Работа. Отчет рекомендуется оформлять следующим образом Содержание основные теоретические положения
 Скачать 0.87 Mb.
|
|
Номер задания выбирается по номеру студента в журнале Модуль 1 Основные понятия и теоремы теории вероятностей. Повторные независимые испытания Отчет рекомендуется оформлять следующим образом Содержание 1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 1.1. Размещения, перестановки, сочетания; примеры. 1.2. Случайные события, вероятность события. 1.3. Диаграммы Вьенна. 1.4. Различные подходы к введению вероятности события: классическая, статистическая и геометрическая вероятности. Аксиоматическое определение вероятности. 1.5. Теоремы сложения и умножения для совместных и несовместных, зависимых и независимых событий. 1.6. Формула полной вероятности. 1.7. Формулы Байеса. 1.8. Повторные испытания, формула Бернулли; наивероятнейшее число наступления события в схеме испытаний Бернулли. 1.9. Формула Пуассона. 1.10. Понятие локальной и интегральной теоремы Лапласа. 1.11. Закон больших чисел для испытаний Бернулли, следствие. 2. РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ 2.1. Задание 1 2.2. Задание 2. 2.3. Задание 3. 2.4. Задание 4. 2.5. Задание 5. 2.5. Задание 6. Используемая литература Задание 1 1. Из урны, содержащей 4 белых и 5 черных шаров, случайным образом без возвращения извлекают 2 шара. Найти вероятности следую- щих событий: A={извлечены два белых шара}; B={извлечены шары раз- ного цвета}; C={среди извлеченных есть белый шар} 2. В урне лежат 5 шаров, занумерованных от единицы до пяти. По схеме случайного выбора с возвращением из урны трижды вынимается шар. Найти вероятности следующих событий: A={трижды был извлечен шар с номером 5}; B={трижды был извлечен один и тот же шар}; C={ровно в двух случаях из трех был извлечен шар с номером 5}; D={ровно в двух случаях из трех был извлечен шар с четным номером}. 3. Код содержит четыре цифры. Предполагая, что код набирается наудачу, найти вероятности следующих событий: A={код не содержит одинаковых цифр}; B={код содержит две одинаковые цифры}; C={код содержит три одинаковые цифры}; D={код содержит две пары одинако- вых цифр}; E={код состоит из одинаковых цифр}; F={угадан код}. 4. В поезде из 10 вагонов случайно оказались преступник и ко- миссар Мегрэ. Какова вероятность, что они находятся а) в одном вагоне; б) в соседних вагонах? 5. Группу из 2n юношей и 2n девушек наудачу разделили на две части. Найти вероятность, что в каждой части юношей и девушек поров- ну. 6. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые по жре- бию разбиваются на две группы по 10 человек. Найти вероятность того, что двое наиболее сильных игроков попадут в разные группы. 7. Из урны, содержащей три красных, два белых и один черный шар, по схеме случайного выбора без возвращения извлекают три шара. Найти вероятности следующих событий: A={извлечен черный шар}; B={извлечены два красных и один белый шар}; C={хотя бы один цвет не будет представлен в выборке}. 8. Из карточек разрезной азбуки составлено слово ВЕРОЯТ- НОСТЬ. Затем из этих карточек случайным образом отобрано а) 3; б) 4; в) 5; г) 6. Найти вероятность того, что из отобранных карточек можно со- ставить слова а) СОН; б) ТРОН; в) ТЕНОР; г) ОСТРОВ, ТРОСТЬ. 9. В урне содержится 3 белых и 7 черных шаров. Шары вынимают без возвращения. Какова вероятность того, что среди двух вынутых ша- ров ровно один белый? Какова вероятность того, что среди трех вынутых шаров хотя бы один белый? 10. Из колоды карт в 36 листов наудачу вынимается 4 карты. Найти вероятности того, что: а) все вынутые карты - дамы; б) вынули две дамы; в) все вынутые карты одной масти; г) все вынутые карты разных мастей. 11. Для выполнения лабораторной работы группа студентов из 10 девушек и 5 юношей разбивается на 5 равных подгрупп. Какова вероят- ность, что в каждой подгруппе будет юноша? 12. На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Опыт состоит в случайном выборе трех карточек и раскладывании их в порядке поступ- ления в ряд слева направо. Найти вероятности следующих событий: A={появится число 123}; B={появится число, не содержащее цифры 3}; C={появится число, содержащее цифру 3}; D={появится четное число}. 13. n мужчин и n женщин ( n ≥ 3) случайным образом рассажива- ются в ряд на 2n мест. Найти вероятности следующих событий: A={два лица одного пола не займут места рядом}; B={все мужчины будут сидеть рядом}. 14. Брошено три игральных кубика. Найти вероятности того, что: а) на всех кубиках выпали разные цифры; б) на двух кубиках выпали 5; в) хотя бы на одном кубике выпала 5; г) на первом кубике выпала 5; д) на всех кубиках выпало одинаковое число очков; е) сумма всех выпавших очков равна 5. 15. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы года, считая, что вероятность попадания дня рождения каждого на любой месяц года одинакова. 16. Из кармана, в котором находятся 5 монет достоинством 10 ко- пеек и 5 монет достоинством 5 копеек, вынимается пригоршня из 5 слу- чайно взятых монет. Какова вероятность того, что в кармане осталась сумма денег, не меньшая той, что вынута? 17. Из полного набора костей домино вынимают две кости. Какова вероятность, что среди вынутых костей есть дубль? 18. Из колоды карт в 52 листа наудачу вынимается несколько карт. Какое минимальное число карт нужно извлечь, чтобы с вероятностью более 0,5 утверждать, что среди них будут карты одной масти? 19. Из отрезков, длины которых 1,3,5,...,2n −1, n ≥ 4наудачу выби- рают три. Какова вероятность, что из них можно построить треугольник? 20. Из последовательности чисел 1,2,K,n , n ≥ 2 наудачу выбира- ются два числа. Какова вероятность того, что одно из них меньше k , а другое больше k , где 1≤ k ≤ n - произвольное целое число? 21. Из множества чисел E ={1,2,Kn} выбирается два числа. Какова вероятность того, что второе число больше первого, если выбор осуще- ствляется: a) без возвращения; b) с возвращением? 22. В группе 25 студентов. Считая, что вероятность попадания дня рождения каждого студента на любой день года одинакова и в году 365 дней, найти вероятности следующих событий: A={у шести студентов день рождения зимой, у восьми - летом, у четырех – осенью, у остальных - весной}; B={три человека родились 1 апреля}; C={у четырех опреде- ленных человек день рождения в один день, а у остальных – в разные}. 23. n человек рассаживаются на n мест ( n > 2) случайным образом. Найти вероятность того, что 2 конкретных человека окажутся рядом, ес- ли они рассаживаются: a) на лавку; b) за круглый стол. 24. Определить вероятность того, что выбранное наудачу целое число N оканчивается единицей, при a) возведении в квадрат; b) возведе- нии в четвертую степень; c) умножении на произвольное целое число. 25. Код содержит четыре цифры. Предполагая, что код набирается наудачу, найти вероятности следующих событий: A={код не содержит одинаковых цифр}; B={код содержит две одинаковые цифры}; C={код содержит три одинаковые цифры}; D={код содержит две пары одинако- вых цифр}; E={код состоит из одинаковых цифр}; F={угадан код}. 26. В поезде из 10 вагонов случайно оказались преступник и ко- миссар Мегрэ. Какова вероятность, что они находятся а) в одном вагоне; б) в соседних вагонах? 27. Группу из 2n юношей и 2n девушек наудачу разделили на две части. Найти вероятность, что в каждой части юношей и девушек поров- ну. 28. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые по жре- бию разбиваются на две группы по 10 человек. Найти вероятность того, что двое наиболее сильных игроков попадут в разные группы. 29. Из урны, содержащей три красных, два белых и один черный шар, по схеме случайного выбора без возвращения извлекают три шара. Найти вероятности следующих событий: A={извлечен черный шар}; B={извлечены два красных и один белый шар}; C={хотя бы один цвет не будет представлен в выборке}. 30. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0.8, для второго – 0.4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что в ми- шень попал первый стрелок. Задание 2 1. Из множества натуральных чисел по схеме выбора с возвраще- нием случайным образом выбирается два числа. Найти вероятность того, что остатки от деления каждого из них на заданное натуральное число k равны. 2. Каждая из n палок случайным образом ломается на две части – длинную и короткую. Затем 2n полученных обломков наудачу объеди- няются в n пар, каждая из которых образует новую палку. Найти вероят- ности следующих событий: A={все обломки объединяются в первона- чальном порядке}; B={все длинные части объединяются с короткими}. 3. В некотором государстве у всех жителей различные неповто- ряющиеся всевозможные наборы зубов (из 32 возможных). Найти веро- ятности следующих событий: A={у наудачу выбранного человека 30 зу- бов}; B={найти с первой попытки человека с заданным набором зубов}. 4. При жеребьевке n человек тянут билеты с номерами 1,2,K,n . Первые три человека вытянули номера 1 2 3 x , x , x . Какова вероятность того, что 1 2 3 1 2 min(x , x ) < x < max(x , x ) ? 5. Из 12 лотерейных билетов 5 выигрышных. Билеты вытягивают по одному без возвращения. Во второй раз был вытянут выигрышный билет. Какова вероятность того, что и в первый раз был вытянут выиг- рышный билет? 6. Деревянный брусок длиной 4м случайным образом распилили на 2 части. Найти вероятность того, что длины получившихся частей от- личаются не более чем на 1 метр. 7. На плоскости проведены параллельные линии, расстояние меж- ду которыми попеременно равно 1.5 и 8 см. Определить вероятность того, что наудачу брошенный на эту плоскость круг радиуса 2.5 см не будет пересечен ни одной линией. 8. В круге радиуса R проводятся хорды параллельно заданному направлению. Какова вероятность того, что длина наугад взятой хорды не более R, если равновозможны любые положения точек пересечения хорды с диаметром, перпендикулярным выбранному направлению? 9. В квадрат наудачу брошены три точки. Найти вероятность того, что они образуют вершины: a) какого-нибудь треугольника; b) правиль- ного треугольника; c) прямоугольного треугольника. 10. На окружности наудачу выбраны три точки A,B, и C. Найти ве- роятность того, что треугольник ABC будет остроугольным. 11. Стержень длиной 200 мм случайным образом ломается на три части. Определить вероятности того, что: a) длина части стержня между изломами не превышает 10 мм; b) длина хотя бы одной части стержня не превышает 10 мм. 12. На отрезке OA длины L случайным образом поставлены две точки B и C. Найти вероятности того, что: a) Длина отрезка BC меньше расстояния от точки O до ближайшей к ней точки; b) длина отрезка BC меньше, чем L/2. 13. На плоскость с нанесенной на ней квадратной сеткой много- кратно бросается монета диаметра d , в результате чего установлено, что в 40% случаев монета не пересекает ни одной стороны квадрата. Оценить размер сетки. 14. Случайная точка A брошена в квадрат со стороной a . Найти вероятность того, что расстояние от A до ближайшей стороны квадрата меньше, чем расстояние от A до ближайшей диагонали квадрата. 15. На отрезке [0,2] случайно выбираются две точки. Найти вероят- ность того, что минимальное расстояние от этих точек до начала коорди- нат больше 1. 16. В круг радиуса R вписан равносторонний треугольник. Найти вероятность того, что четыре точки, наугад поставленные в данном круге, окажутся внутри треугольника. 17.Шесть шаров, среди которых 3 белых и 3 черных, распределили по двум урнам. Наудачу выбирается урна, а из нее 1 шар. Как нужно рас- пределить шары по урнам, чтобы вероятность события A={вынутый шар белый} была максимальна? 18. На каждом из пяти станков производятся болты и гайки в соот- ношении 2:3. Из продукции каждого станка последовательно взято по одной детали. Найти вероятности следующих событий: A={все детали одного типа}; B={детали первого и третьего станков - одного типа}; C={детали второго и четвертого станков- разных типов}; D={деталей од- ного типа больше чем другого в 4 раза}; E={гаек не менее трех}; F={выбрано подряд ровно три детали одного типа}. 19. Из колоды в 36 карт наудачу выбирается одна. Найти вероят- ность того, что выбрана дама или карта червовой масти. 20. В урне три белых и три черных шара. По схеме случайного вы- бора без возвращения из урны извлекли три шара. Какова вероятность, что в урне осталось три черных шара, если известно, что среди вынутых есть белый шар? 21. В урне четыре шара, причем цвет каждого шара с равной веро- ятностью белый или черный. Последовательно без возвращения выни- мают все шары. Найти вероятность того, что все шары белые, если из- вестно, что вынули по крайней мере два белых шара. 22. Какова вероятность, что при подбрасывании трех игральных костей выпали все разные грани, если известно, что хотя бы на одной кости выпало шесть очков. 23. В урне два белых и три черных шара. Наудачу берут два шара. Найти вероятность того, что в урне остались два черных и один белый шар, если известно, что хотя бы один из вынутых шаров белый. 24. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет герб. Ка- кова вероятность, что монету придется подбрасывать а) ровно 5 раз; б) не менее 5 раз; в) не более 5 раз? 25. На окружности наудачу выбраны три точки A,B, и C. Найти ве- роятность того, что треугольник ABC будет остроугольным. 26. На отрезке OA длины L случайным образом поставлены две точки B и C. Найти вероятности того, что: a) Длина отрезка BC меньше расстояния от точки O до ближайшей к ней точки; b) длина отрезка BC меньше, чем L/2. 27. Случайная точка A брошена в квадрат со стороной a . Найти вероятность того, что расстояние от A до ближайшей стороны квадрата меньше, чем расстояние от A до ближайшей диагонали квадрата. 28. В круг радиуса R вписан равносторонний треугольник. Найти вероятность того, что четыре точки, наугад поставленные в данном круге, окажутся внутри треугольника. 29. Два стрелка A и B поочередно стреляют в мишень. Вероятно- сти попадания первым выстрелом для них равны соответственно 0.4 и 0.5, а вероятности попадания при следующих выстрелах для каждого увели- чиваются на 0.05. Какова вероятность того, что первым стрелял A, если попадание в мишень произошло при пятом (в сумме) выстреле? 30. Есть четыре кубика с цифрами 1,2,…,6 на гранях и одна пра- вильная пирамида с цифрами 1,2,3,4 на гранях. Наугад выбрали предмет и подбросили. Выпала цифра 4. Какова вероятность того, что взяли ку- бик? Задание 3 1. Прибор станет непригодным для работы в результате однократ- ной поломки части A, или двукратной поломки части B, или трехкратной поломки части C. Часть A выходит из строя с вероятностью 0.15; часть B -с вероятностью 0.3; часть C-с вероятностью 0.55. Известно, что прибор ломался трижды. Какова вероятность, что прибор стал непригодным? 2. В телефонном номере забыта последняя цифра. Она набирается наудачу. Найти вероятность того, что абонент дозвонится только с чет- вертой попытки. 3. Из колоды в 36 карт последовательно a) без возвращения; b) с возвращением извлекают 3 карты. Найти вероятность того, что будут из- влечены туз червовой масти, дама и валет. 4. Для того чтобы разрушить мост, нужно попадание не менее двух бомб. Независимо сбросили три бомбы с вероятностями попадания 0.1; 0.3 и 0.4 соответственно. Какова вероятность того, что мост разру- шен? 5. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах равна 0.875. Найти вероятность попадания при одном выстреле. 6. Два стрелка по очереди стреляют в мишень. Если не попадет один, то начинает стрелять другой. Найти вероятность того, что после трех выстрелов в мишени будет две пробоины, если вероятность попада- ния в мишень для первого стрелка, начинающего стрельбу равна 0.7, а для второго - 0.8. 7. Три игрока раздали между собой поровну 4 короля, 3 дамы и 2 валета. Какова вероятность того, что хотя бы у одного нет дамы? 8. Два баскетболиста поочередно забрасывают мяч в корзину до первого попадания одним из них. Какова вероятность, что закончит игру первый, если вероятности попадания при каждом броске равны 0.6 для первого и 0.8 для второго? 9. Некто написал n писем, предназначенных n разным адресатам, на конвертах написал n адресов и случайно разложил письма по конвер- там. Найти вероятность того, что хотя бы одно письмо нашло своего ад- ресата. 10. Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судьи принима- ют правильное решение независимо друг от друга с вероятностью p , а третий судья для принятия решения бросает монету. Окончательное ре- шение принимается по большинству голосов. Какова вероятность того, что жюри примет правильное решение? 11. Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судьи принима- ют правильное решение независимо друг от друга с вероятностью p , а третий судья поступает следующим образом: если двое первых судей принимают одинаковое решение, то третий к ним присоединяется, а в противном случае бросает монету. Какова вероятность правильного ре- шения у такого жюри? 12. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на три из четырех постав- ленных в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет? 13. Студент может уехать в институт или автобусом, который хо- дит через каждые 20 минут, или троллейбусом, который ходит через ка- ждые 10 минут. Какова вероятность того, что студент, подошедший к ос- тановке, уедет в течение ближайших 5 минут? 14. Пусть A и B - случайные события, причем P(A) = 0.25 , а |