Методические указания к выполнению лабораторных работ Иркутск 1997
 Скачать 1.52 Mb.
|
Изучая различные встречающиеся в природе явления и объекты, мы прежде всего описываем их геометрическую форму. При этом обычно ис- пользуем понятия евклидовой геометрии: прямые, плоскости, окружно- сти, сферы и т.д. Однако многие процессы, протекающие в природе, при- водят к образованию структур, для описания которых недостаточно обыч- ной геометрии. Возьмем примеры из природы: горы, реки, береговые ли- нии, облака, деревья. Их сложно описать с помощью прямых линий, плос- костей, сфер и т.д. Отличительной особенностью этих объектов является самоподобие, когда часть объекта подобна целому. Например, геометрия притока реки подобна геометрии всей реки. Рассматривая самоподобный объект во все увеличивающихся масштабах, мы будем выявлять все более тонкие детали его структуры, а вновь выявленная структура будет подобна той, что можно видеть в более мелком масштабе. Обладающие такими свойствами объекты называют фракталами (от латинского слова "fractus" – изломанный). Определим фрактал как структуру, которая состоит из частей, кото- рые в каком-то смысле подобны целому. Количественно фрактальная структура характеризуется значением фрактальной размерности , опреде- 73 ляемой как размерность подобия. Рассмотрим в качестве примера одно- мерный объект – отрезок. Если разделить отрезок на N равных частей, то мы увидим, что он состоит из N своих копий, уменьшенных в N раз. Если мы будем разбивать на части двумерный объект - квадрат, то увидим, что он состоит из N 2 своих копий, уменьшенных в N раз (рис. 1). Трехмерный куб состоит уже из N 3 своих копий, уменьшенных в N раз (рис. 2). Таким образом, если D мерный объект состоит из К(N) своих ко- пий уменьшенных в N раз, то выполняется соотношение K(N)=N D Двумерный объект Трехмерный объект Рис. 1 Рис. 2 Из этого соотношения можно выразить размерность объекта: N N K D ln ) ( ln = Фрактальный объект а) б) в) г) д) Рис. 3 Теперь попытаемся построить объект, имеющий дробную размер- ность. Построение будем проводить по шагам. Пусть на нулевом шаге n =0 имеется отрезок длиной L 0 (рис. 3,а). На первом шаге заменяем исходный отрезок тремя отрезками длины L 1 =L 0 / 2 , расположенными относительно друг друга, как показано на рис. 3,б. На втором шаге, каждый из новых от- резков длиной L 1 заменяем тремя отрезками длиной L 2 =L 1 / 2 (рис. 3,в). Аналогичным образом выполняются третий и четвертый шаги (рис. 3,г,д). 74 Мысленно продолжая описанную процедуру до бесконечности, получим самоподобный объект, который состоит из трех своих копий, уменьшен- ных в два раза. Следовательно, ему можно сопоставить дробную размер- ность D равную ln 3/ ln 2 ≈1,585. Построенный таким образом объект являет- ся геометрическим фракталом. Так же, как и любой объект геометрии, он идеализирует действительность. Реальные физические фрактальные объек- ты, такие как, например, фрактальные кластеры (агрегаты, образующиеся при слипании микроскопических частиц), являются самоподобными толь- ко статистически. К тому же они всегда имеют некоторый минимальный и максимальный размер. Поэтому можно говорить о фрактальности реаль- ных объектов только в определенном диапазоне масштабов: от минималь- ного до максимального. Одномерная структура Двухмерная структура R R Рис. 4 Рис. 5 Экспериментально фрактальную размерность можно определить, изучая зависимость числа элементов, составляющих фрактальную струк- туру, от ее размера. Рассмотрим сначала одномерную структуру, например, линейную цепочку частиц длиной R (рис. 4). Очевидно, что число частиц в таком объекте n пропорционально размеру R (nR) . Если частицы образу- ют двумерный объект – диск (рис. 5), то nR 2 . Для трехмерного объекта nR 3 (рис. 6). Тогда для фрактальной структуры с дробной размерностью (рис. 7) D выполняется соотношение nR D Следовательно, число элементов, из которых состоит фрактал, про- порционально его размеру в степени D , где D - фрактальная размерность объекта. Чтобы определить размерность фрактальной структуры, необхо- димо построить в двойном логарифмическом масштабе график зависимо- сти числа элементов, составляющих фрактал, от его размера R . Полученная зависимость аппроксимируется прямой линией, тангенс угла наклона ко- торой равен фрактальной размерности (рис. 8): D=tg α Таким образом, здесь введено понятие фрактала, дано определение фрактальной размерности D , рассмотрен метод ее вычисления. Все это со- ставляет геометрическую основу фрактального подхода к изучению раз- личных физических явлений. Физика фракталов изучает связь между фрак- тальной геометрией и физическими свойствами природных явлений. Мы 75 будем применять методы физики фракталов для изучения структуры раз- рядных каналов, возникающих при пробое диэлектрика, фрактальная раз- мерность которых зависит от свойств диэлектрика и вида прикладываемо- го напряжения. Фрактальная размерность имеет важное значение для пол- ного понимания физики пробоя диэлектриков. Трехмерная структура Фрактальная структура Рис. 6 Рис. 7 Зависимость числа элементов от размера фрактала ln n α ln R Рис. 8 1.3. Фрактальная модель роста разрядной структуры Фрактальная модель развития разряда основана на совместном рас- смотрении как случайных, так и детерминированных процессов. Детерми- нированные закономерности используются для определения распределе- ния электрических полей, зарядов, токов в диэлектрике, а случайные – для описания роста разрядных каналов. Необходимость применения стохасти- ческих закономерностей связана с определяющей ролью неустойчивостей в развитии разрядных каналов. В результате развития любой неустойчиво- сти микроскопические флуктуации параметров диэлектрика быстро нарас- 76 тают по величине и приводят к стохастическому росту разрядных каналов. Развитие всех типов неустойчивостей определяется в первую очередь на- пряженностью электрического поля. Поэтому вероятность формирования канала P в том или ином месте должна зависеть от локальной напряженно- сти поля E л . В качестве первого приближения можно принять, что вероят- ность роста P пропорциональна E η , если напряженность поля больше неко- торой критической напряженности E c , и равна нулю, если E c : ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ = c c E E если E E если Z E P , 0 , η , (1) где Z= ∑ E η - нормирующий множитель, определяемый из условия норми- ровки: сумма вероятностей по всем направлениям роста каналов должна быть равна единице, Σ P= 1. Введение в формулу (1) критической напря- женности E c означает, что развитие неустойчивостей и формирование ка- налов не происходит, если напряженность поля меньше некоторого поро- гового значения. Величина E c зависит от свойств диэлектрика. Показатель степени η , определяющий связь вероятности роста с на- пряженностью поля, можно рассчитать по законам квантовой механики и статистической физики для конкретного вида неустойчивости. Развитие всех неустойчивостей определяется энергией электрического поля. Пред- положив, что вероятность роста канала P связана с плотностью энергии электрического поля ε r ε o E 2 /2 , можно сделать вывод, что значение η должно быть близко к двум. Напряженность электрического поля в диэлектрике рассчитывается с помощью теоремы Гаусса: ρ ε ε = ) ( 0 E div r , (2) где ρ - плотность свободных зарядов. Распределение свободных зарядов и электрического поля изменяется в процессе развития пробоя. Поскольку проводимость разрядных каналов значительно выше проводимости ди- электрика, движением зарядов в диэлектрике можно пренебречь. Динамика зарядов в разрядной структуре описывается законом Ома E j k σ = (3) и уравнением непрерывности j div dt d − = ρ , (4) где σ k – проводимость разрядных каналов, j – вектор плотности тока. Проводимость разрядных каналов σ k растет пропорционально выде- ляющейся в них энергии. Изменение проводимости можно определить, на- пример, по формуле Ромпе-Вейцеля: 77 2 E dt d k k ξσ σ = , (5) где ξ – параметр увеличения проводимости. Таким образом, во фрактальной модели пробоя рост разрядных кана- лов описывается статистически соотношением (1), а динамика распределе- ния электрических полей и зарядов определяется детерминированными законами по формулам (2) – (5). Численная реализация фрактальной модели проведена на основе компьютерного моделирования как дискретный алгоритм роста на двух- мерной решетке. Развитие разряда рассматривается в геометрии острие- плоскость. Диэлектрик, находящийся между электродами, описывается квадратной решеткой, рис. 9. Рост разрядной структуры начинается с ост- рия и происходит по шагам. За один временной шаг структура растет на одно ребро или диагональ решетки. Вероятность того, что пробой про- изойдет по некоторому ребру или диагонали, соединяющей уже принадле- жащий структуре разряда и еще не пробитый узел, зависит от локальной напряженности поля между ними (разности потенциалов между этими уз- лами, деленной на расстояние между ними) согласно соотношению (1). Геометрия электродов, используемая для моделирования Нижний электрод, U=0 Решетка Острие, U=U 0 Рис. 9 Распределение электрического потенциала и зарядов на решетке на- ходится с помощью конечно-разностной формы уравнений (2) - (5). Гра- ничными условиями являются потенциалы электродов: потенциал острия 78 равен U 0 , а потенциал нижнего электрода равен нулю. Динамика движения зарядов и изменение проводимости разрядных каналов определяются согласно формулам (3) - (5) в дискретной форме. Величина интервала физического времени ∆ t , соответствующая данному шагу моделирования, определяется распределением вероятностей роста (1). Используя теорию вероятностей, можно показать, что значение ∆ t об- ратно пропорционально величине нормирующего множителя Z : ∆ t= θ /Z , где θ является параметром перехода к физическому времени. Таким образом, работа программы сводится к последовательному выполнению следующих процедур на каждом шаге роста: • расчет электрического потенциала по теореме Гаусса (2); • определение места роста канала и интервала физического времени, соответствующего данному шагу, в соответствии с распределением вероятности (1); • расчет изменения распределения зарядов согласно закону Ома (3) и уравнению непрерывности (4); • определение изменения проводимости каналов согласно формуле Ромпе-Вейцеля (5). Результат моделирования зависит от условий пробоя (напряжение U , длина острия L ) и параметров ( E c , η , θ , λ ), описывающих свойства диэлек- трика. Параметры времени θ и увеличения проводимости λ определяют скорость нарастания проводимости разрядных каналов. Увеличение θ и λ приводит к росту проводимости и уменьшению падения напряжения вдоль разрядных каналов. Напряженность поля на концах разрядных каналов увеличивается, а между одновременно развивающимися каналами умень- шается. В результате этого разрядная структура становится менее ветви- стой (фрактальная размерность D уменьшается). Увеличение значения критической напряженности Е c приводит к сокращению числа возможных путей роста разрядной структуры и, следовательно, к уменьшению ветви- стости структуры разряда ( D →1). Если критическая напряженность Е c пре- восходит локальную напряженность во всех точках, то развитие разряда прекращается, и мы имеем незавершенный пробой. Параметр η определяет зависимость вероятности роста от величины локальной напряженности по- ля. При η =0 рост равновероятен для всех разрешенных направлений. В ре- зультате будет образовываться плотная структура, полностью заполняю- щая пространство ( D =2). При больших значениях параметра η ( η >>1) рост будет происходить только в направлении с наибольшей напряженно- стью поля. При этом будет возникать линейная структура ( D =1). При зна- чениях параметра η порядка единицы в процессе роста образуются ветвя- щиеся структуры, размерность D которых зависит от величины η . На рис. 10, 11 изображены картины разряда, полученные для значений параметра η , равных 1 и 3 соответственно, при прочих равных условиях. 79 Данная лабораторная работа составлена на базе разработок В.В. Ло- патина, М.Д. Носкова, О.И. Плешкова, А.А. Чеглокова из НИИ ВН, г. Томск. Более подробное описание методов и явлений приведено в книгах [10], [11], [12]. Результат моделирования при η = 1 при η = 3 Рис. 10 Рис. 11 2. Описание программного обеспечения Программное обеспечение, созданное на базе фрактальной модели пробоя диэлектриков, позволяет изменять параметры моделирования в широком диапазоне. Запуск исполняемого файла приводит к появлению на экране заставки, которая исчезает после нажатия любой клавиши, после чего отображается рабочий экран, состоящий из главного меню, списка текущих параметров моделирования, окон, отображающих картину про- боя, и графиков. Изменение параметров моделирования, просмотр текущих значений в моделируемой области и управление программой производятся через главное меню в верхней части рабочего экрана. Главное меню состоит из следующих семи пунктов. 1. “Conditions” – ввод параметров модели, содержит подменю из пя- ти пунктов: • “Condition” – запрос на ввод новых параметров, в случае положи- тельного ответа можно изменять длину острия L (Needle length) и значение приложенного напряжения U (Applied voltage); • “Dielectric” – выбор этого пункта позволяет изменять показатель рос- та η (Growth exponent), критическую напряженность поля Е с 80 (Threshold field) и временной параметр θ (Time parameter); • “Channels” – позволяет внести изменение параметра увеличения про- водимости канала λ (Increasing parameter); • “Inclusion” – позволяет выбрать форму включения (New rectangle – прямоугольник, New ellipse – эллипс) путем перемещения курсора при левой верхней или правой нижней области включения и фикса- ции клавишей Enter, а также редактировать уже введенные включе- ния (Edit). По окончанию ввода геометрии включения появляется окно, которое позволяет изменить значения плотности свободных зарядов ρ (Add Charge) и проницаемости ε r (Add Permittivity) в вы- бранной области, здесь вводится значение, на которое необходимо изменить соответствующий параметр (например, если нужно, чтобы включение обладало проницаемостью, равной 20, то в поле “Add Permittivity” надо ввести 19; так как сам диэлектрик обладает прони- цаемостью, равной единице, то 19+1=20, проницаемость в выбран- ной области будет равно двадцати). При выборе пункта “Edit” появ- ляется окно “Inclusions list”, в котором можно посмотреть введенные включения и их параметры, а также удалить ненужные; • “Options” – выбор этого пункта позволяет определить, в каких окнах показывать введенные включения (Window1 [x], Window2 [x], Window3 [x] - по умолчанию включения отображаются во всех ок- нах), а также указать, через сколько шагов роста выводить изменения графиков (Change). Во всех окнах ввода параметров указаны преде- лы их изменения. 2. “Growth” – выбор этого пункта начинает процесс моделирования, который можно прервать в произвольный момент времени нажатием лю- бой клавиши. 3. “Inspector” – позволяет просматривать текущие значения в кон- кретной точке моделируемого промежутка. При выборе этого пункта меню в первом окне появляется курсор, который перемещается стрелками на клавиатуре, а в нижнем левом углу экрана отображается окно “Data Inspector”, в котором выводятся значение следующих параметров в точке, на которой находится курсор: координаты точки, потенциал Φ (Potenial), напряженность электрического поля E (Field), плотность свободных заря- дов ρ (Free Charge), плотность полного заряда (Total Charge), проницае- мость диэлектрика ε r (Permittivity) и проводимость канала σ (Conductivity), если курсор находится на разрядной структуре. 4. “Print” – вывод содержимого экрана на принтер. Возможна печать в черновом (Draft), нормальном (Normal), уменьшенном (Little) режимах для матричных и струйных принтеров и на лазерном принтере (Laser). 5. “Information” – получение информации о программе, методе и раз- работчиках. 81 6. “Drawing BW” – просмотр вида черно-белого изображения, кото- рое будет выведено на принтер при выборе в главном меню пункта “Print”. Здесь задаются следующие параметры: процент от максимальной прово- димости, выше которого каналы будут рисоваться толстыми линиями (Criterion for drawing), число силовых линий в первом окне и число эквипо- тенциальных линий (Number izoline) во втором окне. 7. “Quit” – выход из программы. По каждому пункту меню можно получить короткую информацию нажатием клавиши F1. Под главным меню выведены текущие параметры модели: • Needle length - длина ост- рия ( L ); • Applay voltage - приложен- ное напряжение ( U ); • Growth exponent - показа- тель роста ( η ); • Threshold field - критиче- ская напряженность поля ( E c ); • Time constant - временной параметр ( θ ); • Size X , Size Y - размер моделируемого промежутка по X и по Y (в узлах решет- ки); • Trans. parameter - параметр наследования проводимости вновь образованным кана- лом; • Inc. param - параметр увеличения прово- димости канала ( λ ); • Decay parameter - параметр уменьшения проводимости канала; • Init. Conduct. - начальная проводимость канала, инициированного с острия. Справа показаны текущие значения числа пробитых точек (DS Site) и физического времени развитии разряда (time). В средней части экрана расположены три окна, в которых отобража- ется следующая информация: • в левом окне – напряженность поля в межэлектродном промежутке и распределение плотности свободных зарядов в разрядной структу- ре, значение которых можно определить с помощью цветовой палит- ры, расположенной слева от окна и максимального и минимального значений, выведенных под окном; • в среднем окне отображается распределение потенциала в межэлек- тродном промежутке; • в третьем окне отображается проводимость каналов разрядной структуры. Под окнами выводятся три графика: 1) зависимость ln r от ln N ( N - число пробитых узлов, попавших в окружность радиуса r с центром на кончике острия верхнего электрода); 2) зависимость общего заряда Q от текущего времени пробоя t ; 3)зависимость максимальной длины канала разряда l от t 82 |