Методические указания к выполнению лабораторных работ Иркутск 1997
 Скачать 1.52 Mb.
|
|
3. Задание на измерения 3.1. Произвести стандартные измерения пробивного напряжения трансформаторного масла. Результаты измерений занести в самостоя- тельно подготовленную таблицу. На основании измерений определить, на какое рабочее напряжение может быть использовано испытуемое масло. 3.2. С помощью измерительной ячейки с незакрепленными стандарт- ными электродами измерить пробивное напряжение масла при расстояни- ях между электродами 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5 мм или близких к ним. Расстоя- ния устанавливать по выданным шаблонам. При каждом расстоянии про- извести по три пробоя с интервалом между ними в 1 мин. Результаты из- мерений занести в табл. 2. Построить графики зависимостей пробивного напряжения и электрической прочности от расстояния. 24 Таблица 2 № п/п h, мм U 1 , кВ U 2 , кВ U 3 , кВ U пр.ср , кВ E пр , кВ/мм 3.3. Установить в ячейке вместо одного из электродов стержень и повторить испытания пункта 3.2. 3.4. Проанализировать результаты измерений и сделать выводы по полученным результатам. 4. Контрольные вопросы Назовите цели и задачи работы. Зачем проводят испытания транс- форматорного масла? Почему при стандартных испытаниях трансформа- торного масла оказывается недостаточно одного пробоя? Какие факторы влияют на электрическую прочность трансформатор- ного масла? Объясните схему, принцип действия, устройство испытательной ус- тановки и порядок работы с ней. Как выглядит стандартная измерительная ячейка? Какие правила безопасности необходимо соблюдать при работе с высоковольтной установкой? Лабораторная работа № 5 СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОЧНОСТИ ДИЭЛЕКТРИКОВ Цель работы – изучение методов статистического прогноза пробоя диэлектриков и простейших методов статистической обработки результа- тов измерения пробивного напряжения. 1. Основные понятия и количественные характеристики Развитие разряда в высоковольтной изоляции на всех стадиях (воз- никновение начальных лавин, образование стримеров и главного разряда) носит случайный характер. Вследствие этого величины пробивного на- пряжения изоляции, измеренные в одинаковых условиях, имеют обычно существенный разброс. Использовать отдельные измерения для прогноза поведения изоляции в этом случае нельзя, поэтому пользуются некоторы- ми обобщенными характеристиками, определяемыми на основе большого числа повторных пробоев. Эти характеристики называют статистическими, и есть надежда, что хотя бы эти характеристики могут быть определены достаточно точно и их можно будет использовать для прогнозов. В данной 25 лабораторной работе предлагается определить ряд статистических харак- теристик пробивного напряжения трансформаторного масла. Измерение пробивного напряжения производится на оборудовании лабораторной ра- боты № 4, поэтому сначала надо ознакомиться с описанием этой работы. Если произвести n последовательных пробоев трансформаторного масла, то получим в общем случае n разных значений пробивного напря- жения, каждое из которых сложно использовать для прогноза, поскольку следующее значение пробивного напряжения будет явно другое. Более стабильной величиной является среднее значение пробивного напряжения ∑ = = n i i пр ср пр U n U 1 1 , (1) которое в разных сериях испытаний будет разным, но не должно сильно отличаться друг от друга, если n достаточно велико; – величина про- бивного напряжения при i-том пробое. Разброс среднего значения в разных сериях относительно некоторого «истинного среднего», называемого ма- тематическим ожиданием пробивного напряжения, характеризуется сред- ней квадратической ошибкой i пр U ∑ = − − = n i ср пр i пр Ucp U U n n s 1 2 ) ( ) 1 ( 1 (2) которая, разумеется, связана с разбросом величин в отдельной серии изме- рений. Количественной характеристикой разброса в отдельной серии явля- ется среднеквадратичное отклонение ∑ = − − = = n i ср пр i пр Ucp U U n n s s 1 2 ) ( ) 1 ( 1 (3) При проведении стандартных испытаний трансформаторного масла в лабораторной работе № 4 вычисляют величину (2) для оценки степени на- дежности определения среднего пробивного напряжения. Более серьезную характеристику определяют следующим образом. Весь диапазон полученных пробивных напряжений от U пр.мин до U пр.макс разбивают на m одинаковых интервалов величиной m U U U мин пр макс пр − = ∆ , и для каждого интервала определяют количество попаданий в него про- бивного напряжения в данной серии n k . При малом числе данных (несколь- ко десятков) берут m равным 5-6. Очевидно, ∑ = = m k k n n 1 Если обозначить конец k-го интервала U пр.k , то число пробивных на- пряжений в k-том интервале, отнесенное к общему числу измерений n, на- зывается относительной частотой попадания пробивного напряжения U пр в интервал (U пр.k-1 , U пр.k ] (без включения в него нижней границы) и яв- 26 ляется оценкой вероятности попадания пробивного напряжения в этот интервал: n n p k k = ˆ Плотность вероятности характеризует вероятность попадания U пр в единичный интервал изменения пробивного напряжения (шириной 1 кВ) в окрестности рассматриваемого значения пробивного напряжения. Оцен- ку плотности вероятности можно получить, разделив относительную час- тоту на ширину интервала: U n n U p U p k k пр ∆ = ∆ = / ˆ ) ( ˆ (4) Эксперименты показывают, что разрядные напряжения воздушных промежутков и разрядов в жидких диэлектриках подчиняются нормально- му (Гауссову) закону распределения: } 2 )] ( [ exp{ 2 1 ) ( 2 2 σ π σ пр пр пр U M U U p − − = , где математическое ожидание ) и является тем самым «истинным средним» и может быть оценено по формуле (1), а дисперсия ( пр U M σ 2 может быть заменена ее оценкой из выражения (3). s 2 Вероятность (интегральная вероятность) является долей числа изме- рений (при большом их количестве), попадающих в интервал от минус бесконечности до заданного значения случайной величины, так что связь вероятности и плотности вероятности дается формулой (5): (5) ∫ ∞ − = пр U пр пр пр dU U p U P ) ( ) ( Таким образом, относительная частота, плотность вероятности и ин- тегральная вероятность показывают доли попадания случайной величины в некоторые интервалы, разные для разных характеристик. Для полученного экспериментально ряда пробивных напряжений можно найти оценку функции распределения (5), если просуммировать все относительные частоты, которые соответствуют условию , то есть для каждой границы всех интервалов нужно просуммировать количе- ство всех пробоев, происшедших при напряжении меньшем или равном значению границы : k пр пр U U ≤ k пр U ∑ ∑ ≤ = = = k пр пр U U i k i i k пр n n p U P 1 ˆ ) ( ˆ 1 (6) При графическом отображении зависимостей (4) и (6) получаются графики оценок плотности вероятности 1 и интегральной вероятности 2 (рис. 1). При их построении сначала отмечают границы интервалов от пер- вого до m-того, а затем наносят точки, причем точки для оценок плотности 27 вероятности откладывают в серединах интервалов, а точки для интеграль- ной вероятности – по концам интервалов в соответствии со смыслом этих характеристик. Значения плотности вероятности за пределами эксперимен- тальных интервалов считают нулями, а значения интегральной вероятно- сти принимают нулевыми левее нижней границы измерений и равными единице правее верхнего края. P, % 100 5 80 4 2 60 3 40 2 1 20 1 0 U пр , кВ p, %/кВ U пр1 U прk U прm Рис. 1 С помощью интеграла (5) и соответствующих таблиц (или по графи- ку рис. 1) можно найти долю всех измерений, попадающих в некоторый интервал, середина которого совпадает со средним значением (вероятность попадания в интервал пробивных напряжений). Эта доля равна разности вероятностей ) ( ) ( ) ( пр ср пр пр ср пр пр ср пр пр пр ср пр U U P U U P U U U U U P δ δ δ δ − − + = + ≤ ≤ − Так, если δ U пр =2 σ , то вероятность попадания пробивного напряже- ния в этот интервал в окрестности U пр.ср для нормального закона равна 0.95, то есть количество пробоев в этом диапазоне составит 95% от общего количества пробоев. Если вместо дисперсии σ 2 и математического ожидания M(U пр ) ис- пользовать их экспериментальные оценки s 2 и U пр.ср , которые сами являют- ся случайными величинами, то это меняет закон распределения пробивно- го напряжения; если закон был нормальным, то теперь он будет подчи- няться распределению Стьюдента. В частности, этому закону подчиняется безразмерная нормированная величина s U s U U t пр ср пр пр δ = − = Распределение Стьюдента практически совпадает с нормальным при числе измерений больше 30-40. Таблица распределения Стьюдента (табл. 28 1) позволяет по заданной вероятности P найти значение границы t n (P), оп- ределяющей интервал [-t n (P), +t n (P)], внутрь которого с вероятностью P попадает случайная величина t; n – число измерений. По найденному t n (P) можно определить границы для пробивного напряжения: ) (P t s U n пр ⋅ = δ (7) Иначе говоря, с помощью табл. 1 и формулы (7) по заданной доле попадания пробивного напряжения в некоторый интервал можно найти границы этого интервала )] ( ), ( [ P t s U P t s U n ср пр n ср пр ⋅ + ⋅ − Пример. При числе измерений n=20 и вероятности 0.95 из таблицы получается t n (P)=2.093. Это означает, что 95% всех измерений при доста- точно большом их количестве должны попадать в интервал значений 093 2 093 2 ⋅ + ≤ ≤ ⋅ − s U U s U ср пр пр ср пр Таблица 1 Граница t n (P) интервала [-t n (P), +t n (P)], внутрь которого с заданной вероятностью P попадает случайная величина t, распределенная по закону Стьюдента n \ P 0.99 0.95 0.90 n \ P 0.99 0.95 0.90 5 4.604 2.776 2.132 12 3.106 2.201 1.796 6 4.032 2.571 2.015 14 3.012 2.160 1.771 7 3.707 2.447 1.943 16 2.947 2.132 1.753 8 3.499 2.365 1.895 18 2.898 2.110 1.740 9 3.355 2.306 1.860 20 2.861 2.093 1.729 10 3.250 2.262 1.833 25 2.797 2.064 1.711 С помощью таблиц, аналогичных табл. 1, решается и обратная задача поиска вероятности попадания измерений в заданный интервал. Используя оценку средней квадратической ошибки по формуле (2), можно оценить и надежность определения . Для этого, задавшись конкретной вероятностью P (она называется доверительной вероятно- стью), найдем соответствующее значение и границы интервала (на- зываемого доверительным интервалом) для : ср пр U ) (P t n ср пр U ) ( ) ( P t n s P t s U n n Ucp ср пр = ⋅ = δ (8) Формула (8) позволяет определить доверительный интервал ср пр ср пр ср пр ср пр ср пр U U U M U U ) ( δ δ + ≤ ≤ − , внутри которого с доверитель- ной вероятностью P находится «истинное среднее». Более подробное описание приведено в книгах [4], с. 41-43, [6], с. 70- 80, [7], с. 53-56. Необходимо также ознакомиться с описанием лаборатор- ной работы № 4. 29 2. Исследование влияния продуктов разложения трансформаторного масла, образующихся при пробое, на его электрическую прочность Все рассуждения предыдущего раздела проведены в предположении проведения независимых равноточных испытаний. Однако при пробое масла в нем образуются газообразные и твердые продукты разложения, которые могут привести к дальнейшему снижению электрической прочно- сти, то есть последующие испытания будут зависеть от предшествующих и к выводам статистического анализа нужно относиться осторожно. В связи с этим необходимо решить вопрос о том, насколько существенно влияние продуктов разложения масла на дальнейшие испытания. Самым простым способом анализа влияния предыдущих пробоев на электрическую прочность масла является способ, заключающийся в прове- дении вслед за первой серией из n пробоев второй такой же серии из n пробоев. По формулам (1) - (3) и таблице 1 при одной и той же вероятно- сти определяют границы доверительных интервалов среднего значения пробивного напряжения для каждой серии. Если два этих интервала нигде не перекрываются (и никакие части интервалов друг с другом не совпада- ют), то можно говорить о том, что с надежностью P два средних значения пробивного напряжения отличаются друг от друга и существует влияние предыдущих пробоев на последующие. Если хотя бы части интервалов совпадают, то такого вывода сделать нельзя. Пусть, к примеру, в результате двух серий измерений получено U пр.ср1 =56 кВ, U пр.ср2 =46 кВ, δU пр.ср1 =4.4 кВ, δU пр.ср2 =4.0 кВ при P 1 =P 2 =0.95. Это значит, что с доверительной вероятностью 0.95 среднее пробивное на- пряжение для первой серии лежит в доверительном интервале от 51.6 кВ до 60.4 кВ, а для второй – от 42 кВ до 50 кВ. Два этих интервала не пере- крываются, и с вероятностью не менее 0.95 можно сделать вывод о том, что после первой серии испытаний пробивное напряжение масла умень- шилось. Другим достаточно простым способом анализа влияния продуктов распада является анализ тенденций изменения пробивного напряжения внутри одной серии испытаний. Осуществляется это проверкой корреля- ции величины пробивного напряжения с номером очередного пробоя. Известно, что коэффициент корреляции между двумя случайными величинами (обозначим их X и Y) при их попарной реализации (например, при одновременном измерении) определяет степень линейной зависимости двух величин между собой. Если имеется n измерений пар значений x 1 , y 1 ; x 2 , y 2 ; ... x n , y n , то эмпирический коэффициент корреляции рассчитывается по формуле (9): ∑ ∑ = = − − = − − − = n i ср i i y x n i ср i ср i y x y y x n s s y y x x n s s r 1 1 ) ( ) 1 ( 1 1 ) )( ( ) 1 ( 1 1 , (9) 30 где s x , s y – среднеквадратичные отклонения, x ср , y ср – средние значения ве- личин: ∑ = − − = n i ср i x x x n s 1 2 ) ( ) 1 ( 1 ; ∑ = − − = n i ср i y y y n s 1 2 ) ( ) 1 ( 1 ; ∑ = = n i i ср x n x 1 1 ; ∑ = = n i i ср y n y 1 1 Величина r заключена в пределах 1 1 + ≤ ≤ − r , положительные значе- ния r соответствуют росту Y при росте X, отрицательные – падению Y при росте X. Можно считать, что связь величин X и Y существует, если 5 0 | | ≥ r , и связь незначима, если 3 0 | | ≤ r В случае пробоев масла в качестве x i берется детерминированная ве- личина – номер пробоя i, в качестве y i – величина U i . Расчет среднеквадра- тичного отклонения номера пробоя при этом упрощается, поскольку 2 ) 1 ( 1 + = ∑ = n n i n i ; 6 ) 2 )( 1 ( 1 2 + + = ∑ = n n n i n i Тогда 12 ) 1 ( + = = n n s s n x |