Метод тау. Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине Теория автоматического управления Пятигорск 2019
 Скачать 1.14 Mb.
|
|
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 «Построение фазовых портретов» I ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Изучить принципы построения фазовых портретов II. ЗАДАНИЕ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ Ознакомиться со способами построения фазовых портретов для линейных и нелинейных систем. III. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида (2.1) P(x,y), Q(x,y)- непрерывные функции, определенные в некоторой области G евклидовой плоскости (x,y - декартовы координаты) и имеющие в этой области непрерывные производные порядка не ниже первого. Область Gможет быть как неограниченной, так и ограниченной. Если переменные x, y имеют конкретный смысл (например, концентрации веществ) чаще всего область G представляет собой положительный квадрант правой полуплоскости: 0< x< X, 0 < y < Y. Переменные x, y также могут быть ограничены. Тогда область значений переменных имеет вид: 0 < x < x 0 , 0 < y< y 0. Переменныеx, yво времени изменяются в соответствии с системой уравнений (2.1), так что каждому состоянию системы соответствует пара значений переменных (x, y). Рис. 2.1. Изображающая точка на фазовой плоскости. 12 Обратно, каждой паре переменных (x, y) соответствует определенное состояние системы. Рассмотрим плоскость с осями координат, на которых отложены значения переменных x y. Каждая точка М этой плоскости соответствует определенному состоянию системы. Такая плоскость носит название фазовой плоскости и изображает совокупность всех состояний системы. Точка М(x,y)называется изображающей или представляющей точкой. Пусть в начальный момент времени t=t 0 координаты изображающей точки М 0 (x(t 0 ), y(t 0 )).В каждый следующий момент времени tизображающая точка будет смещаться в соответствии с изменениями значений переменных x(t), y(t). Совокупность точек М(x(t), y(t)) на фазовой плоскости, положение которых соответствует состояниям системы в процессе изменения во времени переменных x(t), y(t) согласно уравнениям (2.1), называется фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий при различных начальных значениях переменных дает легко обозримый "портрет" системы. Построение фазового портрета позволяет сделать выводы о характере изменений переменных x, y без знания аналитических решений исходной системы уравнений (4.1). Для изображения фазового портрета необходимо построить векторное поле направлений траекторий системы в каждой точке фазовой плоскости. Задавая приращение Dt>0,получим соответствующие приращения Dx и Dy из выражений: Dx=P(x,y) Dt, Dy=Q(x,y) Dt. Направление вектора dy/dx в точке (x, y) зависит от знака функций P(x, y), Q(x, y)и может быть задано таблицей: P(x,y)>0, Q(x,y)>0 P(x,y)<0, Q(x,y)<0 13 P(x,y)>0, Q(x,y)<0 P(x,y)<0, Q(x,y)>0 Задача построения векторного поля упрощается, если получить выражение для фазовых траекторий в аналитическом виде. Для этого разделим второе из уравнений системы (4.1) на первое: (2.2) Решение этого уравненияy = y(x, c), или в неявном виде F(x,y)=c, где с– постоянная интегрирования, дает семейство интегральных кривых уравнения (2.2) - фазовых траекторийсистемы (2.1) на плоскости x, y. IV. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ Построить фазовый портрет системы управления вида: Где № X1 S M T M K РЕД K 1 1 2 10 0.2 0.024 2 1.1 3 12 0.21 0.026 3 1.6 4 14 0.22 0.028 4 2.1 5 16 0.23 0.03 5 2.6 6 18 0.24 0.032 6 3.1 7 20 0.25 0.034 14 7 3.6 8 22 0.26 0.036 8 4.1 9 24 0.27 0.038 9 4.6 10 26 0.28 0.04 10 5.1 11 28 0.29 0.042 11 5.6 12 30 0.3 0.044 12 6.1 13 32 0.31 0.046 13 6.6 14 34 0.32 0.048 14 7.1 15 36 0.33 0.05 15 7.6 16 38 0.34 0.052 16 8.1 17 40 0.35 0.054 17 8.6 18 42 0.36 0.056 18 9.1 19 44 0.37 0.058 19 9.6 20 46 0.38 0.06 20 10.1 21 48 0.39 0.062 V. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТА 1. Тема; 2. Цель работы; 3. Формулы, соотношения и графики; 4. Заключение и выводы. VI. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Дайте определение фазовому портрету? 2. Дайте определение векторному полю? 3. В зависимости от чего строится семейство фазовых траекторий? 15 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 «Исследование особых точек» I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Изучить особые точки системы II. ЗАДАНИЕ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ Исследовать заданную систему на устойчивость. III. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ Рассмотрим систему двух линейных уравнений: . (3.1) Здесь a, b, c, d- константы, x, y - декартовы координаты на фазовой плоскости. Общее решение будем искать в виде: . (3.2) Подставим эти выражения в (4.4) и сократим на e λ t : (3.3) Алгебраическая система уравнений (3.3) с неизвестными A, B имеет ненулевое решение лишь в том случае, если ее определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю: Раскрывая этот определитель, получим характеристическое уравнение системы: . (3.4) Решение этого уравнения дает значения показателя λ 1,2 , при которых возможны ненулевые для A и B решения уравнения (4.6). Эти значения суть . (3.5) Если подкоренное выражение отрицательно, то λ 1,2 комплексно сопряженные числа. Предположим, что оба корня уравнения (3.4) имеют отличные от нуля действительные части и что нет кратных корней. Тогда общее решение системы (3.1) можно представить в виде линейной комбинации экспонент с показателями λ 1 , λ 2 : 16 (3.6) Для анализа характера возможных траекторий системы на фазовой плоскости используем линейное однородное преобразование координат, которое позволит привести систему к каноническому виду: , (3.7) допускающее более удобное представление на фазовой плоскости по сравнению с исходной системой (3.1). Введем новые координаты ξ, η по формулам: (3.8) Из курса линейной алгебры известно, что в случае неравенства нулю действительных частей λ 1 , λ 2 исходную систему (3.1) при помощи преобразований (3.8) всегда можно преобразовать к каноническому виду (3.7) и изучать ее поведение на фазовой плоскости ξ, η. Рассмотрим различные случаи, которые могут здесь представиться. Корни λ 1 , λ 2 – действительны и одного знака В этом случае коэффициенты преобразования действительны, мы переходим от действительной плоскости x,y к действительной плоскости ξ, η. Разделив второе из уравнений (3.7) на первое, получим: . (3.9) Интегрируя это уравнение, находим: , (3.10) где Условимся понимать под λ 2 корень характеристического уравнения с большим модулем, что не нарушает общности нашего рассуждения. Тогда, поскольку в рассматриваемом случае корни λ 1 , λ 2 – действительны и одного знака, a>1, и мы имеем дело с интегральными кривыми параболического типа. Все интегральные кривые (кроме оси η, которой соответствует ) касаются в начале координат оси ξ, которая также является интегральной кривой уравнения (3.8). Начало координат является особой точкой. Выясним теперь направление движений изображающей точки вдоль фазовых траекторий. Если λ 1 , λ 2 – отрицательны, то, как видно из уравнений 17 (3.7), |ξ|, |η| убывают с течением времени. Изображающая точка приближается к началу координат, никогда, однако, не достигая его. В противном случае это противоречило бы теореме Коши, которая утверждает, что через каждую точку фазовой плоскости проходит лишь одна фазовая траектория. Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые, подобно тому, как семейство парабол проходит через начало координат, носит название узла(рис. 3.1) Рис. 3.1. Особая точка типа узел на плоскости канонических координат ξ, η Состояние равновесия типа узел при λ 1 , λ 2 <0 устойчиво по Ляпунову, так как изображающая точка по всем интегральным кривым движется по направлению к началу координат. Этоустойчивый узел. Если же λ 1 , λ 2 >0, то |ξ|, |η| возрастают с течением времени и изображающая точка удаляется от начала координат. В этом случае особая точка – неустойчивый узел. На фазовой плоскости x, y общий качественный характер поведения интегральных кривых сохранится, но касательные к интегральным кривым не будут совпадать с осями координат. Угол наклона этих касательных будет определяться соотношением коэффициентов α, β, γ, δ в уравнениях (3.8). Корни λ 1 , λ 2 – действительны и разных знаков. Преобразование от координат x,y к координатам ξ, η опять действительное. Уравнения для канонических переменных снова имеют вид (3.7), но теперь знаки λ 1 , λ 2 различны. Уравнение фазовых траекторий имеет вид: где , (3.11) Интегрируя (3.11), находим (3.12) Это уравнение определяет семейство кривых гиперболического типа, где обе оси координат – асимптоты (при a=1 мы имели бы семейство равнобочных 18 гипербол). Оси координат и в этом случае являются интегральными кривыми – это будут единственные интегральные кривые, проходящие через начало координат. Каждая из них состоит из трех фазовых траекторий: из двух движений к состоянию равновесия (или от состояния равновесия) и из состояния равновесия. Все остальные интегральные кривые – суть гиперболы, не проходящие через начало координат (рис. 3.2) Такая особая точка носит название «седло». Линии уровня вблизи горной седловины ведут себя подобно фазовым траекториям в окрестности седла. Рис. 3.2. Особая точка типа седло на плоскости канонических координат ξ, η Рассмотрим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям вблизи состояния равновесия. Пусть, например, λ 1 >0, λ 2 <0. Тогда изображающая точка, помещенная на оси ξ, будет удаляться от начала координат, а помещенная на оси η – будет неограниченно приближаться к началу координат, не достигая его за конечное время. Где бы ни находилась изображающая точка в начальный момент (за исключением особой точки и точек на асимптоте η=0), она в конечном счете будет удаляться от состояния равновесия, даже если в начале она движется по одной из интегральных кривых по направлению к особой точке. Очевидно, что особая точка типа седла всегда неустойчива. Только при специально выбранных начальных условиях на асимптотеη=0 система будет приближаться к состоянию равновесия. Однако это не противоречит утверждению о неустойчивости системы. Если считать, что все начальные состояния системы на фазовой плоскости равновероятны, то вероятность такого начального состояния, которое соответствует движению по направлению к особой точке, равна нулю. Поэтому всякое реальное движение будет удалять систему от состояния равновесия. Переходя обратно к координатам x, y, мы получим ту же качественную картину характера движения траекторий вокруг начала координат. Пограничным между рассмотренными случаями узла и седла является случай, когда один из характеристических показателей, например λ 1 , обращается в нуль, что имеет место, когда определитель системы – выражение 19 ad-bc=0 (см. формулу 3.5). В этом случае коэффициенты правых частей уравнений (3.1) пропорциональны друг другу: и система имеет своими состояниями равновесия все точки прямой: Остальные интегральные кривые представляют собой семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом , по которым изображающие точки либо приближаются к состоянию равновесия, либо удаляются от него в зависимости от знака второго корня характеристического уравнения λ 2 = a+d. (Рис. 3.2) В этом случае координаты состояния равновесия зависят от начального значения переменных. Рис. 3.2. Фазовый портрет системы, один из характеристических корней которой равен нулю, а второй отрицателен. Корни λ 1 , λ 2 – комплексные сопряженные В этом случае при действительных x и y мы будем иметь комплексные сопряженные ξ, η (3.7). Однако, вводя еще одно промежуточное преобразование, можно и в этом случае свести рассмотрение к действительному линейному однородному преобразованию. Положим: (3.13) где a,b, и u,v – действительные величины. Можно показать, что преобразование от x,y к u,v является при наших предположениях действительным, линейным, однородным с детерминантом, отличным от нуля. В силу уравнений (3.7, 3.13) имеем: 20 откуда (3.14) Разделив второе из уравнений на первое, получим: которое легче интегрируется, если перейти к полярной системе координат (r, φ). После подстановки получим , откуда: . (3.15) Таким образом, на фазовой плоскости u, v мы имеем дело с семейством логарифмических спиралей, каждая из которых имеет асимптотическую точку в начале координат. Особая точка, которая является асимптотической точкой всех интегральных кривых, имеющих вид спиралей, вложенных друг в друга, называется фокусом (рис. 3.3). Рис. 3.3. Фазовый портрет системы в окрестности особой точки типа фокус на плоскости координат u, v. 21 Рассмотрим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям. Умножая первое из уравнений (3.14) на u, а второе на v и складывая, получаем: где Пусть a 1 < 0 (a 1 =Reλ). Изображающая точка тогда непрерывно приближается к началу координат, не достигая его в конечное время. Это означает, что фазовые траектории представляют собой скручивающиеся спирали и соответствуют затухающим колебаниям переменных. Это – устойчивый фокус. В случае устойчивого фокуса, как и в случае устойчивого узла, выполнено не только условие Ляпунова, но и более жесткое требование. Именно, при любых начальных отклонениях система по прошествии времени вернется как угодно близко к положению равновесия. Такая устойчивость, при которой начальные отклонения не только не нарастают, но затухают, стремясь к нулю, называют абсолютной устойчивостью. Если в формуле (3.15) a 1 >0, то изображающая точка удаляется от начала координат, и мы имеем дело с неустойчивым фокусом. При переходе от плоскости u,v к фазовой плоскости x,yспирали также останутся спиралями, однако будут деформированы. Рассмотрим теперь случай, когда a 1 =0. Фазовыми траекториями на плоскости u, v будут окружности которым на плоскости x, y соответствуют эллипсы: Таким образом, при a 1 =0 через особую точку x=0, y=0 не проходит ни одна интегральная кривая. Такая изолированная особая точка, вблизи которой интегральные кривые представляют собой замкнутые кривые, в частности, эллипсы, вложенные друг в друга и охватывающие особую точку, называется центром. Таким образом, возможны шесть типов состояния равновесия в зависимости от характера корней характеристического уравнения (3.4). Вид фазовых траекторий на плоскости x, y для этих шести случаев изображен на рис. 3.4. Пять типов состояния равновесия грубые, их характер не изменяется при достаточно малых изменениях правых частей уравнений (3.1). При этом малыми должны быть изменения не только правых частей, но и их производных первого порядка. Шестое состояние равновесия – центр – негрубое. При малых изменениях параметров правой части уравнений он переходит в устойчивый или неустойчивый фокус. 22 Рис. 3.4. Типы фазовых портретов в окрестности стационарного состояния для системы линейных уравнений (3.1). 23 IV. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ Исследовать особые точки для свободного движения линейного звена второго порядка, которое в общем случае описывается дифференциальным уравнением вида 0 2 2 0 2 2 x dt dx dt x d , - некоторые постоянные числа. V. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТА Отчет по лабораторной работе должен содержать следующие разделы: 1. Тема работы. 2. Цель работы. VI. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. 1. Каким образом по фазовому портрету можно определить устойчивости системы? 2. Дайте определение особым точкам системы? 24 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 «Метод изоклин» I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Изучить метод изоклин. П. ЗАДАНИЕ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ. Построить фазовый портрет системы с использованием метода изоклин. III. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ Фазовой плоскостью называется плоскость с осями координат, на которых отложены значения переменных x и y, каждая точка плоскости соответствует определенному состоянию системы. Совокупность точек на фазовой плоскости, положение которых соответствует состояниям системы в процессе изменения во времени переменных x( )t , y( )t согласно заданным уравнениям исследуемой системы, называется фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий при различных начальных значениях переменных дает портрет системы. Построение фазового портрета позволяет сделать выводы о характере изменений переменных x и y без знания аналитических решений исходной системы уравнений. Для построения фазового портрета на фазовую плоскость наносят изоклины (метод изоклин). Изоклина — линия на плоскости, в каждой точке которой, касательные к фазовым траекториям исследуемой системы уравнений имеют один угол наклона. Пусть уравнения имеют вид: (5.1) Тогда уравнение изоклины запишется как: (5.2) В уравнении (5.2) константа A есть тангенс угла наклона A= tgφ касательной к фазовой траектории. Через главные изоклины (нуль-изоклины) фазовые траектории проходят под углом ϕ = 0 0 (изоклина горизонтальных касательных) и ϕ =90 0 (изоклина вертикальных касательных). Для изоклины горизонтальных касательных уравнение (5.2) принимает вид: 25 для изоклины вертикальных касательных: Все изоклины пересекаются в особой точке , для которой Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений: (5.3) Построение фазового портрета начинаем с построения главных изоклин. Для системы двух линейных уравнений — это всегда прямые, проходящие через начало координат. Уравнение изоклины горизонтальных касательных: Уравнение изоклины вертикальных касательных: Для дальнейшего построения фазового портрета полезно построить изоклину касательных, проходящих под углом Для нахождения соответствующего уравнения изоклины необходимо решить уравнение . Можно находить и изоклины касательных других углов, пользуясь приблизительными значениями тангенсов углов. В построении фазового портрета также может помочь ответ на вопрос, под каким углом фазовые траектории должны пересекать координатные оси. Для этого в уравнение изоклины Подставляем соответствующие равенства x = 0 (для определения угла пересечения с осью OY) и y = 0 (для определения угла пересечения с осью OХ). 26 Рассмотрим примеры построения фазового и кинетического портрета поведения траекторий системы вблизи особой точки. Построить кинетический портрет системы — означает построить графики зависимости величин переменных x, y от времени. По фазовому портрету можно построить кинетический, и наоборот. Одной фазовой траектории соответствует одна пара кинетических кривых x(t), y(t). Подставляя в систему уравнений координаты разных точек, можно получить «карту» векторов, задающих направление и скорость движения изображающей точки по фазовой кривой, так называемое векторное поле. Отметим, что на изоклине горизонтальных касательных переменная y достигает своего максимального или минимального значения на данной траектории. Наоборот, на изоклине вертикальных касательных, своего максимального по модулю значения для выбранной траектории достигает переменная x. |