Справочник. справочный материал. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ -2. Методические указания к расчетным заданиям покурсу высшей математики элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Дифференциальное исчисление функции одного переменного
![]()
|
2.2. Аналитическая геометрия в пространстве 2.2.1. Плоскость Составим уравнение плоскости, проходящей через точку ) , , ( 0 0 0 0 z y x M перпендикулярно вектору { } , , C B A n = Точка ( ) z y x M , , будет принадлежать плоскости тогда и только тогда, ко- гда n M M ⊥ 0 , то есть, ( ) 0 , 0 = n M M или Ox x O ′ α + ϕ = ϕ 1 α α + α = α, − α = cos sin sin cos ' ' ' ' y x y y x x (2) α + α = α ϕ + α ϕ = α + ϕ = α − α = α ϕ − α ϕ = α + ϕ = sin cos ) sin cos cos (sin ) sin( sin cos ) sin sin cos (cos ) cos( ' 1 1 1 ' ' 1 1 1 x y’ r r y y x r r x , 12 Если раскрыть скобки, то уравнение плоскости примет вид , 0 = + + + D Cz By Ax (2) где Cz By Ax D − − − = 0 0 Уравнение (2) называют общим уравнением плоскости. Зная уравнение (2) всегда можно назвать нормальный вектор плоскости { } C B A n , , = Возможны следующие частные случаи: А = 0 – плоскость параллельна оси Ох В = 0 – плоскость параллельна оси Оу С = 0 – плоскость параллельна оси Оz D = 0 – плоскость проходит через начало координат А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz. При нахождении уравнения плоскости часто используют идею компла- нарности векторов. Рассмотрим некоторые случаи, в которых использует- ся данная идея. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Для того чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежа- ли на одной прямой. Рассмотрим точки ) , , ( 1 1 1 1 z y x M , ) , , ( 2 2 2 2 z y x M , ) , , ( 3 3 3 3 z y x M в декартовой системе координат. Для того, чтобы произвольная точка ) , , ( z y x M ле- жала в одной плоскости с точками М 1 , М 2 , М 3 необходимо, чтобы векторы M M M M M M 1 3 1 2 1 , , были компланарны, то есть их смешанное произведе- ние должно быть равно нулю. ( M M M M M M 1 3 1 2 1 , , ) = 0 Находим координаты векторов, } ; ; { } ; ; { } ; ; { 1 3 1 3 1 3 3 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 z z y y x x M M z z y y x x M M z z y y x x M M − − − = − − − = − − − = и составляем их смешанное произведение. Получаем искомое уравнение плоскости, проходящей через три точки: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 = − + − + − z z С y y B x x A (1) 13 0 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 = − − − − − − − − − z z y y x x z z y y x x z z y y x x (3) Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости Пусть заданы точки ) , , ( 1 1 1 1 z y x M , ) , , ( 2 2 2 2 z y x M и вектор { } z y x a a a a , , = Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М 1 и М 2 и произвольную точку плоскости ) , , ( z y x M параллельно вектору a Векторы } ; ; { 1 1 1 1 z z y y x x M M − − − = , } ; ; { 1 2 1 2 1 2 2 1 z z y y x x M M − − − = и вектор { } z y x a a a a , , = должны быть компланарны, т.е.( a M M M M , , 2 1 1 ) = 0 Уравнение плоскости имеет вид: 0 1 2 1 2 1 2 1 1 1 = − − − − − − z y x a a a z z y y x x z z y y x x (4) Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости. Пусть заданы два вектора { } z y x a a a a , , = и { } z y x b b b b , , = , коллинеарные плос- кости. Рассмотрим произвольную точку ) , , ( z y x M , принадлежащую плоскости. Векторы 1 , , MM b a должны быть компланарны. Уравнение плоскости имеет вид: 0 1 1 1 = − − − z y x z y x b b b a a a z z y y x x (5) Если в общем уравнении 0 = + + + D Cz By Ax разделить обе части на (-D) 0 1 = − − − − z D C y D B x D A , и заменить C D c B D b A D a − = − = − = , , , то получим уравнение плоскости в отрезках: 1 = + + c z b y a x (6) Числа c b a , , соответствуют отрезкам, отсекаемым плоскостью от осей ко- ординат. Данное уравнение удобно при построении плоскостей. Расстоя- ние от некоторой точки ) , , ( 0 0 0 0 z y x M до плоскости 0 = + + + D Cz By Ax можно найти по формуле 14 2 2 2 0 0 0 C B A D Cz By Ax d + + + + + = (7) Пусть даны две плоскости: { } { } 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 0 : , , 0 : α ⊥ = ⇒ = + + + α α ⊥ = ⇒ = + + + α C B A n D z C y B x A C B A n D z C y B x A , тогда: Условие перпендикулярности плоскостей ( ) 0 0 , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = + + ⇔ = ⇔ ⊥ ⇔ α ⊥ α С С B B A A n n n n (8) Условие параллельности плоскостей 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 С С B B A A n n = = ⇔ ⇔ α α (9) Нахождение угла между плоскостями ( ) 2 1 , α α ∠ = ϕ ( ϕ – острый угол). ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , cos С B A С B A С С B B A A n n n n + + + + + + = = ϕ (10) 2.2.2. Прямая в пространстве Составим уравнение прямой, проходящей через точку ) , , ( 0 0 0 0 z y x M параллельно вектору { } z y x a a a a , , = Точка ( ) z y x M , , будет принадлежать прямой тогда и только тогда, когда a M M 0 , то есть, a t M M = 0 или ( ) ( ) ( ) = − = − = − z y x ta z z ta y y ta x x 0 0 0 ⇔ + = + = + = 0 0 0 z ta z y ta y x ta x z y x (11) Уравнение (11) называют параметрическим уравнением прямой в про- странстве. Заметим, что вектор, параллельный прямой, называют направляющим вектором прямой. Выразив из уравнений системы (11), получим уравнение прямой в виде z o y o x a z z a y y a x x − = − = − 0 (12) Уравнения (12) называют каноническими уравнениями прямой в про- странстве. Частным случаем (12) является уравнение прямой, проходящей через две точки ) , , ( 1 1 1 1 z y x M и ) , , ( 2 2 2 2 z y x M 1 2 1 1 2 1 1 2 1 z z z z y y y y x x x x − − = − − = − − (12 1 ) Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пе- ресечения двух плоскостей. t 15 = + + + = + + + 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 D z C y B x A D z C y B x A (13) Систему (13) называют общим уравнением прямой. Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в об- щем виде к каноническому виду. Для этого надо найти произвольную точку ) , , ( 0 0 0 0 z y x M прямой и ее направляющий вектор. Направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произве- дение нормальных векторов заданных плоскостей, так как очевидно, что , 2 1 n a n a ⊥ ⊥ 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 z y x a k a j a i B A B A k C A C A j C B C B i C B A C B A k j i n n a + + = + − = = × = В качестве точки ) , , ( 0 0 0 0 z y x M может быть взято любое решение системы (13). Обычно одну из координат точки полагают равной нулю, тогда две другие координаты легко находятся. Пусть даны две прямые: z y x a z z a y y a x x L 1 1 1 1 : − = − = − z y x b z z b y y b x x L 2 2 2 2 : − = − = − Угол между прямыми в пространстве Острый угол между прямыми ϕ и угол между направляющими векто- рами ϕ 1 этих прямых связаны соотношением: ϕ = ϕ 1 или ϕ = 180 0 - ϕ 1 Таким образом: ( ) 2 2 2 2 2 2 cos z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a b a b a + + + + + + = ⋅ = ϕ (14) Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответ- ствующие координаты пропорциональны. z z y y x x b a b a b a = = Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. их скалярное произведение равно нулю: z z y y x x b a b a b a + + =0. 16 2.2.3. Взаимное расположение прямой и плоскости Пусть даны прямая и плоскость: z y x a z z a y y a x x L 1 1 1 : − = − = − 0 : = + + + α D Cz By Ax Угол между прямой и плоскостью. Заметим, что углом между плоскостью и прямой называется угол меж- ду прямой и её проекцией на плоскость (рис. 1) Рис.1 ( ) 2 2 2 2 2 2 , sin z y x z y x a a a C B A Ca Ba Aa n a n a + + + + + + = = ϕ (15) Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве. Для того чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. ( ) 0 0 , = + + ⇔ = ⇔ ⊥ z y x Ca Ba Aa a n a n (16) Для того чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необхо- димо и достаточно, чтобы нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны. z y x a C a B a A a n = = ⇔ (17) 2.2.4. Поверхности второго порядка Поверхности второго порядка – это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка. Цилиндрические поверхности Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образо- ванные линиями, параллельными какой - либо фиксированной прямой. n l ϕ 17 Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая z, т.е. направляющие параллельны оси Оz. Тип линии на плоскости ХOY (эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности. Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих: 1) 1 2 2 2 2 = + b y a x – эллиптический цилиндр (рис. 1). |