Методичка по Математике. Методическая разработка для самоподготовки по курсу Высшая математика, информатика
 Скачать 0.49 Mb.
|
|
1 Московская Медицинская Академия им И.М.Сеченова Кафедра медицинской и биологической физики Заведующий кафедрой – профессор В.Ф. Антонов М.С.Федорова Методическая разработка для самоподготовки по курсу «Высшая математика, информатика» для студентов лечебного, медико-профилактического, стоматологическо- го факультетов и факультета военного образования. Под редакцией доцента Е.Ю.Смирновой Москва – 2004 г. Настоящая методическая разработка написана в соответствии с учебной программой по курсу «Высшая математика, информатика» и учебником Ю.В.Морозова «Основы высшей математики и статистики» 1998 г. Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодар- ность заведующему кафедрой, профессору В.Ф.Антонову за интерес, про- явленный к работе, профессору А.М.Чернышу, сделавшему ряд ценных за- мечаний, заведующему кафедрой медицинской информатики и статистики, доценту А.Н.Герасимову за любезно предоставленные статистические ма- териалы к теме 7, профессору А.А.Аносову и М.В.Крупновой за помощь в подготовке компьютерной версии методической разработки. 2 Содержание Тема 1. Производная функции одной переменной Тема 2. Функция нескольких переменных. Дифференцирование функций нескольких переменных Тема 3. Дифференциалы функций одной и нескольких переменных Тема 4. Неопределенный интеграл Тема 5. Определенный интеграл Тема 6. Дифференциальные уравнения Тема 7. Элементы обработки медико-биологической информации Тема 8. Об использовании гистограмм в задачах медицинской диагностики Тема 9. Использование метода наименьших квадратов в процессе статистической обработки медико-биологических дан- ных Тема 10. Корреляционная зависимость. Коэффициент линейной корреляции 3 Т е м а 1 Производная функции одной переменной Понятие производной - одно из основных понятий математиче- ского анализа. Производная характеризует быстроту изменения функции при изменении ее аргумента. В частности, производные применяются при математическом описании кинетики химических ре- акций, динамики движения, при нахождении градиента скорости, давления, температуры и других величин. Литература для подготовки к занятию по теме: Ю.В.Морозов "Основы высшей математики и статистики", М., 1998, с.19-28, 37-50. В процессе подготовки к практическому занятию по теме не- обходимо выполнить следующее: 1. Повторить следующие теоретические вопросы: 1) Понятие функции. 2) Понятие предела функции (аналитическая форма записи предела функции в точке) II. Изучить по указанной литературе следующие вопросы: 1) Понятие производной функции. 2) Физический смысл производной (привести примеры на вы- числение скорости и градиента). 3) Геометрический смысл производной (пояснить с помощью графика). 4) Основные формулы дифференцирования - производная посто- янной, степенной, экспоненциальной, логарифмической, тригоно- метрических функций. Таблицу производных этих функций необхо- димо перенести в рабочую тетрадь. 5) Правила дифференцирования алгебраической суммы, произ- ведения, частного двух функций. 6) Понятие сложной функции. 7) Правило дифференцирования сложных функций (пояснить на примере, как выбирается промежуточная переменная). Эталоны решения типовых задач и задачи для самоконтроля Задача 1. Вычислить производную функции 4 5x y = Решение Данное выражение является степенной функцией вида n x y = , умноженной на постоянный коэффициент. В соответствии с правилом дифференцирования функции, умноженной на константу, постоянный коэффициент можно выносить за знак производной, по- этому: ) ( 5 4 ′ ⋅ = ′ x y Далее в соответствии с формулой 1 ) ( − ⋅ = n n x n x , получим: 3 1 4 20 4 5 x x y = ⋅ = − 4 Найти самостоятельно производную функции 5 5 1 x y ⋅ − = Задача 2. Найти производную функции 2 1 2 + − = x x y Решение Для решения задачи необходимо применить правило дифферен- цирования алгебраической суммы: W V U W V U ′ ± ′ ± ′ = ′ ± ± ) ( и формулу производной степенной функции. Тогда получим: ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( 2 2 ′ + ′ − ′ = ′ + − = ′ − x x x x y или 1 2 1 2 0 2 3 3 1 1 1 2 − − = − − = − − − = − − − − x x x x y Здесь при вычислении производной первого слагаемого суммы и записи результата использована возможность представления дроби 2 1 x в виде степенной функции с отрицательным показателем степени: 2 2 1 − = x x (в общем случае n n x x − = 1 ), и наоборот - сте- пенной функции с отрицательным показателем степени в виде дро- би. Производная второго слагаемого равна - 1, производная кон- станты равна нулю. 1 2 ) 2 1 ( 3 2 − − = + − = ′ x x x y Найти самостоятельно производные следующих функций: 1. 6 3 − + = x x y 2. 1 1 1 3 + + − = x x y Задача 3. Найти производную функции 3 2 x y = Решение Для решения задачи необходимо сначала представить эту функцию в виде степенной функции с дробным показателем степе- ни, по формуле: n m n m x x = В нашем случае имеем: 3 2 3 2 x x y = = Далее, применив правило дифференцирования степенной функ- ции, с показателем степени 3 2 = n , найдем: 5 3 3 1 ) 1 3 2 ( 3 2 3 2 3 2 x x x y = = = ′ − − Найти самостоятельно производные следующих функций: 1. 5 2 5 x y = 3. x y 3 1 = 2. x y 1 = 4. 3 2 7 1 x y = Задача 4. Найти производную функции x e y x sin ⋅ = Решение Данная функция является произведением экспоненциальной функции е и тригонометрической функции x sin Применяя правило дифференцирования произведения функций и используя правила дифференцирования функций x e и x sin , найдем производную произведения ) cos (sin cos sin ) (sin sin ) ( ) sin ( x x e e x x e e x x e x e x x x x x x + = ⋅ + = ′ + ⋅ ′ = ⋅ Найти самостоятельно производные функций : 1) x x y cos 2 ⋅ = 2) x e x y ⋅ = 3) ) 1 (sin 3 − ⋅ = x x y 4) x x y ln 2 ⋅ = Задача 5. Найти производную функции x x y 2 ln − = Решение Применяя формулу дифференцирования частного функций: 2 V V U V U V U ′ − ′ = ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ и основные формулы дифференцирования, получим: 2 2 2 2 ln 3 2 ln 1 1 ) 2 (ln ) 0 1 ( ) 2 (ln ) 2 (ln ) 2 ln ( x x x x x x x x x x x x x x x − = + − = ⋅ − − ⋅ − = ′ ⋅ − − ′ − = ′ − Найти самостоятельно производные функций 1) x x y cos = 3) x e x y ln = 2) x e y x 1 − = 4) x x y ln sin = 5. Доказать, что производная функции ctgx y = равна ) sin 1 ( 2 x − 6 Задача 6. Найти производную функции x y 2 sin = Решение Данная функция отличается от табличной множителем а=2 при переменной х. Производная пишется по правилу дифференцирования сложной синусоидальной функции U U U ′ ⋅ = ′ cos ) (sin Применяя правило дифференцирования сложной синусоидальной функции, получим: x x x y 2 cos 2 2 ) 2 (cos ) 2 (sin ⋅ = ⋅ = ′ = Найти самостоятельно производные функций: 1. ) 1 sin( 2 + = x y 2. ) 1 2 cos( + = x y Задача 7. Найти производную функции ax e y = , где а - константа. Решение. Данная функция отличается от табличной множителем "а" при переменной х и является сложной. Применяя правило дифференцирования сложной экспоненциаль- ной функции ) ( ) ( ′ ⋅ = ′ ax e e ax ax , получим: ax ax ax ae ax e e = ′ ⋅ = ′ ) ( ) ( Найти самостоятельно производную функции: 1. x e y 5 = 2. x e y = Задача 8. Найти производную функции 2 3 + = x y Решение Данная функция может быть представлена в виде сложной степенной 2 1 3 ) 2 ( + = x y В соответствии с формулой производной сложной степенной функции U nU U n n ′ ⋅ = ′ −1 ) ( в данном случае имеем: 2 2 3 ) 2 ( ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 3 2 3 1 2 1 3 2 1 3 + ⋅ = ′ + ⋅ + ⋅ = ′ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = ′ − x x x x x y Найти самостоятельно производные сложных функций: 7 1. x y 3 cos 3 1 = 2. 2 x e y − = 3. x y ln 1 + = Задача 9. Точка совершает колебания по закону ) 4 sin( π π + = t S S o , где o S = 2 (м). Определить скорость тела в момент времени 4 1 = t с. Решение Скорость тела в любой момент времени t определяется произ- водной ) (t S′ . Функция ) (t S является сложной функцией. Применяя формулу дифференцирования сложной функции, в нашем случае получим U U U ′ ⋅ = ′ cos ) (sin ) 4 cos( ) 4 ( ) 4 cos( ) ( ) ( π π π π π π π + = ′ + ⋅ + = ′ = t S t t S t S t v o o Скорость тела в момент времени 4 1 = t с есть 0 2 cos 2 ) 4 4 1 cos( 2 ) 4 1 ( ) 4 1 ( = ⋅ = + = ′ = π π π π π S v Ответ: скорость тела в момент времени 4 1 = t с равна нулю. Задание. Определить самостоятельно ускорение тела в мо- мент времени 4 1 = t с, если скорость тела ) 4 cos( 2 ) ( π π π + ⋅ = t t v и измеряется в м/с. Задача 10. Определить величину градиента концентрации, если зависимость концентрации от координаты задана функцией kx e C x C − = o ) ( , где k - константа, а o C - есть концентрация веще- ства при 0 = x Решение Величина градиента определяется выражением dx dC x C = ′ ) ( и характеризует быстроту изменения концентрации при изменении координаты. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции U e e U U ′ ⋅ = ′) ( в данном случае получим: kx kx e C k kx e C dx dC − − ⋅ ⋅ − = ′ − ⋅ = o o ) ( 8 Ответ: градиент концентрации kx e C k dx dC − ⋅ ⋅ − = o Решить самостоятельно задачу: При ламинарном течении вязкой жидкости в трубе слои жид- кости имеют различную скорость в зависимости от расстояния x от оси трубы. ) ( 4 ) ( 2 2 x R l P x v − Δ = η , где P Δ - разность давлений на участке трубы длиной l R - радиус трубы, η - коэффициент вязкости. Найти величину градиента скорости на расстоянии x от оси трубы. Задачи для решения на практическом занятии 1. 2 3 2 + = x y 16. x x y sin 4 2 ⋅ = 2. x x x y + + = 1 1 3 17. ) 3 3 cos( 8 π − = t y 3. ctgx x y − = sin 18. ) 3 2 ln( 5 − = x y 4. x x y ln = 19. ) 2 sin( 3 π + = t y 5. x x y ln 5 = 20. x e y x 5 cos 3 ⋅ = − 6. x y 4 sin 2 = 21. x y 3 cos 5 = 7. x x y + − = 1 1 22. x e y 2 sin = 8. x e y sin = 23. 3 3 1 x e y x − = − 9. x e y x 2 cos sin = 24. x y sin ln = 10. x e y cos = 25. 2 2 a x y − = 11. x x y − + = 1 1 ln 26. 4 4 x e y x + = 12. ) 2 3 sin( 5 + = x y 27. 2 2 1 x x y − = 13. 2 5 x e y − ⋅ = 28. ) cos( o γ β + ⋅ = − wt Ae y t 14. 2 1 x x y + = 29. x e y 2 5 0 − ⋅ = 15. x y 2 cos 3 = 30. tgx ctgx y − = 9 31) Найти скорость изменения во времени концентрации C лекарственного вещества при выведении его из организма, если процесс описывается формулой at e C t C − ⋅ = o ) ( , где 0 C = 2 мг/л, ( 0 C - концентрация вещества при t =0), 05 0 = a 1/c. 32) Зависимость барометрического давления от высоты при усло- вии постоянства температуры определяется барометрической фор- мулой kh e p p − ⋅ = o , где k - константа, h - высота, o p - давление при h = 0. Получить формулу для градиента давления. 33) Количество электричества, прошедшего через проводник, начиная с момента времени 0 = t , определяется формулой 1 3 2 2 + + = t t q . Вычислить силу тока в конце пятой секунды. Т е м а 2 Функция нескольких переменных. Дифференцирование функций нескольких переменных. До сих пор мы изучали функцию одного аргумента (одной не- зависимой переменной), т.е. функции вида ) (x f y = . Вместе с тем в физике, химии, биологии большинство процессов подчинено за- конам, выражающим зависимость между несколькими аргументами, один из которых функционально связан с остальными. Например, площадь прямоугольника xy S = есть функция двух аргументов - сторон х и y Любая из переменных уравнения состояния RT PV = есть функция двух аргументов, например, V RT P = . Здесь функция P зависит от двух переменных: температуры Т и объема V. Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функ- ции нескольких переменных. Литература для подготовки к занятию: Морозов Ю.В. "Основы высшей математики и статистики", М., 1998, с.52-56. В процессе подготовки к практическому занятию по теме не- обходимо выполнить следующее: 1. Повторить следующие теоретические вопросы: 1) Понятие сложной функции одной переменной. 2) Понятие приращения аргумента и функции одной перемен- ной. 3) Дифференцирование сложной функции. 10 П. Изучить по указанной литературе следующие вопросы: 1) Понятие частного приращения функции нескольких пере- менных. 2) Понятие частной производной функции нескольких пере- менных. Эталоны решения типовых задач и задачи для самоконтроля Задача 1. Найти частные приращения функции xy x xy f + = 2 ) ( Решение Частное приращение по x , аргумент y не изменяется 2 2 2 2 2 2 ) ( ) 2 ( ) ( 2 ) ( ) ( ) , ( ) , ( x x y x xy x xy xy x x x x xy x y x x x x y x f y x x f f x Δ + Δ + = − − Δ + + Δ + Δ + = = − − Δ + + Δ + = − Δ + = Δ Частное приращение по y , аргумент x не изменяется y x xy x y y x x f y Δ = − − Δ + + = Δ 2 2 ) ( Найти самостоятельно частные приращения функций по х и по у: 1) 2 2 2 y x Z + = 2) 3 3 5 xy x Z − = Задача 2. Найти частные производные функции y x Z = Решение Данная функция является функцией двух аргументов: х и у. При нахождении производной по одному аргументу другой аргумент рассматривается как постоянная величина. Тогда y x x y y x x x Z Z x 1 1 ) ( = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ′ 2 1 ) ( ) ( y x y y x y x y y Z Z y − = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ′ − Найти самостоятельно частные производные следующих функций: 1) y e x Z ⋅ = 3) ) 2 2 cos( y x Z + = 2) ) ln( y x Z + = 4) 3 2 2 y x Z = Задача 3. Найти частные производные функции y x e Z 2 + = Решение Частная производная по аргументу x . Аргумент y считаем постоянной величиной. y x y x y x x e y x x e e x x Z Z 2 2 2 ) 2 ( ) ( + + + = + ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ′ 11 Частная производная по аргументу y . При этом аргумент x считаем постоянной величиной. y x y x y x y e y x y e e y y Z Z 2 2 2 2 ) 2 ( ) ( + + + = + ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ′ Найти самостоятельно частные производные функций: 1) 2 2 y x Z + = 3) ) sin(xy Z = 2) xy e Z = 4) h r V 2 π = Задачи для решения на практическом занятии Найти частные производные функций: 1. 2 2 2 ) ( y x Z + = 5. x y y x e e Z / / + = 2. y x y x Z + − = 6. x y Z / cos = 3. ) ln( 2 2 y x Z + = 7. ) ln(xy Z = 4. y x Z sin 2 = 8) Зависимость объема V газа, масса которого постоянна, от температуры T и давления P выражается формулой P RT V = , где R - постоянная. Доказать, что 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ T V T P V P 9. 3 2 1 y x Z + − = 10. y x Z ln ⋅ = 11. y e x Z sin cos ⋅ = |