Разрез опоры. Методические указания для проведения лабораторных занятий студентов
 Скачать 317.88 Kb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Геодезия» ТЕОРИЯ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ Методические указания для проведения лабораторных занятий студентов Ростов-на-Дону ДГТУ 2018 2 УДК 528.45 Составители : Г.К. Туполева, А.Е. Дудник, О.В. Гермак Теория ошибок измерений: метод. указания для проведения лабораторных занятий студентов - Ростов-на-Дону: Донской гос. техн. ун-т, 2018. – 19 с. Сопровождаются необходимыми теоретическими пояснениями, форму- лами и примерами расчетов. Электронная версия методических указаний находится в библиотеке. Предназначены для студентов, обучающихся по направлению подготов- ки 21.03.02 «Землеустройство и кадастры», всех форм обучения УДК 528.45 Печатается по решению редакционно-издательского совета Донского государственного технического университета Научный редактор канд. техн. наук, доцент А.Р. Губеладзе Ответственный за выпуск зав. кафедрой «Геодезия» канд. техн. наук, доцент Л.Ф. Кирильчик _____________________________________________________ В печать 26.10.2018 г. Формат 60×84/16. Объем 1,2 усл. п. л. Тираж 50 экз. Заказ № 1052. _____________________________________________________ Издательский центр ДГТУ Адрес университета и полиграфического предприятия: 344000, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1 © Донской государственный технический университет, 2018 3 ВВЕДЕНИЕ Методические указания составлены в соответствии с программой курса «Геодезии» обучающихся по направлениям подготовки 21.03.02 «Землеуст- ройство и кадастры», утверждены кафедрой «Геодезия». Содержат задания и указания о порядке выполнения работ: 1) Теория ошибок измерений. 2) Математическая обработка результатов многократных измерений одной величины. 3) Примеры решения задач. 4) Индивидуальные задания. Весь производственный процесс, направленный на решение какой-либо геодезической задачи, можно условно разделить на три части: 1) Измерительные операции. 2) Математическая обработка измеренных величин. 3) Составление технической документации. Такое разделение весьма условно и в общем отражает действительность. Методические указания посвящены вопросам математической обработ- ки результатов геодезических измерений, выполняемых при кадастровых съем- ках. Известно, что любые измерения сопровождаются ошибками измерений, т е отклонениями измеренных значений от истинных. В большинстве случаев истинное значение измеряемой величины неизвестно, поэтому вместо него принимают вероятнейшее значение измеренного неизвестного. Если выполня- лись многократные измерения одной и той же неизвестной величины, то веро- ятнейшим значением ее будет являться арифметическая средина при равноточ- ных измерениях и весовое среднее при неравноточных. В геодезических сетях, где производятся измерения большого количества неизвестных величин, обяза- тельно выполнение требования: число измерений должно быть больше, чем это необходимо для определения этих величин. Таким образом, появляются избы- 4 точные измерения, которые позволяют определить наиболее надежные значе- ния неизвестных, т.е. вероятнейшие их значения, применяя процедуру уравни- вания. В процессе уравнивания находятся такие поправки v к измеренным ве- личинам, которые позволили бы устранить невязки при соблюдении принципа наименьших квадратов min vv или min pvv В процессе уравнительных вычислений также важной задачей является оценка точности уравненных величин. В настоящих методических указаниях рассматриваются вопросы нахож- дения вероятнейших значений неизвестных и оценки точности результатов из- мерений, изучаемые в разделе «теория ошибок измерений». 1. ТЕОРИЯ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ Рассмотрим основные формулы теории ошибок измерений, которые ис- пользуются при оценке точности результатов геодезических измерений, а так же при инженерных расчетах требуемой точности предстоящих измерений. 1.1 Критерии точности результатов измерений. Существует несколько неравноценных характеристик точности резуль- татов измерений, причем все они будут надежны только при большом числе измерений. К ним относятся: средняя квадратическая ошибка m, средняя ошиб- ка v, вероятная ошибка r, предельная ошибка ∆ пр Средняя квадратическая ошибка вычисляется по формулам Гаусса или Бесселя. 1) Формула Гаусса используется, если известны истинные ошибки ∆ I результатов измерений x i некоторой величины X n m (1), где n – число измерений. 5 2) Формулу Бесселя применяют, когда истинное значение измеряемой величины не известно 1 n vv m (2), x x v i i (3), где x - арифметическая средина, определяемая по формуле: n x x (4) Средняя ошибка v – это среднее арифметическое из абсолютных значе- ний ошибок результатов измерений некоторой величины: n v (5) При n→∞ между величинами v и m существует зависимость: m m v 5 4 789 0 (6) Вероятная ошибка r - это такая ошибка, которая делит пополам ряд ошибок измерений, расположенных в порядке возрастания их абсолютных зна- чений. При n вероятная ошибка связана со средней квадратической ошиб- кой m следующим соотношением: m 3 2 m 674 0 r (7) Предельная ошибка устанавливается инструкциями как «служебный до- пуск» для каждого вида работ. В теории вероятностей доказывается, что если ошибки измерений подчиняются закону Гаусса, то в среднем лишь 3 ошибки из 1000 могут превзойти Δпред=3m (8) В технических инструкциях предельная ошибка обычно принимается равной Δ пред =2m (9) 6 В среднем лишь 5 ошибок из 100 могут выйти за пределы 2m при усло- вии, что точность измерений соответствует заданной. 1.2 Средняя квадратическая ошибка функций измеренных величин. 1. Средняя квадратическая ошибка линейной функции вида y=c0±c1x1±c2x2±…±cnxn (10), где x i –результаты непосредственных измерений независимых величин, определяется по формуле: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 n n y m c m c m c m (11). При 1 2 1 n c c c 2 2 2 2 1 2 n y m m m m (12) При m m m m n 2 1 СКО суммы равноточно измеренных величин составит n m m y (13) Примеры решения задач Пример 1. Два угла в треугольнике измерены со средними квадратическими ошиб- ками m 1 =5˝, m 2 =7˝. Найти среднюю квадратическую ошибку третьего угла, вы- численного по двум измеренным. Решение: величина третьего угла определяется как: ) ( 180 2 1 3 И является линейной функцией вида (10). Тогда, согласно (11), можем записать СКО m 3 третьего угла: 2 2 2 1 3 m m m , и, подставляя численные значе- ния, получим m 3 =√5 2 +7 2 =8.6˝. Пример 2. Проложен ход геометрического нивелирования по равнинной местности протяжением L =1600м при длине визирного луча l= 50м. Найти СКО суммы 7 превышений по всему ходу, если СКО превышения на одной станции m h равна 1.3м. Решение: Согласно (13) имеем n m m h h , где n – число станций. Учи- тывая, что нивелирование по ровной местности выполнялось методом из сере- дины, число станций составит n= 16 50 2 1600 2 l L , Тогда 2 5 16 3 1 h m Пример 3. Определить СКО измерения угла теодолитом одним полным приемом, если СКО измерения одного направления m 0 =30˝. Решение: СКО из одного полуприема, полученного как разность двух направлений, будет равна 2 0 1 m m ; Угол β, измеренный одним приемом, вычисляется как среднее из значе- ний углов, полученных в полуприемах: 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . Согласно форму- ле (11) получим 2 1 2 1 2 1 2 2 1 4 1 4 1 m m m m , тогда с учетом (22) будем иметь 0 3 2 2 2 0 0 1 m m m m 1.3 Средняя квадратическая ошибка функции общего вида ) ,... , ( 2 1 n x x x F y (14) вычисляется по формуле 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ) ( ) ( ) ( i n i i n n F m x F m x F m x F m x F m (15) Среднюю квадратическую ошибку функции вида 3 2 1 x x x Y (16) удобнее определять с помощью натуральных логарифмов : 3 2 1 ln ln ln ln x x x y (17) 8 Применяя формулу (13) получим 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 n n y x m x m x m y m (18) Пример 4. Для определения площади Р прямоугольника измерены две стороны a=144,28м с СКО m a =0.12м и b=353.22м с СКО m b =0.09м. Вычислить площадь и ее СКО. Решение: составим функцию P=a · b Вычислим среднюю квадратическую ошибку площади m p двумя вариан- тами. Вариант 1. Запишем СКО функции (17) согласно формуле (15): 2 2 2 2 2 a b p m b m a m Подставив численные значения в формулу (18), получим m p 2 =1965.23м 4 , m p =44.3 м 2 Подставив численные значения в (17), вычислим площадь прямоуголь- ника Р=144.28м · 353.22м = 50962.58м 2 ; относительная ошибка определения площади прямоугольника составит 1100 1 58 50962 3 44 1 P m N p Вариант 2. Прологарифмируем функцию (19) lnp=lna + lnb и, переходя к ошибкам, согласно (13), получим 2 2 2 2 2 2 b m a m p m b a p , откуда 4 2 2 2 2 10 7 8 22 353 09 0 28 144 12 0 p m p и 1100 1 10000 7 8 1 p N Как видим, в обоих вариантах результат получился одинаковый. Пример 5. В треугольнике АBC измерены: сторона b=210.20м с СКО m b =0.14м, углы А=57˚30΄ с СКО m A =0.4΄, B=62˚40΄ с СКО m B =0.3΄. Вычислить длину стороны a и ее среднюю квадратическую ошибку m a Решение. Решим эту задачу также двумя вариантами (способами). 9 Вариант 1. Составим функцию для получения стороны a. Известно, что все элементы треугольника можно определить через теорему синусов, поэтому запишем: SinB b SinA a , откуда a SinB bSinA =199.55м Для получения СКО m a продифференцируем функцию и, переходя к ошибкам, на основании формулы (13), получим: 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B A a m B Sin B ACos Sin b m B Sin A Cos b m B Sin A Sin m ; Подставляя численные значения, имеем: m a 2 =0.018м 2 или m a = 0.13м. Вариант 2. Запишем логарифм функции: lna= lnb + lnSinA – lnSinB, Откуда 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B A b a m B Sin B Cos m A Sin A Cos b m a m ; Выразив из (20) m a и подставив численные значения, получим: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 018 0 ) 3438 3 0 ) 8884 0 4592 0 ( 3438 4 0 ) 8434 0 5373 0 ( ) 20 210 14 0 (( 55 199 м m a , m a =0.13м 4. Средняя квадратическая ошибка арифметического среднего из результатов измерений. СКО арифметической средины М определяется по формуле: n m М (19), где m- СКО результата измерения, n - число равноточных измерений. Пример 6. СКО непосредственного измерения угла инструментом равна 0 3 . Опре- делить минимальное число измерений, необходимое для получения результата со СКО не более 0 1 Решение: поскольку результатом при многократных равноточных изме- рениях одной и той же величины является среднее арифметическое из резуль- татов измерений, то воспользуемся формулой n m M , откуда 9 10 30 2 2 2 2 M m n " 10 5 Принцип равных влияний. При составлении проектов геодезических работ рассчитывают точность предстоящих измерений, пользуясь формулами теории ошибок. При этих рас- четах часто встречается задача, в которой по известному виду функции ) ,..., , ( 2 1 n x x x f U Требуется рассчитать точность измерения каждого аргумента. Чтобы иметь определенное решение, применяют принцип равных влияний. Для выяс- нения этого принципа возьмем формулу (15) 2 1 2 1 3 2 1 2 2 1 2 1 2 ) ( ) ( ) ( ) ( m x f m x f m x f m x f m n u и потребуем, чтобы 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 1 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( n n m x f m x f m x f m x f = n m u 2 (20), откуда n m m x f m x f m x f u n n 2 2 1 1 (21) Эти соотношения позволяют вычислить значение СКО ошибок аргумен- тов. Пример 7 Горизонтальное проложение S наклонной линии D определяют по фор- муле S=Dcos . С какой точностью необходимо измерить расстояние D и угол наклона , чтобы горизонтальное проложение S получить со средней квадра- тической ошибкой m s =0.10м? При этом наклонное расстояние D=900.0м, а угол наклона =15 . Решение: так как ошибка функции известна, а необходимо определить ошибки аргументов, то воспользуемся принципом равных влияний. СКО гори- зонтального проложения S определится согласно формуле: 2 2 2 2 2 2 2 sin cos m D m m D s Используя принцип равных влияний, получим: m D m m D s sin cos 2 11 Из полученных равенств определим СКО измерения расстояния m D и угла наклона m : м m m s D 07 0 966 0 2 10 0 cos 2 Относительная ошибка измерения линии составит 12000 1 900 07 0 D m D СКО измерения угла наклона вычисляется как 1 259 0 900 2 3438 10 0 sin 2 D m m s 1.6 Неравноточные измерения. Вес измерения является степенью доверия к результату измерения и вы- ражается следующими отношениями: i i m c p 2 и 2 2 i i m p (22), где с- произвольное число, постоянное для данного ряда измерений; µ -ошибка единицы веса, которая вычисляется по формулам: n p и 1 n pvv (23) В случае неравноточных измерений арифметическая средина определя- ется как весовое среднее по формуле p pl L (24) При этом вес общей арифметической средины (весового среднего) будет равен сумме весов результатов измерений, т.е. p P L (25) СКО этой величины может быть вычислена из выражения p M L (26) Используя формулу вычисления обратного веса функции независимых величин 12 i i F p x f P 1 1 2 (27) Можно определить веса различных величин: - обратный вес суммы неравноточных слагаемых n p p p p 1 1 1 1 2 1 (28) - вес суммы равноточных слагаемых n p P (29) - вес простой арифметической средины n p P (30) Пример 8 Веса независимо измеренных углов ά,β,γ соответственно равны 5,3,2. Определить вес суммарного угла. Решение: воспользовавшись формулой (28), найдем вес суммы углов: 30 31 2 1 3 1 5 1 1 1 1 1 p p p p или Р=0.97 Пример 9. Сторона квадрата a= 10м измерена с весом P a =20. Определить вес вы- численной площади. Решение: площадь квадрата вычисляется по формуле S=a 2 , согласно формуле (27) a p a Ps 2 4 1 И, подставив численные значения исходных данных, получим: 20 20 10 4 1 2 s P или P s =0.05 13 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОКРАТ- НЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ОДНОЙ ВЕЛИЧИНЫ 2.1 Порядок обработки результатов равноточных измерений. Цель обработки: определение из уравнительных вычислений наиболее надежного (вероятнейшего) значения искомой величины и оценка точности ре- зультатов измерений. 1. Как уже установлено, вероятнейшим значением многократно изме- ренной величины является арифметическая средина x . Ее вычисляют по фор- муле n l x 0 , Для упрощения вычислений вводят ее приближенное значение l 0 – «ложный нуль» - обычно наименьшее из результатов измерений, и вычисляют остатки i 0 l l i i , После чего находят 2. Вычисляют отклонения отдельных измерений от арифметической средины - т.е. поправки i i l x v Контролем вычисления которых является выполнение условия 0 v 3. Определяют величину vv и осуществляют контроль по форму- лам , v vv n vv 2 4. Вычисляют СКО измерения m по формуле Бесселя: 1 n vv m 5. Вычисляют СКО арифметической средины n m M 2.2 Порядок обработки результатов неравноточных измерений. 1. Выбирают «ложный нуль» и вычисляют ε i. 14 2. Определяют p i ε i и подсчитывают i i p 3. Вычисляют весовое среднее по формуле p p L L 0 4. Определяют отклонения от весового среднего и вычисляют p i v i Контролем служит равенство 0 pv 5. Определяют pvv и контролируют полученное значение по формуле p p p pvv 2 6. Вычисляют значение ошибки единицы веса и СКО весового сред- него по формулам (23) и (26). Пример 10. По результатам измерения угла, приведенным в табл. 1, найти вероят- нейшее значение этого угла и оценить точность результатов измерений и вы- численного значения арифметической средины. Таблица 1 Результаты измерения угла № п/п Значение угла, l ε εε v vv 1 81 35 26" 4 16 +2.25 4.8 2 32 10 100 -3.75 14.4 3 24 2 2 +4.25 17.6 4 28 6 36 +0.25 0 5 33 11 121 -4.75 23.0 6 25 3 9 +3.25 10.2 7 31 9 81 -2.75 7.8 8 22 0 0 +6.25 38.4 9 34 12 144 -5.75 33.6 10 29 7 49 -0.75 0.6 11 25 3 9 +3.25 10.2 12 30 8 64 -1.75 3.2 l 0 81 35' 22" 75 633 0" 163.8 x 81 35 28.25 x 81 35'22"+75"/12=81 35'28.25" vv =633-5625/12=164.2 15 m= 9 3 1 12 8 163 1 n vv M= 2 1 1 12 9 3 n m 2.3 Оценка точности по разностям двойных равноточных измерений Если произведен ряд однородных парных измерений i i x и x то, рассматри- вая разности d i как истинные ошибки разностей d i = i i x x (31), Можно вычислить СКО ошибку разности m d = n dd (32). СКО одного измерения определится по формуле m= n dd 2 (33) СКО среднего из парных измерений определится по формуле n dd m 2 1 (34) Формулы (32)-(34) применяются при отсутствии систематических оши- бок. В качестве критерия влияния этих ошибок используют следующее усло- вие: d dd 25 0 (35) При наличии систематических ошибок подсчитывают их среднее значе- ние n d d 0 (36) Исключая это значение из разностей, получим 0 d d d i i (37), которые свободны от систематического влияния. Так как величины, вычисляе- мые по формуле (37) являются отклонениями от арифметической средины (36), то для вычисления СКО разности можно воспользоваться формулой Бесселя: 16 1 n d d m d (38) СКО одного измерения ) 1 ( 2 n d d m (39) СКО среднего из парных измерений 1 2 1 n d d M (40) 2.4 Оценка точности по разностям двойных неравноточных измерений Оценка точности ряда парных неравноточных измерений производится по формуле n dd p d (41), Где веса разностей p d определяются согласно 2 1 2 1 p p p p P di (42), где 2 1 p p - веса двойных измерений. Если i i p p , то 2 i d p p i , тогда n pdd 2 (43) При наличии систематических ошибок в разностях двойных неравно- точных измерений p pd d 0 (44) Ошибка единицы веса определится по формуле 1 n d d p d (45) Или ) 1 ( 2 n d d p (46). Критерием применимости формул (45) и (46) служит условие p d p d 25 0 (47) 17 В противном случае используют формулы (41)-(43). ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание 1. Проанализировать результаты измерений угла по истинным ошибкам, приведенным в таблице 2: найти среднюю квадратическую ошибку, среднюю, вероятную, предельную и проиллюстрировать свойства случайных ошибок на данном примере. Таблица 2 Результаты измерений угла по истинным ошибкам -2.42 0.82 -0.30 0.13 1.65 0.71 0.28 0.12 -1.55 -0.67 -0.25 -0.12 -1.45 0.66 0.24 -0.11 1.29 -0.65 -0.22 -0.10 0.18 -1.28 0.64 0.17 0.10 1.27 -0.58 -0.17 0.08 1.12 0.16 -0.05 -0.56 0.95 0.15 -0.02 -0.88 -0.50 -0.14 0.02 Указание по выполнению задания: для индивидуализации задания к по- следним двум цифрам исходных данных прибавить номер своего варианта. Задание 2. Проверить наличие систематической составляющей в ре- зультатах измерений, имеющих ошибки, приведенные в таблице 3 и определить среднюю квадратическую ошибку результата измерения. Таблица 3 Результаты измерений 0.4 0.7 -0.2 0.5 0.8 -1.3 -0.6 1.0 2.8 3.1 -0.9 2.1 -3.5 2.7 4.9 0.1 0.8 -2.7 1.3 2.2 -1.3 -0.2 -1.4 5.6 0.2 -2.2 -0.5 1.5 -1.8 1.2 0.9 0.3 1.8 -2.6 -0.4 Указание: к исходным данным прибавить номер своего варианта. Задание 3. Выполнить математическую обработку результатов много- кратных измерений угла, приведенных в таблице 4. 18 Таблица 4 Результаты многократных измерений угла Варианты секунд результатов измерений № угол 1 2 3 4 5 6 7 8 1 34 11' 30.9 31.2 31.8 30.1 31.2 31.0 32.9 31.2 2 31.2 32.4 32.9 31.7 32.4 32.3 36.2 37.4 3 31.7 33.0 34.0 33.7 33.0 34.5 31.0 35.0 4 30.5 36.1 35.1 30.4 36.1 35.1 33.8 36.8 5 32.0 32.3 31.3 36.0 32.3 31.9 32.7 33.3 6 36.3 35.8 37.8 36.3 35.8 33.8 35.3 36.8 7 35.1 36.0 33.0 34.1 36.0 32.0 36.1 35.0 8 36.4 32.9 31.9 35.2 32.9 35.9 34.4 32.9 1 67 54' 44.5 47.6 49.9 50.0 51.2 52.2 54.9 55.5 2 43.8 46.1 47.2 49.9 49.8 51.0 53.1 54.0 3 45.6 45.4 48.4 49.5 46.3 53.0 55.5 54.9 4 42.8 46.9 46.7 47.7 47.5 49.9 52.95 53.8 5 44.0 47.1 49.2 50.3 51.9 52.8 54.0 52.9 6 43.0 45.1 46.2 46.9 49.1 59.0 56.1 57.0 7 45.6 45.4 48.4 49.5 46.3 53.0 55.5 54.9 8 42.8 46.9 46.7 47.7 47.5 49.9 52.95 53.8 Задание 4. Определить вероятнейшее значение отметки узлового репера и произвести оценку точности по данным, приведенным в таблице 5. Таблица 5 Приведенные данные Варианты средних квадратических ошибок по ходам мм № хода Н, м 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 250. 722 5.7 5.3 4.9 4.6 4.4 4.2 4.8 5.2 5.4 2 729 4.1 4.9 5.0 4.8 4.7 5.7 5.0 5.8 5.6 3 720 4.4 4.5 5.2 5.7 6.1 6.0 4.0 5.5 5.3 4 717 3.5 3.7 4.1 5.2 4.8 2.3 2.9 4.0 4.1 5 732 2.9 4.8 3.8 3.3 3.6 4.1 3.7 4.2 4.4 1 189.351 4.5 3.6 3.9 5.0 4.8 3.8 5.2 4.7 4.9 2 359 5.7 5.3 4.9 4.6 4.4 4.2 4.8 5.2 5.4 3 326 4.1 4.9 5.0 4.8 4.7 5.7 5.0 5.8 5.6 4 344 4.4 4.5 5.2 5.7 6.1 6.0 4.0 5.5 5.3 5 317 3.5 3.7 4.1 5.2 4.8 2.3 2.9 4.0 4.1 19 Контрольные вопросы, отражающие содержание программного материала по разделам дисциплины 1. Что такое измерения, как их можно классифицировать? 2. Что такое ошибки (погрешности) измерений, как их можно классифициро- вать? 3. Какие критерии точности измерений применяются при геодезических изме- рениях? 4. Что такое «Формула Гаусса»? Область ее применения? 5. Как выполняется оценка точности функций измеренных величин? 6. В каких случаях в качестве критерия точности результатов измерений при- меняется формула Бесселя? 7. Как вычислить вероятнейшее значение многократно и равноточно измерен- ной величины и оценить ее точность? 8. Какие измерения называются неравноточными? 9. Что такое вес? Для чего он вводится? 10. Что является вероятнейшим значением многократно и неравноточно изме- ренной величины? Как его вычислить? 11. Как вычислить среднюю квадратическую ошибку весового среднего? 12. Как выполняется оценка точности по разностям двойных измерений? 13. Как учитывается влияние систематических ошибок при обработке ряда двойных измерений? Литература 1. Куштин И.Ф. Геодезия: Обработка результатов измерений. / И.Ф. Куштин М.: изд.Ц. «Март», 2006. 284 с. 2. Поклад Г.Г. Геодезия. Уч. пособие. / Г.Г. Поклад М.: 2007, ч.2, гл.1-4. 2. Губеладзе А.Р. Методические указания к заданиям по курсу «Теория математической обработки геодезических измерений». Теория ошибок измере- ний. / А.Р. Губеладзе. 1992, 24 с. |