Справочник. справочный материал. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ -2. Методические указания к расчетным заданиям покурсу высшей математики элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Дифференциальное исчисление функции одного переменного
 Скачать 0.58 Mb.
|
|
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве ........................ 2 2.1. Аналитическая геометрия на плоскости ............................................. 2 2.1.1. Прямая на плоскости .................................................................... 2 2.1.2. Кривые второго порядка на плоскости ....................................... 6 2.1.2.1. Эллипс.............................................................................. 6 2.1.2.2. Гипербола ........................................................................ 7 2.1.2.3. Парабола .......................................................................... 8 2.1.3. Преобразование декартовой прямоугольной системы координат на плоскости .............................................................. 10 2.2. Аналитическая геометрия в пространстве ........................................ 11 2.2.1. Плоскость ..................................................................................... 11 2.2.2. Прямая в пространстве ............................................................... 14 2.2.3. Взаимное расположение прямой и плоскости ......................... 16 2.2.4. Поверхности второго порядка ................................................... 16 2.3. Примеры решений расчетных заданий по теме Аналитическая геометрия на плоскости ........................................................................ 20 2.4.Примеры решений расчетных заданий по теме Аналитическая геометрия в пространстве .................................................................... 26 2 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве 2.1. Аналитическая геометрия на плоскости 2.1.1. Прямая на плоскости Составим уравнение прямой, проходящей через точку ) , ( 0 0 0 y x M парал- лельно вектору { } y x a a a r , = = (рис.1). Рис. 1 Точка ( ) y x M , будет принадлежать прямой тогда и только тогда, когда a M M 0 , то есть, a t M M = 0 или = − = − y x ta y y ta x x 0 0 (1) Уравнение (1) называют параметрическим уравнением прямой на плоскости. Выразив из уравнений системы (1), получим уравнение прямой в виде y o x a y y a x x − = − 0 (2) Уравнение (2) называют каноническим уравнением прямой на плоскости. Частным случаем уравнения (2) является уравнение прямой, проходящей через две точки ) , ( 1 1 1 y x M и ) , ( 2 2 2 y x M 1 2 1 1 2 1 y y y y x x x x − − = − − (2 1 ) Составим уравнение прямой, проходящей через точку ) , ( 0 0 0 y x M пер- пендикулярно вектору { } B A n , = (рис.2). t 3 Рис. 2 Точка ( ) y x M , будет принадлежать прямой тогда и только тогда, когда n M M ⊥ 0 , то есть, ( ) 0 , 0 = n M M или ( ) ( ) 0 0 0 = − + − y y B x x A (3) Если раскрыть скобки, то уравнение прямой примет вид 0 = + + C By Ax (4) где 0 0 By Ax C − − = Уравнение (4) называют общим уравнением прямой на плоскости. Зная уравнение (4) всегда можно назвать нормальный вектор прямой { } B A n , = Укажем ещё два вида уравнения прямой на плоскости: уравнение прямой в отрезках (рис. 3); 1 = + b y a x (5) уравнение прямой в нормальном виде (рис.4) ) 0 ( 0 cos cos p p y x = − β + α (6) Уравнения (5) и (6) легко получить из общего уравнения прямой путем ал- гебраических преобразований. В уравнении (6) вектор { } β α = cos , cos 0 n – единичный нормальный вектор прямой, -расстояние от начала координат до прямой. Рис. 3 Рис. 4 p y x O β α p 4 Из школьного курса геометрии известно уравнение прямой вида b kx y + = (7) где − ϕ = tg k тангенс угла наклона прямой к оси 0x (рис. 5). Уравнение (7) называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Рис.5 Расстояние d от точки ) , ( 0 0 0 y x M до прямой l : 0 = + + C By Ax можно найти по формуле: 2 2 0 0 0 ) , ( B A C By Ax l M d + + + = (8) 5 Прямая на плоскости. Основные задачи Общее уравнение прямой. Каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой с угло- вым коэффициентом Дано: { } { } 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 , 0 : , 0 : l B A n C y B x A l l B A n C y B x A l ⊥ = ⇒ = + + ⊥ = ⇒ = + + Дано: { } { } 2 2 2 2 1 1 1 1 , : , : l b b b b y y b x x l l a a a a y y a x x l y x y x y x y x = ⇒ − = − = ⇒ − = − Дано: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 tg : tg : ϕ = ⇒ + = ϕ = ⇒ + = k b x k y l k b x k y l Задача 1. Условие перпендикулярности прямых ( ) 0 0 , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = + ⇔ = ⇔ ⊥ ⇔ ⊥ B B A A n n n n l l ( ) 0 0 , 2 1 = + ⇔ = ⇔ ⊥ ⇔ ⊥ y y x x b a b a b a b a l l 1 2 1 2 1 − = ⇔ ⊥ k k l l Задача 2. Условие параллельности прямых 2 1 2 1 2 1 2 1 B B A A n n l l = ⇔ ⇔ y y x x b a b a b a l l = ⇔ ⇔ 2 1 2 1 2 1 k k l l = ⇔ Задача 3. Нахождение угла между прямыми. ( ) 2 1 ,l l ∠ = ϕ ( по определению ϕ - острый угол) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , cos B A B A B B A A n n n n + + + = = ϕ ( ) 2 2 2 2 , cos y x y x y y x x b b a a b a b a b a b a + + + = = ϕ 1 2 1 2 1 tg k k k k + − = ϕ 6 2.1.2. Кривые второго порядка на плоскости 2.1.2.1. Эллипс Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстоя- ние между фокусами. Выберем систему координат Oxy так, чтобы фокусы находились на оси Ox в точках и . Сумму расстояний до фокусов обозначим 2a (рис. 1). Из определения эллипса следует , то есть или Возводя обе части в квадрат и проделав некоторые преобразования, полу- чим уравнение эллипса в виде Так как , то Обозначив , имеем уравнение эл- липса в каноническом виде . (1) Эллипс имеет форму, изображённую на рис.2. Заметим, что если , то от- резок называют большой осью эллипса, отрезок малой осью. Рис. 1 Рис.2 При уравнение эллипса превращается в уравнение окружности с центром в начале координат. ,0) ( 1 c F − ,0) ( 2 c F a MF MF 2 2 1 = + a y c x y c x 2 ) ( ) ( 2 2 2 2 = + − + + + ) ( 2 ) ( 2 2 2 2 y c x a y c x + − − = + + ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 c a a y a x c a − = + − c a > 0. 2 2 > − c a 2 2 2 b c a = − 1 2 2 2 2 = + b y a x b a > 2 1 A A 2 1 B B b a = 7 Эксцентриситетом эллипса называется отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси. Если фокусы эллипса на оси Ox, то эксцентриситет . Ясно, что так как Эксцентриситет эллипса показывает степень сжатия эллипса. 2.1.2.2. Гипербола Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из них до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фо- кусами. Выберем систему координат Oxy так, чтобы фокусы находились в точ- ках на оси Ox (рис. 3). Рис. 3 Рис. 4 Обозначая модуль разности расстояний 2a, имеем, или После некоторых преобразований с учётом того, что , уравнение приведётся к виду , где (2) Гипербола имеет форму, изображённую на рис. 4, прямые x a b y ± = явля- ются асимптотами гиперболы. Отрезки , называются действительной и мнимой осью гиперболы соответственно. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение половины фокусно- го расстояния к действительной полуоси. a c = ε 1, 0 < ε < 0 a c < < ;0) ( ;0), ( 2 1 c F c F − a MF MF 2 2 1 = − 0) ( > a a y c x y c x 2 ) ( ) ( 2 2 2 2 = + − − + + c a < 1 2 2 2 2 = − b y a x 2 2 2 a c b − = 2 1 A A 2 1 B B 8 Так как для гиперболы , то эксцентриситет Уравнение (2 / )задает, так называемую, сопряженную гиперболу, изобра- женную на (рис. 5). 1 2 2 2 2 = + − b y a x (2 / ) Рис. 5 2.1.2.3. Парабола Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается ( ). Выберем систему координат Oxy так, чтобы фокус находился на оси Ox, а директриса была бы ей перпендикулярна (рис. 6). Рис. 6 a c > 1. > = ε a c p 0 > p • • 2 p x − = 0 ; 2 p F x y K ) , ( y x M 9 Проведём перпендикулярно директрисе. Из определения параболы следует , то есть Возведя в квадрат обе части уравнения, получим , то есть px y 2 2 = (3) Уравнение (3) называется каноническим уравнением параболы. Парабола будет иметь форму, изображённую на рис. 7. Рис. 7. Рис. 8. Если фокус параболы находится слева от начала координат, то уравнение параболы имеет вид px y 2 2 − = (рис. 8). Если фокус находится на оси Oy в точке 2 ; 0 p F (рис. 9), то уравнение примет вид py x 2 2 = , если в точке − 2 ; 0 p F (рис. 10),то py x 2 2 − = Рис. 9. Рис. 10. MK MK MF = ) 2 ( ) 2 ( 2 2 2 p x y p x + = + − 4 4 2 2 2 2 p px x y p px x + + = + + − y 2 p − 2 p x 0 • • • 10 2.1.3. Преобразование декартовой прямоугольной системы коорди- нат на плоскости Рассмотрим две декартовы системы координат 0, , и , , , то есть новая система координат получена параллельным переносом старой сис- темы координат с центром О в точку (рис. 1). Произвольная точка имеет координаты (x, y) в старой системе координат и ( )в новой. Рис. 1 Из чертежа видно, что Обозначим координаты точки ' O в старой системе координат (a, b), тогда и, следовательно, или Формулы связи старых и новых координат при параллельном переносе примут вид: − = ′ − = ′ b y y a x x (1) Выведем формулы связи при повороте осей координат на один и тот же угол с сохранением масштаба, т.е. рассматриваем старую систему коорди- нат O, , и новую O, , где единичные векторы (рис. 2). i j ' 0 i j ' 0 M ' ' , y x M O OO OM ' ' + = , j y i x OM + = , j b i a OO ' + = j y i x M O ' ' ' + = j y i x j b i a j y i x ' ' + + = + + 0. ) ( ) ( ' ' = − − + − − j y b y i x a x i j , 1 e 2 e , 1 e 2 e y ' y j i • ' 0 ) , ( ) , ( ' ' y x M y x M ' x j i 0 x , 11 Рис. 2 Введём две полярные системы координат с общим полюсом O и по- лярными осями и Тогда ϕ = ϕ = ϕ = ϕ = sin , cos , sin cos 1 ' 1 ' r y r x r y r x Так как , то Следовательно, при повороте на угол системы координат формулы связи примут вид Рассмотренные преобразования используют при приведении уравнений кривых второго порядка к каноническому виду. Если уравнение не содер- жит произведения xy , то используют параллельный перенос, который на практике осуществляется путем выделения полного квадрата. Если урав- нение линии содержит произведение xy , то используют поворот, причем угол поворота выбирают так, чтобы в уравнении линии в новой системе координат коэффициент при произведении y x ′ ′ был равен нулю. |