с.р матан. Методическая разработка для студентов первого курса специальностей 011000, 070100, 072000, 250500 Тверь 2008 удк 512. 64 (075. 8)

• Название: Методическая разработка для студентов первого курса специальностей 011000, 070100, 072000, 250500 Тверь 2008 удк 512. 64 (075. 8)
• Дата: 28.01.2019
• Размер: 0.88 Mb.
• Имя файла: с.р матан.doc
• Тип: Методическая разработка; #65524

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

1. Тверской государственный технический университет

­­­­­­­­­­­­­­­­­
Кафедра информатики и прикладной математики


ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА


Методическая разработка

для студентов первого курса

специальностей 011000, 070100, 072000, 250500


Тверь 2008

УДК 512.64 (075.8)

ББК 22.143. я 7

Представленная методическая разработка включает основные вопросы программы по высшей математике для студентов первого курса по следующим разделам: матрицы, определители, системы линейных уравнений.

Контрольные задания по данным разделам необходимы для приобретения практических навыков при изучении курса высшей математики.

Методические указания обсуждены и рекомендованы к печати на заседании кафедры информатики и прикладной математики (протокол № 4 от 10 апреля 2008 г.)

 Тверской государственный

технический университет, 2008

 Романова Г.В., Стукалова Н.А.

1. 
   Матрицы. Действия над матрицами.
   

Матрицей порядка называется прямоугольная таблица, состоящая из m- строк и n– столбцов



Часто записывают

Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то матрица называется квадратной, в противном случае – прямоугольной.

Нулевойназывается матрица, все элементы которой нули.

Единичной матрицей порядка n называется квадратная матрица на главной диагонали которой единицы, все остальные элементы – нули.

Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.

Главнаядиагональ квадратной матрицы содержит элементы

Побочнаядиагональ квадратной матрицы содержит элементы

Произведениемматрицы на число kназывают матрицу , в которой элементы определяют по правилу . При этом пишут .

Суммой матриц и называют матрицу , элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В, т.е. При этом пишут С=А+В. Складывать можно матрицы одинаковой размерности.

Транспонирование матрицы – это перестановка строк в столбцы.

Пусть дана матрица , то

Произведением матрицы на матрицу называют матрицу , элементы которой определяются по правилу . При этом пишут С=АВ.

Заметим, что произведение матриц определено, если количество столбцов первого сомножителя совпадает с количеством строк второго.

Введённые операции над матрицами обладают свойствами суммы и произведения чисел:

А+В=В+А А(В+С)=АВ+АС

α( А+В)=αА+αВ А+(В+С)=(А+В)+С

(α+β)А=αА+βА А(ВС)=(АВ)С

Не выполняется лишь коммутативность умножения, т.е. АВ≠ВА.

1. 
   Определители.
   

Каждой квадратной матрице А ставится в соответствие число, называемое определителем и обозначаемое det A или .

Определитель матрицы порядка 1 равен элементу матрицы.

Определитель второго порядка вычисляется по формуле



Определитель третьего порядка вычисляется по формуле



Для вычисления определителя третьего порядка лучше пользоваться правилом Саррюса (треугольников) или правилом «3 5»
Правило Саррюса состоит в том, что девять чисел, составляющих определитель, разбиваются на 6 троек. Тройке придаётся знак «+», если элементы, входящие в неё, расположены на главной диагонали или в вершинах треугольника с основанием параллельным главной диагонали, или знак «-», если элементы, входящие в тройку, расположены на побочной диагонали или в вершинах треугольника с основанием параллельным побочной диагонали. Затем берётся сумма произведений элементов троек с учётом их знаков.

Правило « » использует схему

(к матрице добавлены первые два столбца)

Элементы матрицы соединены отрезками. Произведению элементов, составляющих тройку и лежащих на одном отрезке, придаётся знак «+», если отрезок параллелен главной диагонали, и «-», если побочной. Определитель равен сумме произведений элементов троек с учётом их знаков.

Определитель треугольной и диагональной матрицы равен произведению элементов главной диагонали. Для вычисления определителя иногда оказывается удобным приведение матрицы к треугольному виду с использованием свойств определителя.

Матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной.

Свойства определителя

1). detA=detA

2). При перестановке двух строк меняется знак определителя.

3). Определитель матрицы, имеющей нулевую строку, равен нулю.

4). Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки, равен нулю.

5). Общий множитель строки можно вынести за знак определителя.

6). Если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.

7). Все свойства, перечисленные для строк, верны и для столбцов.

8). det(AB)=detAdetB.

Минором элемента называется определитель , полученный из матрицы А после вычёркивания i– й строки и j– го столбца.

Алгебраическимдополнением элемента называется число .

Любой определитель можно разложить по любой строке или столбцу

det

det

3. Обратная матрица

Матрица называется обратной к матрице A, если .

Матрица имеет обратную только в том случае, если она невырожденная.

Обратная матрица находится по правилу



где - алгебраические дополнения элементов . Можно применить элементарные преобразования для нахождения обратной матрицы. Выпишем матрицу А и справа припишем единичную матрицу того же порядка и над строками их будем одновременно производить элементарные преобразования до тех пор, пока матрица А не превратиться в единичную. Тогда единичная матрица превратится в обратную.

Можно единичную матрицу располагать над матрицей А и производить элементарные преобразования над столбцами, тогда исходная единичная матрица превратится в обратную.

4. Ранг матрицы

Выберем в матрице k– строк и k – столбцов . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов составим определитель k – го порядка, который назовём минором k– го порядка матрицы А. Рангом матрицы А называется число r, удовлетворяющее следующим условиям: 1) существует по крайней мере один минор порядка r, отличный от нуля; 2) все миноры порядка (r+1) равны нулю.

При этом пишут rankA=r. Если ранг матрицы А равен r, то любой отличный от нуля минор порядка r называется базисным.

Итак, для того чтобы вычислить ранг матрицы, необходимо вычислить все её миноры и среди них найти минор наибольшего порядка .

Очевидно, что ранг невырожденной матрицы равен порядку матрицы.

Не изменяют ранг матрицы следующие элементарные преобразования:

1. 
   перестановка строк или столбцов;
   
2. 
   умножение строк (столбцов) на число ;
   
3. 
   прибавление к любой строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число ;
   
4. 
   зачёркивание нулевой строки (столбца);
   
5. 
   транспонирование.
   

Трапецеидальной матрицей называется матрица, имеющая вид



где

Другими словами, матрица является трапецеидальной, если при и .

Ранг такой матрицы равен m.

Таким образом, для нахождения ранга матрицы с помощью элементарных преобразований нужно привести матрицу к трапецеидальному виду.

5. Системы линейных уравнений

Системой линейных уравнений (СЛУ) называется система уравнений вида:



Система называется однородной, если

Матрица называется матрицей коэффициентов.

Матрица называют расширенной матрицей системы.

Столбец называют столбцом неизвестных.

Столбец называют столбцом свободных членов.

С учётом этих обозначений можно записать систему в матричной форме

.

Рассмотрим отдельно случай квадратной системы, когда , и общий случай, когда .

1. 
   Квадратная система
   

Пусть дана СЛУ, в которой и .

Существуют три основных метода решения СЛУ:

а) метод Крамера

б) метод обратной матрицы

в) метод Гаусса
а) Обозначим







(определитель получается из заменой i-го столбца на столбец свободных членов)

Тогда

б) Рассмотрим СЛУ в матричной форме



Домножим слева на



Но произведение

Таким образом


в) При решении СЛУ методом Гаусса, расширенную матрицу системы приводят к треугольному виду с помощью элементарных преобразований



По данной матрице составляется система



Из последнего равенства найдём и подставим его в предыдущее



Из этого равенства найдём и подставим в предыдущее и т.д.

1. 
   Общий случай
   

Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда

.

В случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, систему удобно решать методом Гаусса, который состоит в приведении расширенной матрицы к трапецеидальному виду путём применения элементарных преобразований. Если при этом на некотором этапе получается строка, в которой все элементы, кроме столбца свободных членов, равны нулю, то система несовместна (это случай, когда ). Если , то система имеет бесконечно много решений, и каждое решение зависит от не зависящих друг от друга параметров, т.е. степень свободы системы . В качестве параметров удобно брать «лишние неизвестные», которые объявляются свободными, остальные переменные – базисные выражаются через свободные.

Однородная система линейных уравнений

Расширенная матрица отличается от матрицы коэффициентов наличием нулевого столбца, т.е. . Значит, по теореме Кронекера-Капелли система всегда совместна. Одно решение очевидно - . Это решение называется тривиальным. Если , то решение единственное – тривиальное, если , то решений бесконечно много.

Обозначим базисные неизвестные , тогда



В матричной форме



Можно записать так:

, где



Решение называется фундаментальнойсистемойрешений (ФСР) однородной системы. Общее решение системы является линейной комбинацией фундаментальной системы решений.


6. Примеры

1. 
   Даны матрицы и число . Найти .
   

1. 
   Дана матрица . Найти .
   

1. 
   Даны матрицы
   

Найдите

I способ.



II способ.

1. 
   Вычислить определитель
   

Вычислим определитель различными способами:

1. 
   по правилу треугольников
   

1. 
   разложим определитель по первой строке
   

1. 
   приведём определитель к треугольному виду
   

1. 
   Вычислить определитель
   

I способ.

Лучше разложить данный определитель по строке или столбцу, содержащим нули, т.к. наличие нуля уменьшает вычисления. Выберем, например, второй столбец.










II способ.

1. 
   Найти , если . Сделать проверку.
   

1) , значит существует .

2) Найдём алгебраические дополнения







3)

4) Проверка

1. 
   Методом элементарных преобразований найти для матрицы
   

1. 
   Найти ранг матрицы
   

1. 
   Решить систему уравнений
   

а) методом Крамера

б) матричным способом

в) методом Гаусса

а)









б)

существует

Найдём .











в)






По данной матрице запишем систему уравнений



Из последнего уравнения найдём , подставим его во второе уравнение, найдём , а затем из первого найдём .

1. 
   Определить совместность системы
   

Ранг матрицы коэффициентов равен 2. Ранг расширенной матрицы равен 3. Следовательно, система несовместна.

1. 
   Решить систему уравнений
   

Матрица приведена к трапецеидальному виду, под главной диагональю элемент равен нулю. Полученная матрица является расширенной матрицей системы, равносильной исходной. Ранг этой матрицы совпадает с рангом исходной. Поэтому заключаем, что система совместна, т.к. ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы и равен 2. Система будет иметь свободных неизвестных и 2 базисных.

Пусть - базисные переменные,

- свободные

Тогда

Выразим из первого равенства через свободные



Общее решение может быть записано в виде



Замечание. Поскольку существует свобода выбора базисных и свободных переменных, то общее решение может быть записано в различных, но естественно, равносильных формах.

1. 
   Решить систему уравнений.
   

Запишем систему уравнений

Из последнего уравнения . Так как , то в системе 3 базисные переменные и 2 свободные. Так как однозначно определена, то она базисная и пусть и - тоже базисные. Тогда - свободные. (За базисные неизвестные необходимо выбирать такие, при которых матрица коэффициентов не вырождена).

Выразим из второго уравнения через



Из первого уравнения найдём

.

Тогда общее решение системы имеет вид

, где

Обозначим

Эти векторы образуют фундаментальную систему решений.

Любое решение системы запишется в виде


Задание 1. Вычислить определитель D

а) методом понижения порядка;

б) путем разложения по 4-й строке;

в) путем разложения по 1- му столбцу


1. D =
2. D =
3. D =
4. D =
5. D =
6. D =
7. D =
8. D =

9. D =
10. D =
11. D =
12. D =
13. D =
14. D =
15. D =

16. D =
17. D =
18. D =
19. D =
20. D =
21. D =

22. D =


23. D =
24. D =

25. D =
26. D =
27. D =
28. D =
29. D =
30. D =




Задание 2. Для заданной матрицы требуется

а) найти и сравнить произведения и ;

б) найти и сравнить определители произведений и ;

в) найти обратную матрицу ;

г) проверить равенство .
1. 9.
2. 10.
3. 11.
4. 12.
5. 13.
6. 14.
7. 15.
8. 16.


17. 24.
18. 25.
19. 26.
20. 27.
21. 28.
22. 29.
23. 30.

Задание 3. Найти произведение матриц:
1. 3.
2. 4.
5. 14.
6. 15.
7. 16.
8. 17.
9. 18.
10. 19.
11. 20.
12. 21.
13. 22.

23. 27.
24. 28.
25. 29.
26. 30.

Задание 4. Найти решение неоднородной системы линейных уравнений

а) с помощью правила Крамера;

б) методом обратной матрицы;

в) методом Гаусса:
1. 5.

2. 6.
3. 7.
4. 8.
9. 19.
10. 20.
11. 21.
12. 22.
13. 23.
14. 24.
15. . 25.
16. 26.
17. 27.
18. 28.
29. 30.
Задание 5. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений:
1. 9.
2. 10.
3. 11.
4. 12.
5. 13.
6. 14.
7. 15.
8. 16.
17. 24.
18. 25.
19. 26.
20. 27.
21. 28.
22. 29.
23. 30.
Задание 6. Решить систему решений:
1. 3.
2. 4.

5. 13.
6. 14.
7. 15.
8. 16.
9. 17.
10. 18.
11. 19.
12. 20.
21. 26.
22. 27.
23. 28.
24. 29.
25. 30.