Лаб_Maple_1. Методы решения математических задач в Maple
 Скачать 236 Kb.
|
|
Методы решения математических задач в Maple I. Структура окна Maple. Арифметические операции, числа, константы и стандартные функции. Элементарные преобразования математических выражений
§1. Структура окна Maple Maple это пакет для аналитических вычислений на компьютере, содержащий более двух тысяч команд, которые позволяют решать задачи алгебры, геометрии, математического анализа, дифференциальных уравнений, статистики, математической физики. Для того, чтобы запустить Maple, необходимо в Главном меню Windows выбрать в группе Программы название данного приложения: Maple. Maple представляет собой типичное окно Windows, которое состоит из Строки названия, Основного меню, Панели инструментов, Рабочего поля и Строки состояния, а также Линейки и Полос прокрутки. Вид фрагмента окна Maple 6, содержащего Строку названия, Основное меню, Панель инструментов:  Пункты Основного меню: File (Файл) содержит стандартный набор команд для работы с файлами, например: сохранить файл, открыть файл, создать новый файл и т.д. Edit (Правка) содержит стандартный набор команд для редактирования текста, например: копирование, удаление выделенного текста в буфер обмена, отмена команды и т.д. View (Вид) – содержит стандартный набор команд, управляющих структурой окна Maple. Insert (Вставка) – служит для вставки полей разных типов: математических текстовых строк, графических двух и трехмерных изображений. Format (Формат) – содержит команды оформления документа, например: установка типа, размера и стиля шрифта. Options (Параметры) – служит для установки различных параметров ввода и вывода информации на экран, принтер, например, таких как качество печати. Windows (Окно) – служит для перехода из одного рабочего листа в другой. Help (Справка) – содержит подробную справочную информацию о Maple. Работа в Maple проходит в режиме сессии – пользователь вводит предложения (команды, выражения, процедуры), которые воспринимаются условно и обрабатываются Maple. Рабочее поле разделяется на три части:
Д  ля того, чтобы переключить командную строку в текстовую, следует на Панели инструментов нажать мышью на кнопку Обратное переключение текстовой строки в командную осуществляется нажатием на Панели инструментов на кнопку  Задание 1.
В дальнейшем выполнение каждой лабораторной работы должно оформляться таким способом. В начале каждой лабораторной работы следует набирать текст: «Лабораторная работа N», N – номер темы. Выполнение каждого задания следует начинать с текстового комментария: «Задание N». Для правильности вычислений перед выполнением каждого пункта задания следует выполнять команду restart. Перед выполнением контрольных заданий следует набирать в текстовом режиме «Контрольные задания». После окончания выполнения работы необходимо сохранить файл со всеми выполненными заданиями на диск. Имя вашего файла набирается в виде: Фамилия_N, где указывается ваша фамилия и N – номер темы. §2. Арифметические операции. Целые и рациональные числа, константы в Maple Математические константы и арифметические операции. Основные математические константы: Pi – число  ; I – мнимая единица i; infinity – бесконечность; Gamma – константа Эйлера; true, false – логические константы, обозначающие истинность и ложность высказывания.Знаки арифметических операций: + - сложение; – - вычитание; * - умножение; / - деление; ^ - возведение в степень; ! – факториал.  Знаки сравнения: <, >, >=,<=, <>, =.Комплексные, целые и рациональные числа. Числа в Maple бывают действительные (real) и комплексные (compleх). Комплексное число записывается в алгебраической форме z=x+iy, и в командной строке такая запись должна выглядеть так: > z:=x+I*y; Вещественные числа разделяются на целые и рациональные. Целые числа (integer) выражаются цифрами в десятичной записи. Рациональные числа могут быть представлены в 3-х видах:
Для того, чтобы получить рациональное число не в точной форме, а в виде приближенного значения (числа с плавающей запятой), следует дописывать к целой части числа .0. Пример: > 75/4;  > 75/4.0; 18.75000000 В Maple можно записать буквы греческого алфавита в полиграфическом виде. Для этого в командной строке набирается название греческой буквы. Например, буква  получится, если набрать alpha.Таблица строчных греческих букв и их названий: - alpha - beta - gamma - delta - epsilon - zeta - eta  - theta - ita - kappa - lambda - nu - mu -xi - pi  - rho - sigma - upsilon - phi - chi - psi -omegaЗаглавные греческие буквы можно записать, если набирать название греческой буквы с заглавной, например, чтобы получить  , следует набрать Omega. Греческие буквы также можно набирать с помощью специального меню.Задание 2.
> (sqrt(6+2*sqrt(5))-sqrt(6-2*sqrt(5)))/sqrt(3); и нажмите Enter. В результате получится точное значение  .
> omega=theta/t; abs(f(x)-delta) нажмите Enter. §3. Синтаксис команд. Стандартные функции Синтаксис команд. Стандартная команда Maple состоит из имени команды и ее параметров, указанных в круглых скобках: command(p1, p2, …). В конце каждой команды должен быть знак (;) или (:). Разделитель (;) означает, что в области вывода после выполнения этой команды будет сразу виден результат. Разделитель (:) используется для отмены вывода, то есть когда команда выполняется, но ее результат на экран не выводится. Символ процента (%) служит для вызова предыдущей команды. Этот символ играет роль краткосрочной замены предыдущей команды с целью сокращения записи. Пример использования (%): > a+b; a+b > %+c; a+b+c. Для присвоения переменной заданного значения используется знак присвоить (:=). Когда программа Maple запускается, она не имеет ни одной команды, полностью загруженной в память. Большая часть команд имеют указатели их нахождения, и при вызове они загружаются автоматически. Другие команды находятся в стандартной библиотеке и перед выполнением обязательно должны быть вызваны командой readlib(command), где command – имя вызываемой команды. Остальная часть процедур Maple содержится в специальных библиотеках подпрограмм, называемых пакетами. Пакеты необходимо подгружать при каждом запуске файла с командами из этих библиотек. Имеется два способа вызова команды из пакета:
> package[command](options); где вначале записывается название пакета package, из которого надо вызвать команду, а затем в квадратных скобках набирается имя самой команды command, и после чего в круглых скобках следуют параметры options данной команды. К библиотекам подпрограмм Maple относятся, например, следующие пакеты: linalg – содержит операции линейной алгебры; geometry – решение задач планиметрии; geom3d – решение задач стереометрии; student – содержит команды, позволяющие провести поэтапное решение задачи в аналитическом виде с промежуточными вычислениями. Стандартные функции.
Maple содержит огромное количество специальных функций, таких, как Бесселевы функции, Эйлеровы бета- и гамма – функции, интеграл ошибок, эллиптические интегралы, различные ортогональные полиномы. С помощью функции exp(x) определяется число е=2.718281828… посредством записи exp(1). Задание 3.
> cot(Pi/3)+tan(14*Pi/3); Нажмите Enter. В результате в области вывода должно появиться число:  .
> combine((sin(Pi/8))^4+(cos(3*Pi/8))^4+ (sin(5*Pi/8))^4+ (cos(7*Pi/8))^4); Нажмите Enter. (значение команды combine – преобразовывать выражения, например, со степенями). В результате в области вывода должно появиться число:  .§4. Преобразование математических выражений Maple обладает широкими возможностями для проведения аналитических преобразований математических формул. К ним относятся такие операции, как приведение подобных, разложение на множители, раскрытие скобок, приведение рациональной дроби к нормальному виду и многие другие. Выделение частей выражений. Математическая формула, над которой будут производиться преобразования, записывается в следующей форме: > eq:=exp1=exp2; где eq – произвольное имя выражения, exp1 – условное обозначение левой части формулы, exp2 – условное обозначение правой части формулы. Выделение правой части выражения осуществляется командой rhs(eq), выделение левой части выражения – командой lhs(eq). Рассмотрим пример: > eq:=a^2-b^2=c; eq :=  > lhs(eq);  > rhs(eq); с Если задана рациональная дробь вида a/b, то можно выделить ее числитель и знаменатель с помощью команд numer и denom, соответственно. Пример: > f:=(a^2+b)/(2*a-b);  > numer(f);  > denom(f);  Тождественные преобразования выражений. Раскрытие скобок выражения eq осуществляется командой expand(eq). Пример: > eq:=(x+1)*(x-1)*(x^2-x+1)*(x^2+x+1);  > expand(eq);  Разложение многочлена на множители осуществляется командой factor(eq). Пример: > p:=x^5-x^4-7*x^3+x^2+6*x;  > factor(p);  Команда expand может иметь дополнительный параметр, позволяющий при раскрытии скобок оставлять определенное выражение без изменений. Например, пусть требуется каждое слагаемое выражения  умножить на выражение (x+a). Тогда в командной строке следует написать:> expand((x+a)*(ln(x)+exp(x)-y^2), (x+a));  Дробь можно привести к нормальному виду с помощью команды normal(eq). Например: > f:=(a^4-b^4)/((a^2+b^2)*a*b);  > normal(f);  Упрощение выражений осуществляется командой simplify(eq). Пример: > eq:=(cos(x)-sin(x))*(cos(x)+sin(x)): > simplify(eq);  Приведение подобных членов в выражении осуществляется командой collect(exp,var), где exp – выражение, var – имя переменной, относительно которой следует собирать подобные. В команде simplify в качестве параметров можно указать, какие выражения преобразовывать. Например, при указании simplify(eq,trig) будет производиться упрощение при использовании большого числа тригонометрических соотношений. Стандартные параметры имеют названия: power – для степенных преобразований; radical или sqrt – для преобразования корней; exp – преобразование экспонент; ln – преобразование логарифмов. Использование параметров намного увеличивает эффективность команды simplify. Объединить показатели степенных функций или понизить степень тригонометрических функций можно при помощи команды combine(eq,param), где eq – выражение, param – параметры, указывающие, какой тип функций преобразовать, например, trig – для тригонометрических, power – для степенных. Пример: > combine(4*sin(x)^3, trig);  Для упрощения выражений, содержащих не только квадратные корни, но и корни других степеней, лучше использовать команду radnormal(eq). Пример: > sqrt(3+sqrt(3)+(10+6*sqrt(3))^(1/3))= radnormal(sqrt(3+sqrt(3)+(10+6*sqrt(3))^(1/3)));  С помощью команды convert(exp, param), где exp – выражение, которое будет преобразовано в указанный тип param. В частности, можно преобразовать выражение, содержащее sinx и cosx, в выражение, содержащее только tgx, если указать в качестве параметра tan, или, наоборот, tgx, ctgx можно перевести в sinx и сosx, если в параметрах указать sincos. Вообще, команда convert имеет более широкое назначение. Она осуществляет преобразование выражения одного типа в другой. Например: convert(list, vector) – преобразование некоторого списка list в вектор с теми же элементами; convert(expr, string) – преобразование математического выражения в его текстовую запись. Для вызова подробной информации о назначении параметров команды convert следует обратиться к справочной системе, набрав convert[termin]. Если вы забыли параметры какой-либо команды, то можно воспользоваться справочной системой Maple. Для вызова справки по конкретной команде, следует выделить набранное имя этой команды и нажать клавишу F1. Если команда набрана правильно, то появится описание этой команды (в большинстве версий Maple помощь на английском языке). Задание 4.
> factor(x^3+4*x^2+2*x-4); После нажатия клавиши Enter должно получиться  .
> eq:=(1+sin(2*x)+cos(2*x))/(1+sin(2*x)-cos(2*x)): > convert(eq, tan): > eq=normal(%);  .
> eq:=3*(sin(x)^4+cos(x)^4)-2*(sin(x)^6+cos(x)^6): > eq=combine(eq, trig); 
Контрольные задания.
Контрольные вопросы.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
. Для этого в командной строке наберите: 
и 
. Для этого в командной строке наберите:
- функция Дирака
- функция Хевиссайда
Для этого наберите в командной строке:
. Для этого наберите в командной строке:
. Для этого наберите в командной строке:
. Наберите:
. Для этого наберите:
.
.
.
; 
.
.
.