a1n b1
a21 a22 … a2q … a2n b2
…………………………
ap1 ap2 … apq … apn bp
…………………………
am1 am2 … amq … amn bm
Элемент apq – разрешающий элемент, отличный от нуля;
q-ый столбец матрицы – разрешающий столбец;
p-ая строка – разрешающая строка.


Пересчитаем элементы матрицы по формулам:
p-е уравнение делится на apq, умножается на aiq и вычитается из i-го уравнения. Смысл этого пересчета состоит в том, что переменная xq исключается из всех уравнений, кроме i-го.

продолжение

Получаем:
aiq=0, i не равно p,
=1, i=p.
Полученная матрица:
a111 a121 …0… a1n1 b11
a211 a221 …0… a2n1 b21
……………………………………
ap11 ap21 …1…apn1 bp1
……………………….
am11 am21 …0… amn1 bm1
Столбец q назовем единичным с единицей в p-ой строке.
Выберем отличный от нуля элемент в другой строке этой матрицы и проделаем аналогичные преобразования. получим ещё один столбец с 1-ей в выбранной строке и т.д.

продолжение

Конечная цель преобразований – получение матрицы имеющей m единичных столбцов с 1-ми в разных строках– в этом идея метода Ж-Г.
Преобразования проводятся в таблицах, при этом используется, так называемое, правило прямоугольника
aij aiq
apj apq
Ситуации: 1. После получения очередного единичного столбца появилась строка, все элементы которой =0. Это означает, что исходная система содержит линейно зависимые уравнения. Нулевая строка уничтожается и процесс преобразований продолжается пока число единичных столбцов не будет равно числу оставшихся уравнений.

продолжение

2. Появление строки, все элементы которой aij1=0 , а bi1 не равно 0 означает, что рассматриваемая система несовместима.
3. В результате преобразований получено m единичных столбцов, причем m=n.  Означает, что в каждом уравнении осталось всего одна неизвестная с коэффициентом =1, т.е. получено решение системы, являющееся единственным.
4. Получено m единичных столбцов и m Переменные, соответствующие единичным столбцам – базисные, их выражают через свободные (все оставшиеся) путём переноса слагаемых, содержащих свободные переменные в правую часть системы  получается общее решение системы.