Методичка по Математике. Методическая разработка для самоподготовки по курсу Высшая математика, информатика
 Скачать 0.49 Mb.
|
|
Т е м а 5 Определенный интеграл Понятие определенного интеграла используют при решении практических задач, в частности, в задачах по вычислению площадей плоских фигур, расчету работы, производимой перемен- ной силой и т.д. Литература для подготовки к занятию по теме: Ю.В.Морозов "Основы высшей математики". М., 1998, с.68-72, 74-76, 79-82. В процессе подготовки к практическому занятию по теме необходимо выполнить: 1. Повторить следующие теоретические вопросы: 1) Основные свойства неопределенного интеграла. 2) Таблицу основных интегралов. П. Изучить по указанной литературе следующие теоретические вопросы: 1) Понятие определенного интеграла (на примере нахождения площади криволиней- ной трапеции). 2) Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла. 3) Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла. 4) Вычисление работы переменной силы с помощью определенного интеграла. Эталоны решения типовых задач и задачи для самоконтроля. Задача 1. Вычислить определенный интеграл: ∫ 2 1 2 dx x Решение: По формуле Ньютона-Лейбница ∫ − = = b a b a a F b F x F dx x f ) ( ) ( ) ( ) ( , где ) ( x F - первообразная функция для подынтегральной функции ) ( x f Поскольку простейшей первообразной для функции 2 ) ( x x f = является 3 ) ( 3 x x F = , в дан- ном случае имеем: 3 7 3 1 3 8 3 1 3 2 3 3 3 2 1 3 2 1 2 = − = − = = ∫ x dx x Вычислить самостоятельно определенные интегралы: 1. ∫ 2 0 sin π xdx 3. ∫ 3 1 x dx 21 2. dx x x ) 3 2 1 ( 2 3 1 + + ∫ − Задача 2. Вычислить определенный интеграл: ∫ − 1 0 1 dx x Решение: Данный интеграл не является табличным и для вычисления воспользуемся методом замены переменной, а именно, введем новую переменную: , 1 x t − = тогда dx dt − = и dt dx − = Затем находим новые пределы интегрирования (по переменной t ), используя связь между "старой" и "новой" переменными. Действительно, при 0 = x 1 = t , при 1 = x 0 = t Заменяем в исходном интеграле переменную x на переменную t и записываем новые пределы интегрирования, тогда получаем: ∫ ∫ − = − 1 0 0 1 2 1 1 dt t dx x Затем вычисляем определенный интеграл, используя формулу первообразной степенной функции и формулу Ньютона-Лейбница: 3 2 ) 1 0 ( 3 2 3 2 0 1 2 3 0 1 2 1 = − − = − = − ∫ t dt t Вычислить самостоятельно определенные интегралы методом замены переменной 1. ∫ 10 0 5 cos π xdx 2. xdx e x ⋅ ∫ 2 1 2 Задача 3. Вычислить площадь, ограниченную линиями: 1 + = x y , 1 = x , 3 = x , 0 = y Решение Вначале представим искомую площадь графически: у 4 C 3 2 B 1 А D 1 2 3 4 х Искомая площадь - площадь криволинейной трапеции АВСD. В соответствии с геометрической интерпретацией определенного интеграла, определен- ный интеграл функции ) (x f y = в пределах от a x = до b x = , т.е. ∫ b a dx x f ) ( , численно равен 22 площади криволинейной трапеции, ограниченной линией графика функции ) (x f y = , осью абс- цисс ОХ и линиями a x = и b x = , искомая площадь ABCD S равна: ∫ + = 3 1 ) 1 ( dx x S ABCD Вычисляя полученный определенный интеграл с использованием формулы Ньютона- Лейбница имеем: 5 7 2 2 9 2 ) 1 ( 3 1 3 1 3 1 2 3 1 3 1 = + = + = + = + = ∫ ∫ ∫ x x dx xdx dx x S ABCD кв.ед. Вычислить самостоятельно площади фигур, ограниченные линиями: 1) ; 6 3 + = x y ; 0 = x ; 5 = x 0 = y 2) ; 1 + = x y ; 0 = y ; 0 = x 2 = x Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями: ; 6 2 x x y − = 0 = y Решение: Представим искомую площадь графически: у В 9 6 3 А 1 3 5 С х Искомая площадь - площадь криволинейной трапеции АВС. ∫ = 2 1 ) ( x x ABC dx x y S Для вычисления этой площади необходимо знать пределы интегрирования. Найдем их, решая совместно систему уравнений 2 6 x x y − = 0 = y 6 , 0 ; 0 ) 6 ( ; 0 6 2 1 2 = = = − = − x x x x x x Точки пересечения этих линий 0 1 = x и 6 2 = x и есть искомые пределы при вычислении определенного интеграла. Тогда 36 72 36 3 3 2 6 6 ) 6 ( 6 0 6 0 6 0 6 0 2 6 0 2 2 = − ⋅ = − = − = − = ∫ ∫ ∫ x x dx x xdx dx x x S ABC кв.ед. Вычислить самостоятельно площадь, ограниченную линиями: 1) 0 ; 0 4 2 = − = − y x x y 2) x y x y = = − ; 0 4 3 Задача 5. Вычислить работу, которую необходимо совершить для растяжения пружины от равновесного состояния на величину 1 0 = d м, если коэффициент упругости пружины 100 = k н/м. Решение 23 Согласно закону Гука для растяжения пружины на величину x необходимо приложить силу kx x F = ) ( Работа переменной силы, действующей на тело при перемещении его из точки a x = в точку b x = , численно равна определенному интегралу от этой силы на отрезке [ ] b a, : ∫ = 6 0 ) ( dx x F A Зная закон изменения силы ) (x F от растяжения x пружины, найдем работу A по форму- ле: 2 2 2 0 2 0 kd kx kxdx A d d = = = ∫ При подстановке в эту формулу численных значений получим окончательный результат 5 0 = A Дж. Решить самостоятельно задачу. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 10 Н растягивает ее на 2 см. Вычислить работу, затраченную на растяжение пружины от 25 см до 35 см. Задачи для решения на практическом занятии: 1. Вычислить определенные интегралы 1. ∫ = 16 1 2 1 dx x 7. ∫ 3 0 π tgxdx 2. ∫ 10 0 2 5 0 dx e x 8. ∫ − − + 1 2 2 3 ) 4 3 2 ( dx x x 3. ∫ + 3 2 ) 1 ( dx x x 9. ∫ + 2 1 3 2x dx 4. ∫ ⋅ + 7 2 2 dx x 10. ∫ + 5 1 2 ) 1 ( dx x x 5. ∫ + 1 0 2 x x e dx e 11. ∫ + 8 1 3 ) 3 ( dx e x x 6. ∫ 2 4 2 sin cos π π dx x x 12. ∫ − 2 0 ) cos 5 ( π dx x x 2. Вычислить площади фигур, ограниченные линиями: 1. 3 2 ; x y x y = = 2. x y x y = = ; 3. 0 ; sin = = y x y на отрезке [ ] π , 0 4. y x x y 9 ; 9 2 2 = = 5. 0 ; 4 2 = − = y x y 3. Вычислить работу переменной силы. 1) Вычислить работу, совершаемую при сжатии винтовой пружины на 6 см, если извест- но, что для сжатия ее на 0,5 см требуется приложить силу 6 Н. Считать, что приложенная сила пропорциональна сжатию пружины ( kx F = ). 2) Вычислить работу, производимую спортсменкой при растяжении эспандера на 70 см, если известно, что при усилии в 10 Н эспандер растягивается на 1 см. 4. Решить задачи. 1) В момент времени t скорость изменения концентрации препарата с изотопным индика- тором 2 ln t e dt dC − = 24 Найти концентрацию препарата в момент времени t. 2) Скорость движения тела t t v 2 3 2 − = (м/с). Какой путь пройдет тело за 5 с от начала движения, если при 0 = t 0 = x Т е м а 6 Дифференциальные уравнения При изучении различных процессов в физике, химии, биологии, медицине часто не удается непосредственно найти законы, связываю- щие величины, которые характеризуют изучаемое явление. Но в то же время легко устанавливается зависимость между теми же величинами и их производными или дифференциалами. При этом получаются урав- нения, содержащие неизвестные функции и производные этих функций или дифференциалы. Такие уравнения называются дифференциальными. Примером дифференциального уравнения является уравнение дви- жения материальной точки массой m под действием силы ) (x F : ) ( 2 2 x F dt x d m = Литература для подготовки к занятию по теме: Ю.В.Морозов "Основы высшей математики и статистики". М., 1998, с.85-92. В процессе подготовки к практическому занятию по теме необ- ходимо выполнить следующее: 1. Повторить следующие теоретические вопросы: 1) Понятие дифференциала функции одной переменной. 2) Понятие неопределенного интеграла (основные формулы ин- тегрирования). П. Изучить по указанной литературе теоретические вопросы: 1) Понятие дифференциального уравнения. 2) Чем определяется порядок дифференциального уравнения? 3) Что называется общим и частным решениями дифференциально- го уравнения? 4) Решение дифференциальных уравнений первого порядка с раз- деляющимися переменными. Эталоны решения типовых задач и задачи для самоконтроля. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными имеют вид 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 = + dy y V x U dx y V x U В уравнениях такого типа путем алгебраических преобразований можно добиться, чтобы при дифференциале dy стояла функция, зави- сящая только от переменной y , а при дифференциале dx - функ- ция, зависящая только от переменной x . Такие уравнения называ- ются уравнениями с разделенными переменными. 25 dy y V y V dx x U x U ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 1 − = Для того чтобы решить такое уравнение, т.е. найти зависимость y от x , необходимо левую часть уравнения проинтегрировать по x , а правую - по y Получим C x U y V + = ) ( ) ( , где ) ( y V – некоторая первообразная для подынтегральной функции ) ( ) ( 1 2 y V y V ; ) (x U - некоторая первообраз- ная для подынтегральной функции ) ( ) ( 1 2 x U x U ; C - постоянная интегри- рования. Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения 0 = + ydy xdx Решение. Перенесем выражение ydy в правую часть уравнения ydy xdx + = − Переменные разделены, т.к. коэффициент при dx является функцией только x , а коэффициент при dy является функцией только y . Ин- тегрируем: ∫ ∫ + = − ydy xdx 2 2 2 2 y C x = + − или C y x = + 2 2 2 2 2 1 2 2 C y x = + , где С С 2 2 1 = Графически общее решение дифференциального уравнения пред- ставляет собой бесчисленное множество кривых ) (x y , отличающихся друг от друга постоянной интегрирования. В данном случае кривые представляют из себя концентрические ок- ружности с центром в начале координат, отличающиеся друг от друга радиусами. у х 26 Задача 2. Найти общее решение дифференциального уравнения x y y = ′ и частное решение, соответствующее начальному условию 1 = y при 1 = x Решение. Уравнение x y y = ′ приводим к виду ) ( ) ( 2 1 dx x f dy y f = Для этого производную неизвестной функции запишем как отно- шение дифференциалов dx dy y = ′ . Исходное уравнение запишем в виде: x y dx dy = Так как в подынтегральном выражении дифференциал переменного записывается в числителе, то для возможности дальнейшего интегри- рования необходимо обе части уравнения умножить на dx dx x y dy = Для разделения переменных необходимо обе части уравнения раз- делить на y : x dx y dy = После того, как переменные разделены, интегрируем уравнение: ∫ ∫ = x dx y dy или 1 ln ln ln C x y + = , 0 1 > C В данном примере константу интегрирования C удобно представить в виде 1 lnC . Потенцируя, получим , , 1 1 C C x C y ± = = или Cx y = . То есть решением исходного уравнения является линейная функция с уг- ловым коэффициентом С. На рисунке показано графическое представ- ление общего решения. у х Для нахождения частного решения необходимо в общее решение Cx y = подставить начальное условие 1 = y при 1 = x и найти значе- ние константы интегрирования C Получаем: 1 1 ⋅ = C , откуда 1 = C Частное решение дифференциального уравнения запишем в виде: x y = 27 Это уравнение прямой, проходящей под углом 45 o через начало координат. Задача 3. Найти общее решение дифференциального уравнения у’=2х 2 Решение. Основные этапы решения уравнения аналогичны задаче 2. Запишем dx dy y = ′ ⇒ 2 2x dx dy = ⇒ dy=2x 2 dx ⇒ ∫ dy= ∫ 2x 2 dx+C y=2/3 x 3 +C Докажем, что найденное общее решение действительно является решением уравнения у’=2х 2 . Для этого найдем производную у’. y’=(2/3 х 3 +С)’=2х 2 Подставляя у’ в уравнение, получаем 2х 2 =2х 2 . Таким образом, функция y=2/3 x 3 +C при подстановке в уравнение у’=2х 2 обращает уравнение в тождество, что и доказывает правильность найденного решения. Задача 4. Найти общее решение дифференциального уравнения у’=5y. Решение. Последовательность решения уравнения аналогична последовательно- сти, указанной в задаче 2. dx dy y = ′ ⇒ у dx dy 5 = ⇒ dx y dy 5 = ⇒ ln⏐y⏐=5x+C Здесь также удобно представить постоянную интегрирования С в виде С=lnC 1 . Тогда получим ln⏐y⏐=5x+ lnC 1 Потенцируя, получим решение y/C 1 =e 5x или y=C 1 e 5x Для проверки правильности решения достаточно подставить его в исходное уравнение У’=(С 1 e 5x )’=С 1 ⋅5 e 5x =5(С 1 e 5x ). Получилось тождество 5(С 1 e 5x )=5(С 1 e 5x ). Следовательно, функция y=C 1 e 5x является общим решением данно- го дифференциального уравнения. Задачи для самоконтроля. 1) Найти общее решение дифференциального уравнения 4 2 3 y x y = ′ и частное решение, удовлетворяющее условию у=1 при х=0. 2) Найти общее решение дифференциального уравнения у’=х+2 и под- становкой проверить правильность найденного решения. 28 Составление дифференциальных уравнений является сложной за- дачей, т.к. общих методов составления дифференциальных уравнений нет. Навыки в этой области можно приобрести лишь в результате изучения конкретных примеров. Рассмотрим некоторые из них. Задача 5. Зависимость числа нераспавшихся ядер атомов радио- активного вещества со временем. В соответствии с простейшей версией закона радиоактивного распада скорость распада, т.е. скорость уменьшения количества не- распавшихся атомов, пропорциональна их количеству N(t) в данный момент времени. Составить дифференциальное уравнение радиоактивного распада, найти общее решение, а также частное решение при условии, что первоначальное (при t=0) количество нераспавшихся атомов равня- лось N 0 Решение В аналитической форме закон радиоактивного распада можно записать в виде: N dt dN λ − = , (1) где N - количество нераспавшихся атомов в данный момент времени, t - время, λ - постоянная распада. Знак минус означает, что с те- чением времени число нераспавшихся атомов уменьшается, а произ- водная убывающей функции отрицательна. Полученное дифференциальное уравнение является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем левую часть по перемен- ной N, а правую - по t: t N dN λ − = ; ∫ ∫ − = dt N dN λ ; ln⏐N⏐=-λt+ ln⏐C⏐ (В данном случае удобнее представить константу интегриро- вания С в виде логарифма.) t Ce N λ − = Полученное выражение является общим решением дифференци- ального уравнения (1). Чтобы получить частное решение уравне- ния (1), воспользуемся начальными условиями. Тогда получим, что С=N 0 , и частное решение имеет вид: t e N N λ − = 0 Полученная зависимость отражает закон изменения числа не- распавшихся атомов со временем. Задачи для самоконтроля 1) Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональ- на количеству бактерий N в данный момент времени t. Установить зависимость изменения количества бактерий от времени N(t), если константа размножения равна b. 2) Скорость распада некоторого лекарственного вещества пропорциональна наличному количеству лекарства. Определить, 29 через какое время после введения в организме останется 10% первоначального количества, если одноразово при t=0 было введе- но m=9,7 г лекарства. Константа распада лекарственного вещест- ва k = 0,05 час -1 Задания для выполнения на практическом занятии 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений: 1) у’=tgx 6) у’=у 2 cosx 2) у’=у 7) 1 = + t dt dx 3) у’=хе y 8) ху’=у 2 4) у’=х/у 2 9) ху’=у+1 9) ху’+е y =0 10) (х+3)dу-(у+3)dх=0 П. Решить задачи 1) Объемная скорость оттока крови из резервуара с эла- стичными стенками ( dt dP C dt dV = − , где С - коэффициент эластично- сти) пропорциональна уменьшению давления в этом резервуаре. По закону Пуазейля для течения вязкой жидкости в трубе постоянно- го сечения объемная скорость R P dt dV = , где Р - давление, под действием которого жидкость перемещается, R - гидравлическое сопротивление. Определить зависимость давления в резервуаре от времени. Изобразить эту зависимость графически, если начальное давление в резервуаре равно Р 0 при t=0. 2) Скорость изменения пороговой силы тока выражается фор- мулой 2 12 , 1 t dt dI − = . Найти закон изменения тока от времени, если в момент времени t=0,4 мс соответствующее значение тока равно 3,2 мА. 3) Для палочковидных клеток, у которых отношение поверх- ности клетки к ее объему сохраняется постоянным, скорость рос- та клетки dl/dt пропорциональна длине клетки l в данный момент. Составить и решить дифференциальное уравнение, считая, что при t=0, l=l 0 |