Метод половинного деления (метод дихотомии)
 Скачать 83.51 Kb.
|
|
Найдем корни уравнения: x3+6•x2+9•x+1 = 0 Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии).. Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε. Итак, имеем f(a)f(b)<0. Метод дихотомии заключается в следующем. Определяем половину отрезка c=1/2(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия: 1. Если |f(c)| < ε, то c – корень. Здесь ε - заданная точность. 2. Если f(c)f(a)<0, то корень лежит в интервале [a,c]. 3. Если f(c)f(b)<0, то корень лежит на отрезке[c,b]. Продолжая процесс половинного деления в выбранных подынтервалов, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень ξ. Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен: bn-an=1/2n(b-a) В качестве корня ξ. возьмем 1/2(an+bn). Тогда погрешность определения корня будет равна (bn – an)/2. Если выполняется условие: (bn – an)/2 < ε то процесс поиска заканчивается и ξ = 1/2(an+bn). Решение. Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [-4;0] разобьем на 10 подынтервалов. h1 = -4 + 1*(0-(-4))/10 = -3.6 h2 = -4 + (1+1)*(0-(-4))/10 = -3.2 Поскольку F(-3.6)*F(-3.2)<0, то корень лежит в пределах [-3.6;-3.2]. Итерация 1. Находим середину отрезка: c = (-3.6 -3.2)/2 = -3.4 F(x) = 0.456 F(c) = -0.296 Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-3.4 Итерация 2. Находим середину отрезка: c = (-3.6 -3.4)/2 = -3.5 F(x) = 0.125 F(c) = 0.456 Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-3.5 Итерация 3. Находим середину отрезка: c = (-3.5 -3.4)/2 = -3.45 F(x) = 0.301 F(c) = 0.125 Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-3.45 Итерация 4. Находим середину отрезка: c = (-3.45 -3.4)/2 = -3.425 F(x) = 0.381 F(c) = 0.301 Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-3.425 Остальные расчеты сведем в таблицу.
Ответ_:_x_=_-3.4;_F(x)_=_0.456_Количество_итераций'>Ответ: x = -3.4; F(x) = 0.456 Количество итераций, N = 19 Параметр сходимости. h4 = -4 + 4*(0-(-4))/10 = -2.4 h5 = -4 + (4+1)*(0-(-4))/10 = -2 Поскольку F(-2.4)*F(-2)<0, то корень лежит в пределах [-2.4;-2]. Итерация 1. Находим середину отрезка: c = (-2.4 -2)/2 = -2.2 F(x) = -0.408 F(c) = 0.136 Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-2.2 Итерация 2. Находим середину отрезка: c = (-2.4 -2.2)/2 = -2.3 F(x) = -0.127 F(c) = -0.408 Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-2.3 Итерация 3. Находим середину отрезка: c = (-2.3 -2.2)/2 = -2.25 F(x) = -0.266 F(c) = -0.127 Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-2.25 Итерация 4. Находим середину отрезка: c = (-2.25 -2.2)/2 = -2.225 F(x) = -0.336 F(c) = -0.266 Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-2.225 Остальные расчеты сведем в таблицу.
Ответ: x = -2.2; F(x) = -0.408 Количество итераций, N = 19 Параметр сходимости. h9 = -4 + 9*(0-(-4))/10 = -0.4 h10 = -4 + (9+1)*(0-(-4))/10 = 0 Поскольку F(-0.4)*F(0)<0, то корень лежит в пределах [-0.4;0]. Итерация 1. Находим середину отрезка: c = (-0.4 + 0)/2 = -0.2 F(x) = -0.568 F(c) = -1.704 Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-0.2 Итерация 2. Находим середину отрезка: c = (-0.2 + 0)/2 = -0.1 F(x) = 0.159 F(c) = -0.568 Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-0.1 Итерация 3. Находим середину отрезка: c = (-0.2 -0.1)/2 = -0.15 F(x) = -0.218 F(c) = 0.159 Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-0.15 Итерация 4. Находим середину отрезка: c = (-0.2 -0.15)/2 = -0.175 F(x) = -0.397 F(c) = -0.218 Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-0.175 Остальные расчеты сведем в таблицу.
Ответ: x = -0.15; F(x) = -0.2184 Количество итераций, N = 19 Параметр сходимости. Решение было получено и оформлено с помощью сервиса: Метод Ньютона онлайн Источник: Приближенное нахождение корней уравнения Copyright © Semestr.RU |