Динамика точки. Решение Запишем для этой точки дифференциальные уравнение в проекциях на декартовы оси координат
![]()
|
Вариант №18 Материальная точка массой m, движется под действием сил, равнодействующая которых зависит от времени, координат точки и ее скорости: ![]() Определить уравнения движения точки в координатной форме при заданных начальных условиях. x0 = -1; y0 = 3; z0 = 2; vx0 = 2; vy0 = 3; vz0 = 2; m = 3 кг Решение Запишем для этой точки дифференциальные уравнение в проекциях на декартовы оси координат ![]() ![]() ![]() Первое уравнение системы (1) можно представить в виде двух уравнений первого порядка ![]() ![]() В первом уравнении связаны две переменные величины: проекция скорости на ось x и время. Разделяя переменные, получим ![]() Слева и справа от знака равенства стоят дифференциалы некоторых функций. Если дифференциалы равны, то и интегралы равны с точностью до постоянной интегрирования ![]() После интегрирования получим ![]() т.е. зависимость проекции скорости точки на ось x от времени. Из второго уравнения системы (2) получим ![]() Снова, разделяя переменные, получим ![]() После интегрирования получим ![]() Постоянные C1 и C2 определим по начальным условиям. Подставляя в выражение (4) значение координаты x0 = -1 при t = 0, получаем ![]() отсюда С2= 0 Постоянную C1 определим, подставляя в (3) значение Vx=2 при t = 0: ![]() отсюда С1= 2 Таким образом, решение первого уравнения системы (1) имеет вид ![]() Второе уравнение системы (1) также представляем в виде двух уравнений ![]() ![]() Разделяя переменные в первом уравнении, получим ![]() Решая относительно Vy , получим ![]() Учитывая второе уравнение системы (6), снова получаем ![]() Разделяя переменные и интегрируя, получим ![]() Постоянные C3 и C4 определяем по начальным условиям. Из (7) ![]() Из (8) ![]() Таким образом, решение второго уравнения системы (1) имеет вид ![]() Третье уравнение системы (1) также представляем в виде двух уравнений ![]() ![]() В первом уравнении системы (16), связаны три переменных величины: скорость, время и координата точки. Чтобы разделить переменные необходимо исключить одну из них. Произведем замену ![]() Тогда первое уравнение (10) примет вид ![]() Теперь можно разделить переменные ![]() Интегрируя, получим ![]() Решая относительно vz, получим ![]() По начальным условиям найдем постоянную C5 . Подставляя в (11) vz0 = 2 и z0 =2, получим ![]() Учитывая, что ![]() ![]() Разделив переменные, приведем его к виду ![]() Интегрируя, получим ![]() Решая относительно z, получим ![]() Постоянную C6 найдем по начальным условиям. При t = 0 z0 = 2 ![]() отсюда C6 =2 Таким образом, решение третьего уравнения системы (1) будет иметь вид ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |