Методичка по Математике. Методическая разработка для самоподготовки по курсу Высшая математика, информатика
 Скачать 0.49 Mb.
|
|
Т е м а 3 Дифференциалы функций одной и нескольких переменных Понятие дифференциала функции тесно связано с понятием ее производной. Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение ее аргумента, т.е. x x f dy Δ ′ = ) ( . Таким образом, дифференциал функции пропорциона- лен приращению аргумента. При достаточно малых приращениях ар- гумента величина приращения функции приближенно равна диффе- ренциалу этой функции. На этом основано применение дифферен- циала функции в приближенных вычислениях. Литература для подготовки к занятию по теме: 12 Ю.В.Морозов "Основы высшей математики и статистики", М., 1998, с.32-36, 56-58. В процессе подготовки к практическому занятию по теме не- обходимо выполнить следующее: 1. Повторить следующие теоретические вопросы: 1) Дифференцирование сложной функции. 2) Правила дифференцирования функций вида ) ( ); ( ) ( x kf y x v x u y = ± = 3) Частные производные. П. Изучить по указанной литературе следующие теоретиче- ские вопросы: 1) Понятие дифференциала функции. 2) Частный и полный дифференциалы. 3) Применение полного дифференциала в приближенных вы- числениях. Эталоны решения типовых задач и задачи для самоконтроля Задача 1. Найти дифференциал функции ) 3 ln( 3 2 + + = x x y Решение По определению дифференциала функции dx x y dy ) ( ′ = . Таким образом, задача нахождения дифференциала функции требует преж- де всего нахождения производной функции. Используя правила дифференцирования, получим: [ ] [ ] 3 1 6 3 ) 3 ( 1 ) ( 3 ) 3 ln( ) 3 ( ) ( 2 2 + + = + ′ + ⋅ + ′ = ′ + + ′ = ′ x x x x x x x x y В результате искомый дифференциал принимает вид: dx x x dy ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 3 1 6 Найти самостоятельно дифференциалы следующих функций: 1) x y 3 sin = , 2) 4 2 ) 1 ( + = x y , 3) x e y 2 = Задача 2. Пользуясь понятием дифференциала, найти прибли- женно изменение силы тока в цепи с сопротивлением 5000 = R Ом при напряжении на концах участка 10 = U В, при уве- личении сопротивления на 5 = ΔR Ом. Решение По закону Ома R U I = . Учитывая, что изменение сопротивления цепи мало по сравнению с величиной сопротивления ( R R 〈〈 Δ ), для упрощения решения задачи можно изменение силы тока при измене- нии сопротивления заменить дифференциалом этой величины, то есть воспользоваться приближенным соотношением dI I ≈ Δ . По оп- ределению dR R I dI ) ( ′ = . Найдем производную силы тока (дифферен- цируя закон Ома) 2 R U I − = ′ 13 Тогда для дифференциала силы тока имеем dR R U dI 2 − = . Под- ставляем числовые значения величин: A dI 6 10 2 − ⋅ − = Ответ: ток в цепи уменьшился примерно на 6 10 2 − ⋅ А. Самостоятельно решить задачу: Период T свободных незатухающих колебаний колебательного контура выражается формулой Томсона LC T π 2 = , где L - ин- дуктивность, C - емкость колебательного контура. Найти изме- нение периода колебаний при увеличении индуктивности на L Δ = 1 мкГн, если L=100 мкГн, C=500 пФ (1 пФ=10 -12 Ф, 1 мкГн=10 -6 Гн). Задача 3. Вычислить приближенно изменение площади квадра- та S Δ со стороной l = 10 см при увеличении ее длины на l Δ = 0,01 см. Решение Считаем, что dS S ≈ Δ dl l dl l dS ⋅ ⋅ = ′ = 2 ) ( 2 Зная, что l dl Δ = , найдем изменение площади 2 0 01 0 10 2 2 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = dl l dS см 2 Тогда dS S ≈ Δ cм 2 Таким образом, площадь квадрата увеличится на величину S Δ ≈ 0,2 см 2 Задача 4. Найти частные и полный дифференциалы функции y x Z = Решение Данная функция является функцией двух аргументов: x и y По определению, полный дифференциал функции нескольких переменных равен сумме частных дифференциалов: Z d Z d dZ y x + = , где dx x Z Z d x ∂ ∂ = ; dy y Z Z d y ∂ ∂ = Прежде всего найдем частные производные функции. При на- хождении частной производной функции по одному из аргументов, все другие аргументы функции рассматриваются как постоянные величины. Тогда y x x y y x x x Z 1 1 = ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ ( ) 2 2 1 1 y x y x y y x y x y y Z − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ − Соответственно частные дифференциалы функции равны 14 y dx dx x Z Z d x = ∂ ∂ = ; 2 y dy x dy y Z Z d y − = ∂ ∂ = , а полный дифференциал 2 y xdy y dx dZ − = Задача 5. Радиус основания цилиндра R=50 см, а высота h=120 см. Как изменится объем цилиндра, если R увеличить на 0,4 см, а высоту h уменьшить на 0,5 см. Объем цилиндра h R V 2 π = Решение Если R и h получают приращения, то и объем цилиндра получит приращение V Δ . Но dV V ≈ Δ dh h V dR R V dV ∂ ∂ + ∂ ∂ = В нашем случае = Δ = R dR 0,4 см; = Δ = h dh -0,5 см. Найдем частные производные π π π π 12000 120 50 2 2 ) ( 2 = ⋅ ⋅ = = ∂ ∂ = ∂ ∂ Rh h R R R V π π π 2500 ) ( 2 2 = = ∂ ∂ = ∂ ∂ R h R h h V Тогда 11147 ) 5 0 ( 2500 4 0 12000 = − ⋅ + ⋅ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = π π dh h V dR R V dV см 3 Следовательно, объем цилиндра увеличился на величину ≈ ΔV 11147 см 3 Найти самостоятельно частные и полный дифференциалы функций: 1) ) ln( y x Z + = 2) ) 4 3 sin( y x Z + = 3) x y Z ln = 3) y x Z cos sin = Задачи для решения на практическом занятии. Найти дифференциалы функций: 1. ) cos( 3 x y = 6. 1 + = x e y x 2. x y 2 sin = 7. 3 cos x y = 3. x x y ln = 8. x x y sin = 4. 3 4 x y = 9. ) 3 cos( + = x x y 5. x e y cos = 10. 3 2 3 + = x y 15 Найти частные и полные дифференциалы функций двух пере- менных: 1. 2 2 y x Z + = 5. 2 x xy e Z + = 2. xy e Z = 6. ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = 1 ln y x Z 3. y x Z ln = 7. ) ln( 4 3 y x Z − = 4. 4 2 y x Z + = 8. V RT V T P = ) , ( Решить задачи 1. Определить изменение объема шара 3 3 4 R V π = , если радиус R =2,5 м, а R Δ = 0,1 м. Воспользоваться формулой dV V ≈ Δ 2. Количество теплоты Q , выделяющейся в единице объема раство- ра электролита при УВЧ-терапии, описывается формулой t E k Q 2 σ = , где σ - удельная электропроводность, k - коэф- фициент пропорциональности, E - напряженность электриче- ского поля между электродами терапевтического контура, t - время процедуры. Найти приближенно изменение количества теп- ла (считая dQ Q ≈ Δ ), если E = 200 В/м, E Δ =-10 В/м; t = 10 мин, t Δ = 2 мин, k=1. 3. При нагревании круга радиусом R =40 мм его площадь увеличи- лась. Определить увеличение площади круга, если его радиус увеличился на 1 0 = ΔR мм. 4. Из порошка анальгина спрессовали таблетки. Определить плот- ность анальгина в таблетке по формуле h d m 2 4 π ρ = . Вычислить приближенно изменение плотности таблетки, если m Δ =5,5 10 4 − г, m = 0,488 г; h Δ = 4,0 10 3 − см, h =0,54 см; d Δ =0,4 10 3 − см; d =0,82 см. 5. Медный кубик, ребро которого 5 = r см, подвергался равномер- ной шлифовке со всех сторон. Зная, что масса его уменьшилась на 0,69 г, и считая плотность меди равной 8 г/см 3 , опреде- лить приближенно насколько изменилось его ребро. Т е м а 4 Неопределенный интеграл Интегральное исчисление является составной частью ма- тематического анализа, и применяется при решении множества 16 задач из области физики, химии, биологии, а именно в тех случаях, когда по виду известной производной требуется най- ти вид самой функции. Литература для подготовки к занятию по теме: Ю.В.Морозов "Основы высшей математики и статистики", М., 1998, с.59-64, 66. В процессе подготовки к практическому занятию по теме необходимо выполнить следующее: 1. Повторить следующие теоретические вопросы: 1) Понятие производной функции одной переменной. 2) Основные формулы дифференцирования. 3) Понятие дифференциала функции. 4) Понятие первообразной функции. П. Изучить по указанной литературе следующие теоретиче- ские вопросы: 1) Понятие неопределенного интеграла. 2) Основные свойства неопределенного интеграла 3) Таблица основных интегралов. 4) Простейшие способы интегрирования: а) непосредственное интегрирование. б) интегрирование методом подставки. Эталоны решения типовых задач и задачи для самоконтроля Задача 1. Найти интеграл ∫ − − dx x x ) 2 ( 2 Решение В соответствии с одним из свойств неопределенного инте- грала: интеграл алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов слагаемых. По- этому ∫ ∫ ∫ ∫ − − = − − dx xdx dx x dx x x 2 ) 2 ( 2 2 Используя другое свойство неопределенного интеграла, в соответствии с которым постоянный множитель подынтегральной функции можно выносить из под знака интеграла, получаем: ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − − = − − dx xdx dx x dx xdx dx x 2 2 2 2 Применяя формулу интегрирования степенной функции ∫ + + = + C n x dx x n n 1 1 при нахождении каждого из трех интегралов в правой части, окончательно получаем: ∫ ∫ ∫ ∫ + − − = − − = − − C x x x dx xdx dx x dx x x 2 2 3 2 ) 2 ( 2 3 2 2 Найти самостоятельно следующие интегралы: 1) ∫ − + dx x x ) 6 5 2 ( 2 2) ∫ + dx x 2 ) 1 ( 17 Задача 2. Найти ∫ + dx x 1 Решение Введем новую переменную 1 + = x t и выразим дифференциал dx через dt . В соответствии с определением дифференциала, имеем: dx dx x dx t dt = ′ + = ′ = ) 1 ( , отсюда dt dx = Подставив t в подынтегральное выражение, получим: ∫ ∫ ∫ + = + + = = = + + C t C t dt t dt t dx x 2 3 1 2 1 2 1 3 2 1 2 1 1 Возвращаясь к первоначальной переменной x , окончательно получим: ∫ + + = + = + C x C t dx x 3 2 3 ) 1 ( 3 2 3 2 1 Найти самостоятельно следующий интеграл: ∫ − 3 4x dx Задача 3. Найти xdx x sin cos 2 ∫ Решение Введем новую переменную x t cos = . Выразим дифференциал dx через dt . Для этого, дифференцируя выражение t x = cos , после- довательно получим dt x d = ) (cos ; dt dx x = − sin ; x dt dx sin − = Подставляем в подынтегральное выражение C t dt t xdx x + − = − = ∫ ∫ 3 sin cos 3 2 2 Возвращаясь к первоначальной переменной x , окончательно получим ∫ + − = C x xdx x 3 cos sin cos 3 2 Найти самостоятельно следующие интегралы: 1) ∫ xdx 7 cos 2) ∫ ⋅ xdx x cos sin 2 Задача 4. Найти ∫ dx e nx , n - постоянный коэффициент, 0 ≠ n Решение Введем новую переменную nx t = , дифференцируем: 18 dt nx d = ) ( ; dt ndx = , отсюда n dt dx = . Тогда ∫ ∫ ∫ + = = ⋅ = C e n dt e n n dt e dx e t t t nx 1 1 Возвращаясь к первоначальной переменной х, окончательно получим: C e n dx e nx nx + = ∫ 1 Найти самостоятельно следующие интегралы: 1) ∫ dx e x 3 2) ∫ ⋅ dx e x x cos sin Задача 5. Скорость тела задана выражением ) 2 6 ( 2 t t V + = , где скорость измеряется в м/с, а время - в секундах. Найти зависи- мость координаты тела от времени (уравнение движения), если через 3 секунды после начала движения координата тела оказа- лась равной 60 м. Решение По определению скорости dt dx V = , тогда в нашем случае ) 2 6 ( 2 t t dt dx + = Отсюда dt t t dx ) 2 6 ( 2 + = Интегрируя, получаем: ∫ ∫ ∫ + + = + + = + = + = C t t C t t tdt dt t dt t t t x 2 3 2 3 2 2 2 2 2 3 6 2 6 ) 2 6 ( ) ( Используя дополнительное условие задачи 60 ) 3 ( = x , получим: 60 3 3 2 ) 3 ( 2 3 = + + ⋅ = C x , откуда 3 − = C Таким образом, уравнение движения тела окончательно имеет вид: 3 2 ) ( 2 3 − + = t t t x (м). Решить самостоятельно следующую задачу: Скорость точки задана уравнением ) 4 2 ( + = t V ) м/с. Найти уравнение движения точки, если в начальный момент времени ко- ордината точки равна О. Задача 6. Изменение численности микроорганизмов за едини- цу времени задается формулой 2 100t dt dN = . Определить зависимость количества микроорганизмов N от времени, если при 0 = t 100 ) 0 ( = N Решение 19 Из формулы 2 100 t dt dN = можно определить зависимость числа микроорганизмов от времени ∫ + = = C t dt t t N 3 100 100 ) ( 3 2 Чтобы определить значение константы интегрирования C , нужно воспользоваться начальными условиями, т.е. 100 ) 0 ( = N C N + ⋅ = 3 0 100 ) 0 ( 3 . Отсюда C N = ) 0 ( , 100 = C Тогда получаем результат 100 3 100 ) ( 3 + = t t N Следовательно, количество микроорганизмов увеличивается со временем пропорционально третьей степени времени, начиная со значения 100 = N в начальный момент времени. Решить самостоятельно следующую задачу Сила, действующая на тело в направлении движения, изменя- ется со временем по закону t F 2 = (H). Найти скорость тела в любой момент времени, зная, что в момент 0 = t она была равна 1 м/с. Масса тела 3 кг. Задачи для решения на практическом занятии: 1. ∫ dx x 5 9. ∫ − dx x 1 5 2. ∫ − + dx x x ) 2 1 )( 4 1 ( 10. ∫ − dx x ) 1 5 sin( 3. ∫ − − dx x x x 2 2 6 4 3 11. dx x x ∫ ⋅ cos sin 3 4. ∫ − x dx 1 12. ∫ dx x ctgx 2 sin 5. ∫ + 2 ) 1 ( x dx 13. ∫ x x dx ln 6. ∫ +1 2 2 x xdx 14. ∫ ⋅ x x dx ln 7. ∫ + dx x x 1 3 2 15. ∫ ⋅ dx tgx 8. ∫ − dx x 3 1 2 cos 16. ∫ ⋅ ⋅ dx x e x 2 Решить задачи 1) Составить уравнение движения тела, если скорость тела 5 2 2 + − = t t V (м/с), а при t=0 тело находилось в точке 0 = x 20 2) Скорость тела пропорциональна квадрату времени. Соста- вить уравнение движения тела, если известно, что через 3 с ко- ордината тела 18 = x см, а в начальный момент времени 0 0 = x 3) Ток в цепи, содержащей конденсатор, изменяется с тече- нием времени по закону t I I ω sin 0 = , где ω , 0 I - постоянные вели- чины. Определить, как изменяется со временем заряд конденсато- ра, если в момент времени, когда ток максимален, заряд конден- сатора равен нулю. |