Справочник. справочный материал. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ -2. Методические указания к расчетным заданиям покурсу высшей математики элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Дифференциальное исчисление функции одного переменного

• Название: Методические указания к расчетным заданиям покурсу высшей математики элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Дифференциальное исчисление функции одного переменного
• Анкор: Справочник
• Дата: 15.11.2021
• Размер: 0.58 Mb.
• Имя файла: справочный материал. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ -2.pdf
• Тип: Методические указания; #272970
• страница: 2 из 4

2.2.
Аналитическая геометрия в пространстве
2.2.1.
Плоскость
Составим уравнение плоскости, проходящей через точку
)
,
,
(
0 0
0 0
z
y
x
M
перпендикулярно вектору
{
}
,
, C
B
A
n
=

Точка
(
)
z
y
x
M
,
,
будет принадлежать плоскости тогда и только тогда, ко- гда
n
M
M

⊥
0
, то есть,
(
)
0
,
0
=
n
M
M

или
Ox
x
O ′
α
+
ϕ
=
ϕ
1
α





α
+
α
=
α,
−
α
=
cos sin sin cos
'
'
'
'
y
x
y
y
x
x
(2)





α
+
α
=
α
ϕ
+
α
ϕ
=
α
+
ϕ
=
α
−
α
=
α
ϕ
−
α
ϕ
=
α
+
ϕ
=
sin cos
)
sin cos cos
(sin
)
sin(
sin cos
)
sin sin cos
(cos
)
cos(
'
1 1
1
'
'
1 1
1
x
y’
r
r
y
y
x
r
r
x
,

12
Если раскрыть скобки, то уравнение плоскости примет вид
,
0
=
+
+
+
D
Cz
By
Ax
(2) где
Cz
By
Ax
D
−
−
−
=
0 0
Уравнение (2) называют общим уравнением плоскости. Зная уравнение
(2) всегда можно назвать нормальный вектор плоскости
{
}
C
B
A
n
,
,
=

Возможны следующие частные случаи:
А = 0 – плоскость параллельна оси Ох
В = 0 – плоскость параллельна оси Оу
С = 0 – плоскость параллельна оси Оz
D = 0 – плоскость проходит через начало координат
А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу
А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz
В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz
А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох
В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу
С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz
А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу
А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz
В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz.
При нахождении уравнения плоскости часто используют идею компла- нарности векторов. Рассмотрим некоторые случаи, в которых использует- ся данная идея.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Для того чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежа- ли на одной прямой.
Рассмотрим точки
)
,
,
(
1 1
1 1
z
y
x
M
,
)
,
,
(
2 2
2 2
z
y
x
M
,
)
,
,
(
3 3
3 3
z
y
x
M
в декартовой системе координат. Для того, чтобы произвольная точка
)
,
,
(
z
y
x
M
ле- жала в одной плоскости с точками М
1
, М
2
, М
3
необходимо, чтобы векторы
M
M
M
M
M
M
1 3
1 2
1
,
,
были компланарны, то есть их смешанное произведе- ние должно быть равно нулю.
(
M
M
M
M
M
M
1 3
1 2
1
,
,
) = 0
Находим координаты векторов,
}
;
;
{
}
;
;
{
}
;
;
{
1 3
1 3
1 3
3 1
1 2
1 2
1 2
2 1
1 1
1 1
z
z
y
y
x
x
M
M
z
z
y
y
x
x
M
M
z
z
y
y
x
x
M
M
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
и составляем их смешанное произведение.
Получаем искомое уравнение плоскости, проходящей через три точки:
(
) (
) (
)
0 0
0 0
=
−
+
−
+
−
z
z
С
y
y
B
x
x
A
(1)

13
0 1
3 1
3 1
3 1
2 1
2 1
2 1
1 1
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
(3)
Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному
плоскости
Пусть заданы точки
)
,
,
(
1 1
1 1
z
y
x
M
,
)
,
,
(
2 2
2 2
z
y
x
M
и вектор
{
}
z
y
x
a
a
a
a
,
,
=

Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М
1
и М
2
и произвольную точку плоскости
)
,
,
(
z
y
x
M
параллельно вектору
a

Векторы
}
;
;
{
1 1
1 1
z
z
y
y
x
x
M
M
−
−
−
=
,
}
;
;
{
1 2
1 2
1 2
2 1
z
z
y
y
x
x
M
M
−
−
−
=
и вектор
{
}
z
y
x
a
a
a
a
,
,
=

должны быть компланарны, т.е.(
a
M
M
M
M

,
,
2 1
1
) = 0
Уравнение плоскости имеет вид:
0 1
2 1
2 1
2 1
1 1
=
−
−
−
−
−
−
z
y
x
a
a
a
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
(4)
Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным
плоскости.
Пусть заданы два вектора
{
}
z
y
x
a
a
a
a
,
,
=

и
{
}
z
y
x
b
b
b
b
,
,
=

, коллинеарные плос- кости. Рассмотрим произвольную точку
)
,
,
(
z
y
x
M
, принадлежащую плоскости. Векторы
1
,
,
MM
b
a


должны быть компланарны.
Уравнение плоскости имеет вид:
0 1
1 1
=
−
−
−
z
y
x
z
y
x
b
b
b
a
a
a
z
z
y
y
x
x
(5)
Если в общем уравнении
0
=
+
+
+
D
Cz
By
Ax
разделить обе части на (-D)
0 1
=
−
−
−
−
z
D
C
y
D
B
x
D
A
, и заменить
C
D
c
B
D
b
A
D
a
−
=
−
=
−
=
,
,
, то получим уравнение плоскости в отрезках:
1
=
+
+
c
z
b
y
a
x
(6)
Числа
c
b
a ,
,
соответствуют отрезкам, отсекаемым плоскостью от осей ко- ординат. Данное уравнение удобно при построении плоскостей. Расстоя- ние от некоторой точки
)
,
,
(
0 0
0 0
z
y
x
M
до плоскости
0
=
+
+
+
D
Cz
By
Ax
можно найти по формуле

14
2 2
2 0
0 0
C
B
A
D
Cz
By
Ax
d
+
+
+
+
+
=
(7)
Пусть даны две плоскости:
{
}
{
}
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
,
,
0
:
,
,
0
:
α
⊥
=
⇒
=
+
+
+
α
α
⊥
=
⇒
=
+
+
+
α
C
B
A
n
D
z
C
y
B
x
A
C
B
A
n
D
z
C
y
B
x
A


, тогда:
Условие перпендикулярности плоскостей
(
)
0 0
,
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
=
+
+
⇔
=
⇔
⊥
⇔
α
⊥
α
С
С
B
B
A
A
n
n
n
n




(8)
Условие параллельности плоскостей
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
С
С
B
B
A
A
n
n
=
=
⇔
⇔
α
α


(9)
Нахождение угла между плоскостями
(
)
2 1
,
α
α
∠
=
ϕ
(
ϕ
–
острый угол).
(
)
2 2
2 2
2 2
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
,
cos
С
B
A
С
B
A
С
С
B
B
A
A
n
n
n
n
+
+
+
+
+
+
=
=
ϕ




(10)
2.2.2.
Прямая в пространстве
Составим уравнение прямой, проходящей через точку
)
,
,
(
0 0
0 0
z
y
x
M
параллельно вектору
{
}
z
y
x
a
a
a
a
,
,
=

Точка
(
)
z
y
x
M
,
,
будет принадлежать прямой тогда и только тогда, когда
a
M
M

0
, то есть,
a
t
M
M
=
0
или
(
)
(
)
(
)




=
−
=
−
=
−
z
y
x
ta
z
z
ta
y
y
ta
x
x
0 0
0
⇔




+
=
+
=
+
=
0 0
0
z
ta
z
y
ta
y
x
ta
x
z
y
x
(11)
Уравнение (11) называют параметрическим уравнением прямой в про- странстве.
Заметим, что вектор, параллельный прямой, называют направляющим
вектором прямой.
Выразив из уравнений системы (11), получим уравнение прямой в виде
z
o
y
o
x
a
z
z
a
y
y
a
x
x
−
=
−
=
−
0
(12)
Уравнения (12) называют каноническими уравнениями прямой в про- странстве.
Частным случаем (12) является уравнение прямой, проходящей через две точки
)
,
,
(
1 1
1 1
z
y
x
M
и
)
,
,
(
2 2
2 2
z
y
x
M
1 2
1 1
2 1
1 2
1
z
z
z
z
y
y
y
y
x
x
x
x
−
−
=
−
−
=
−
−
(12 1
)
Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пе- ресечения двух плоскостей.
t

15



=
+
+
+
=
+
+
+
0 0
2 2
2 2
1 1
1 1
D
z
C
y
B
x
A
D
z
C
y
B
x
A
(13)
Систему (13) называют общим уравнением прямой.
Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в об- щем виде к каноническому виду.
Для этого надо найти произвольную точку
)
,
,
(
0 0
0 0
z
y
x
M
прямой и ее направляющий вектор.
Направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произве- дение нормальных векторов заданных плоскостей, так как очевидно, что
,
2 1
n
a
n
a




⊥
⊥
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
2 1
1 1
2 1
z
y
x
a
k
a
j
a
i
B
A
B
A
k
C
A
C
A
j
C
B
C
B
i
C
B
A
C
B
A
k
j
i
n
n
a










+
+
=
+
−
=
=
×
=
В качестве точки
)
,
,
(
0 0
0 0
z
y
x
M
может быть взято любое решение системы
(13). Обычно одну из координат точки полагают равной нулю, тогда две другие координаты легко находятся.
Пусть даны две прямые:
z
y
x
a
z
z
a
y
y
a
x
x
L
1 1
1 1
:
−
=
−
=
−
z
y
x
b
z
z
b
y
y
b
x
x
L
2 2
2 2
:
−
=
−
=
−
Угол между прямыми в пространстве
Острый угол между прямыми ϕ и угол между направляющими векто- рами ϕ
1
этих прямых связаны соотношением: ϕ = ϕ
1
или ϕ = 180 0
-
ϕ
1
Таким образом:
( )
2 2
2 2
2 2
cos
z
y
x
z
y
x
z
z
y
y
x
x
b
b
b
a
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
+
+
+
+
+
+
=
⋅
=
ϕ
(14)
Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве
Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответ- ствующие координаты пропорциональны.
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
=
=
Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. их скалярное произведение равно нулю:
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
+
+
=0.

16
2.2.3.
Взаимное расположение прямой и плоскости
Пусть даны прямая и плоскость:
z
y
x
a
z
z
a
y
y
a
x
x
L
1 1
1
:
−
=
−
=
−
0
:
=
+
+
+
α
D
Cz
By
Ax
Угол между прямой и плоскостью.
Заметим, что углом между плоскостью и прямой называется угол меж- ду прямой и её проекцией на плоскость (рис. 1)
Рис.1
( )
2 2
2 2
2 2
,
sin
z
y
x
z
y
x
a
a
a
C
B
A
Ca
Ba
Aa
n
a
n
a
+
+
+
+
+
+
=
=
ϕ




(15)
Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в
пространстве.
Для того чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны.
( )
0 0
,
=
+
+
⇔
=
⇔
⊥
z
y
x
Ca
Ba
Aa
a
n
a
n




(16)
Для того чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необхо- димо и достаточно, чтобы нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны.
z
y
x
a
C
a
B
a
A
a
n
=
=
⇔


(17)
2.2.4.
Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка – это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка.
Цилиндрические поверхности
Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образо- ванные линиями, параллельными какой - либо фиксированной прямой.
n
l
ϕ

17
Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая
z, т.е. направляющие параллельны оси Оz. Тип линии на плоскости ХOY
(эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности. Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих:
1)
1 2
2 2
2
=
+
b
y
a
x
– эллиптический цилиндр (рис. 1).