ЛР 5.1 Кратко Для слабо подготовленных студентов. Методические указания по выполнению и защите лр 1 Более подробно см на сайте кафедры метод и уч пособия
 Скачать 3.28 Mb.
|
|
Задание 2 Исследовать зависимость периода затухающих колебаний от электроемкости и индуктивности колебательного контура. 1. Подготовить таблицу измерений Таблица 1 Зависимость периода колебаний от электроемкости и индуктивности. С, нФ L, мГн N n , мс/дел t, мс T, мс LC , с Т теор , мс 2. Выполнение этого задания связано с отсчетом по осциллограмме некоторого количества N циклов (или периодов) колебаний. Если это трудно сделать по осциллограмме предыдущего задания, то следует изменить вид осциллограммы так, чтобы она приняла вид, как на рис. 4. 3. Записать значения параметров контура 𝑅 0 , L, С, а также N, n и 𝛾. Вычислить период колебаний по формуле 𝑇 = 𝑡 𝑁 = 𝑛𝛾 𝑁 4. Повторить измерения пункта 2 не менее 5-ти раз, постепенно увеличивая электроемкость С контура. Параметр L остается постоянным. Все записи величин С, N, n, 𝛾 заносить в одну таблицу 1. 5. При сопротивлении 𝑅 0 затухание колебаний мало. Поэтому для проверки зависимости периода Т от параметров контура следует построить график Т как функцию от √𝐿𝐶: 𝑇 = 𝑓(√𝐿𝐶), предварительно рассчитав значения √𝐿𝐶. 6. По формуле Томсона рассчитать теоретическое значение периода колебаний. 7. Построить график зависимости 𝑇 = 𝑓(√𝐿𝐶) для теоретического значения периода на этих же осях, что и экспериментальный график. Сравнить графики. Задание 3 Исследовать зависимость логарифмического декремента затухания от сопротивления контура. 1. Подготовить таблицу измерений (не менее пяти строчек) Таблица 2. Зависимость логарифмического декремента затухания от сопротивления контура 10 R, Ом N U 0 , дел U N , дел экс теор Q экс Q теор 2. Установить одно из тех значений L и С, которые использовались в задании 2. Записать их значения перед таблицей вместе с величиной 𝑅 0 3. Убедиться в том, что изображение графика колебаний симметрично относительно горизонтальной оси. Выбрать две далекие друг от друга амплитуды колебаний 𝑈 0 и 𝑈 𝑁 . Отсчитать число циклов колебаний N между ними. Используя деления вертикальной оси сетки, измерить величины амплитуд 𝑈 0 и 𝑈 𝑁 . Записать значения в таблицу 2. 4. Увеличить прежнее сопротивление 𝑅 0 путем включения наименьшего сопротивления 𝑅 1 из набора сопротивлений. Общее сопротивление 𝑅 = 𝑅 0 + 𝑅 1 записать в таблицу 2. Повторить измерения до 5-ти раз, постепенно увеличивая общее сопротивление и записывая новые значения R, N, 𝑈 0 и 𝑈 𝑁 5. Вычислить для всех значений R логарифмический декремент затухания по формуле 𝛿 = 1 𝑁 ℓn 𝑈 0 𝑈 𝑁 Данные расчета занести в таблицу 2. 6. Построить график зависимости 𝛿 от сопротивления: 𝛿 = 𝑓(𝑅). 7. По формуле (12) определить теоретические значения . 8. Построить график 𝛿 = 𝑓(𝑅) для теоретических значений логарифмического декремента затухания на одном листе с экспериментальным графиком. Сравнить графики. 9. Определить экспериментальные (по формуле (11)) и теоретические по формуле (13)) значения добротности. Сравнить их между собой. 10. Сделать выводы по проделанной работе. 5. ПЕРЕЧЕНЬ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ 1. Две таблицы. 2. Два графика. 3. Результаты определения сопротивления проводов катушки. 4. Выводы. 11 6. Методические указания ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ЗАЩИТЕ ЛР 5.1 В помощь слабо подготовленным студентам 6.1. Гармонические (не затухающие) свободные колебания или собственные колебания возможны только в идеальном (LC) контуре, рис.1. У таких колебаний постоянна амплитуда, частота и фаза. График таких колебаний представлена на рис. 2. 1. 2. Рис. 1 Принципиальная схема идеального колебательного контура Рис. 2 График колебаний в идеальном контуре (график собственных колебаний). На график наложена сетка, имитирующая сетку экрана осциллографа Как видно из Рис. 2: амплитудой, U m , собственных колебаний называется максимальное напряжение собственных колебаний. Амплитуда определяется по значениям, нанесенным на ось ординат (вертикальная ось). Отсчет берется от точки начала координат, которому соответствует значение «0». Для определения значения амплитуды №1 (Рис.2) проводим горизонтальную штриховую линию от амплитуды до пересечения с осью ординат. Как видно из рисунка, штриховая линия пересекает ось ординат в точке 3 В. Следовательно, 1-я амплитуда равна 3 В. Вычисление амплитуды колебаний, изображенных на Рис. 2 дается легко, т.к. она соответствует горизонтальной линии, сетки экрана. Для определения амплитуд колебаний на осциллограммах целесообразно определяемую амплитуду совместить с линией сетки экрана, для ее расчета необходимо знать цену деления сетки экрана осциллографа, которая задается экспериментатором, исходя из удобства наблюдения осциллограммы. 12 Периодом, T [c], колебаний называется промежуток времени между двумя ближайшими амплитудами одного знака – это определение удобно для работы с графиками (см. Рис. 2). Более общее определение периода: период колебаний – наименьший промежуток времени , за который осциллятор совершает одно полное колебание (т.е. возвращается в то же состояние, в котором он находился в первоначальный момент, выбранный произвольно). Для определения периода колебаний, представленных на Рис.2 опускаем красные перпендикуляры от 2-х соседних амплитуд на ось абсцисс (горизонтальную ось). Временной интервал между этими перпендикулярами представляет собой период собственных колебаний 𝑇 0 , (Рис. 2). Правый перпендикуляр пересекает ось абсцисс в точке с координатой 10 с, левый – в точке с координатой 8 с. Период равен 𝑻 𝟎 = 10 с – 8 с=2 с. 1.2. УРАВНЕНИЕ НЕ ЗАТУХАЮЩИХ (СОБСТВЕННЫХ) КОЛЕБАНИЙ Собственные колебания определяются тремя параметрами: 1 –амплитуда, 𝑼 𝒎 ; 2- частота , 𝝎 𝟎 ; 𝝂 𝟎 (или период, 𝑻 𝟎 ); 3 – начальная фаза, 𝝋 𝟎 (см. уравнение 8). Чтобы показать, что период и частота относятся к собственным колебаниям им присваивается индекс «0». При этом в словесной формулировке указание на собственные колебания, как правило опускается. Частота колебаний ν 0 , единица измерения герц [Гц]. Частота показывает сколько полных колебаний совершается за 1 секунду, т.е. если частота 10 Гц, то за 1 секунду совершается 10 полных колебаний. Одно полное колебание соответствует изменению фазы колебаний на 360 градусов или на 2π радиан. Циклическая частота ω 0 , радиан в секунду [1/с], показывает на сколько радиан изменилась фаза колебаний за 1 секунду. Если ω 0 = 2π, 1/с, то за 1 секунду фаза колебаний изменится на 2π радиан, что соответствует полному колебанию. Отсюда получается соотношение 𝜔 0 = 2𝜋𝜈 0 (1) Период (Т 0 , [c]) – это время за которое совершается одно полное колебание, Частота и период связаны соотношениями 𝑇 0 = 1/𝜈 0 = 2𝜋/(𝜔 0 ) (2) 𝜈 0 = 1/𝑇 0 ; 𝜔 0 = 2𝜋/𝑇 0 . (3) Уравнение собственных колебаний имеет вид 𝑢 = 𝑈 𝑚 𝐶𝑜𝑠(𝜔 0 𝑡 + 𝜑 0 ) , (4) здесь U m – постоянная амплитуда; ω 0 – циклическая частота; все, что в скобках после косинуса, т.е. ( 𝝎 𝟎 𝒕 + 𝝋 𝟎 ) - фаза; φ 0 – начальная фаза, т.е. фаза при t=0. Колебания на Рис. 2 и 3 построены по формуле (5). Уравнение собственных колебаний можно записать через период 𝑢 = 𝑈 𝑚 𝐶𝑜𝑠(2𝜋 𝑡 𝑇 0 + 𝜑 0 ) , (5) 1.2.1. Формулы для параметров собственных (не затухающих) колебаний в электрическом контуре Циклическая частота собственных колебаний в идеальном контуре 𝜔 0 = 1 √𝐿𝐶 ⁄ , (6) при индуктивности контура L [Г], электроемкости C [Ф] получим 𝜔 0 − [1/c]. Частота собственных колебаний в идеальном контуре 𝜈 0 = 1 (2𝜋√𝐿𝐶) ⁄ , (7) 13 при L [Г], C [Ф] получим 𝜈 0 − [Гц]. Период собственных колебаний в идеальном колебательном дается формулой Томсона 𝑇 0 = 2𝜋√𝐿𝐶 , (8) при L [Г], C [Ф] получим 𝑇 0 − [c]. 1.3. ЦЕНА ДЕЛЕНИЯ ОСИ ОРДИНАТ И ОСИ ОРДИНАТ (ВЕРТИКАЛЬНОЙ И ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ОСИ) СЕТКИ ЭКРАНА ОСЦИЛЛОГРАФА При выполнении лабораторной работы экспериментатор задает цену деления по вертикальной оси , 𝜸 𝒚 , и горизонтальной оси, 𝜸 𝑿 , с помощью переключателя на панели осциллографа. Затем на осциллограмме считает число делений, соответствующих амплитуде , 𝒏 𝒚 , и периоду , 𝒏 𝑿 , далее рассчитывает амплитуду и период колебаний по формулам 𝑼 𝒎 = 𝜸 𝒚 ∙ 𝒏 𝒚 ; 𝑻 = 𝜸 𝑿 ∙ 𝒏 𝑿 , (9) здесь 𝜸 𝒚 и 𝜸 Х − цена делений по вертикальной и горизонтальной оси соответственно; 𝒏 𝒚 и 𝒏 Х − число делений экранной сетки, соответствующее амплитуде и периоду с точностью до десятых долей деления. Примеры определения цены деления . Для экрана осциллографа ценой деления (𝛾 𝑦 , В/дел; мВ/дел; мкВ/дел) вертикальной оси называется минимальное расстояние между горизонтальными линиями сетки, единица измерения В/дел; мВ/дел; мкВ/дел. Для ее определения по вертикальной оси определяем разность напряжений между горизонтальными линиями с указанным значением напряжений и делим на число делений. Цена деления вертикальной оси сетки осциллографа для осциллограммы Рис. 2: 1. Выбираем на сетке экрана осциллографа, изображенной на Рис.2, горизонтальную линию, соответствующую значению 2 В. 2. Выбираем горизонтальную линию, соответствующую значению 0 В. 3. Между этими линиями находится 2 клетки (n y =2 деления). Тогда цена деления равна 𝛾 𝑦 = ∆𝑈 𝑛 𝑦 = (2 В − 0 В) 2дел ⁄ = 1 В дел Цена деления горизонтальной оси сетки осциллографа для осциллограммы Рис. 2: 4. Выбираем вертикальную линию, соответствующую значению 6 с. 5. Выбираем вертикальную синею линию, соответствующую значению 14 c. 6. Между этими линиями находится 8 клеток (n Х =8 делений). Тогда цена деления равна 𝛾 𝑦 = ∆𝑡 𝑛 𝑋 = (14 c − 6 c) 8дел ⁄ = 1𝑐/дел 1.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АМПЛИТУДЫ И ПЕРИОДА КОЛЕБАНИЙ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ ИХ ОСЦИЛЛОГРАММОЙ Пример 1.1. На рисунке 3 приведена осциллограмма собственных колебаний контура, снятая при цене деления по горизонтальной оси =10 мс/дел, по вертикальной оси 𝜸 𝒚 = 𝟎, 𝟓 мВ/дел. Определить амплитуду, период и частоту собственных колебаний (см. Рис. 3). 1. Расчет амплитуды колебаний, приведенных на осциллограмме Рис. 3. Определяем сколько делений сетки осциллографа соответствуют амплитуде, т.е. определяем 𝒏 𝒚 : 1.1. Выравниваем осциллограмму относительно вертикальной оси так, чтобы Осциллограмма была симметрична относительно центральной, более жирной, горизонтальной линии. Эту линию принимаем за ось абсцисс, На рисунке ось абсцисс обозначена синим цветом. Ее координата по вертикальной оси принимается равной «0». 1.2. Выбираем амплитуду для измерения значения амплитуды колебаний. Поскольку все амплитуды одинаковы (собственные колебания) выбираем хорошо выписанную и 14 совпадающую с линиями сетки осциллографа амплитуду близкую к левому краю осциллограммы, обозначим ее 𝑼 𝒎𝟏 = 𝑼 𝒎 . Расстояние между осью абсцисс и штриховой линией равно 3 дел. По оси ординат (вертикальной оси. Следовательно, амплитуда колебаний 𝑼 𝒎𝟏 = 𝑼 𝒎 = 𝟑 дел, отсюда 𝒏 𝒚 = 𝟑 . Значение амплитуды равно 𝑼 𝒎 = 𝜸 𝒚 ∙ 𝒏 𝒚 . Согласно условию , 𝜸 𝒚 = 𝟎, 𝟓 мВ/дел, поэтому 𝑼 𝒎 = 𝜸 𝒚 ∙ 𝒏 𝒚 = (0,5 мВ дел ) ∙ 3дел = 1,5 мВ. Ответ: Um=1,5 мВ = 𝟏, 𝟓 ∙ 𝟏𝟎 −𝟑 В. Рис. 3 Осциллограмма собственных колебаний контура, снятая при цене деления по горизонтальной оси Х =10 мс/дел, по вертикальной оси 𝜸 𝒚 = 𝟎, 𝟓 мВ/дел. 2. Расчет периода колебаний, приведенных на осциллограмме Рис. 3. Определяем сколько делений сетки осциллографа соответствуют периоду, т.е. определяем 𝒏 𝑿 : чтобы точно найти значение периода берем 5 полных колебаний N=5 и считаем по горизонтальной оси сколько клеток эти колебания занимают. (Отметим, что 5-ти полным колебаниям соответствует 5 периодов). При этом, у реальной сетки имеется мелкое разбиением клетки, обычно 0,2 дел. На нашей сетке такого разбиения нет. Показано 2 варианта измерения периода: красный – за основу взяты отрицательные амплитуды, и фиолетовый – за основу взяты положительные амплитуды. Порядок действий: от амплитуд опускаем перпендикуляры на горизонтальную ось и считаем сколько делений по оси абсцисс занимают 5 полных колебаний, т.е. скольким делениям соответствуют 5 периодов. Из Рис.3 следует NT=5T=5 дел. Тогда, периоду соответствует T=5 дел/5=1 дел, следовательно 𝒏 𝑿 = 𝟏. По условию =10 мс/дел, тогда период 𝑻 = 𝜸 𝑿 ∙ 𝒏 𝑿 = (𝟏𝟎 мс дел ) ∙ 𝟏дел = 𝟏𝟎 мс. Ответ 𝑻 𝟎 = 𝟏𝟎 мс = 𝟏 ∙ 𝟏𝟎 −𝟐 𝒄 3. Вычисление частоты колебаний. Частота собственных колебаний равна : 𝝂 𝟎 = 𝟏 𝑻 𝟎 ⁄ = 𝟏 (𝟏𝟎 ∙ 𝟏𝟎 −𝟑 ) ⁄ = 𝟏𝟎𝟎 Гц. Ответ : 𝝂 = 𝟏𝟎𝟎 Гц Циклическая частота собственных колебаний 𝝎 𝟎 = 𝟐𝝅𝝂 𝟎 = 𝟔, 𝟐𝟖 ∙ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟔𝟐𝟖 𝟏/с. Ответ : 𝝎 𝟎 = 𝟔𝟐𝟖 𝟏/с 15 6.2. КОЛЕБАНИЯ В РЕАЛЬНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ (материал с примерами) ВНИМАНИЕ! 1. На рисунках осциллограмм приведены свободные (затухающие) колебания напряжения на емкости контура. На осциллограммах точками обозначено изменение амплитуды затухающих колебаний, согласно уравнению 𝑈 𝑐𝑚 = 𝑈 𝑐0 𝑒 −𝛽𝑡 . На реальных осциллограммах этих точек нет. 2. На осциллограмму наложена сетка, представляющая модель сетки экрана осциллографа. В отличии от модели, на сетке экрана осциллографа за оси координат можно принимать не только крайние линии, но и другие горизонтальные и вертикальные линии, на которые нанесены риски, обозначающие доли деления. 3. При выполнении ЛР используйте современные методы работы с информацией, например, очень удобно фотографировать осциллограммы, а затем обрабатывать. Смартфоны это позволяют делать. 4. В этом случае целесообразно к отчету по ЛР прилагать фотографии. Именно так делают физики экспериментаторы. 2.1. РЕАЛЬНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР – электрический контур (далее контур), в котором потерей энергии пренебречь нельзя. Принципиальная схема реального контура содержит соединенные последовательно электроемкость С, индуктивность L и сопротивление R (Рис. 4). Рис. 4 Принципиальная схема реального колебательного контура Если в схеме Рис.4 заменить реальную индуктивность на ее эквивалентную схему, то получим схему, где все элементы изображены явно (Рис. 5). В ней индуктивность L – идеальная индуктивность. При выполнении лабораторной работы целесообразно использовать эквивалентную схему (Рис. 5). Стрелка, перечеркивающая элемент схемы означает, что этот элемент переменный, т.е. экспериментатор может менять номинал элемента в процессе эксперимента. Из эквивалентной схемы видно какое сопротивление студенту требуется определить в первом эксперименте, какие элементы необходимо изменять. Кроме этого понятно, что полное сопротивление исследуемого колебательного контура представляет собой последовательное соединение R 0 и R, т.е. 𝑹 полное = 𝑹 𝟎 + 𝑹 Рис. 5 Эквивалентная принципиальная схема реального колебательного контура 16 Если в реальном контуре возбудить свободные колебания, т.е. возбудить колебания и не поддерживать их от внешнего источника, то эти колебания будут затухать, т.к. сопротивление будет рассеивать энергию электромагнитного поля, превращая ее в тепло. В эксперименте наблюдается на осциллографе напряжение на конденсаторе, u c . Уравнение свободных (затухающих) колебаний на конденсаторе колебательного контура имеет вид: 𝑢 𝑐 = (𝑈 𝑐0 𝑒 −𝛽𝑡 ) cos(𝜔𝑡), (1) 𝑈 𝑐𝑚 = (𝑈 𝑐0 𝑒 −𝛽𝑡 ). 𝑢 𝑐 = (𝑈 𝑐0 𝑒 −𝑡/𝜏 ) cos(𝜔𝑡), (2) 𝑈 𝑐𝑚 = (𝑈 𝑐0 𝑒 −𝑡/𝜏 ), здесь 𝑼 𝒄𝟎 = (𝑼 𝒄 (𝒕 = 𝟎) –начальное значение напряжения на конденсаторе, т.е. при t=0); (𝑼 𝒄𝟎 𝒆 −𝜷𝒕 ) = 𝑼 𝒄𝟎 𝒆 −𝒕/𝝉 = 𝑼 𝒄𝒎 − амплитуда затухающих колебаний, видно, что амплитуда уменьшается со временем (см. точечные линии на рисунках 2-ой главы); ω [1/c]– циклическаячастота затухающих колебаний; β [1/c]– коэффициент затухания; 𝝉 [𝒄] = 1/𝛃 − время релаксации. Примечание: в уравнении (1) начальная фаза принята равной нулю, т.к. ее значение не будет влиять на определяемые в эксперименте параметры. ПАРАМЕТРЫ УРАВНЕНИЯ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ ДЛЯ РЕАЛЬНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА Коэффициент затухания 𝜷 [1/c] равен: 𝜷 = 𝑹 полное 𝟐𝑳 ⁄ . (3) Время релаксации 𝝉 [c] равно 𝝉 = 𝟏 𝜷 = 𝟐𝑳/𝑹 полное , (4) время релаксации – промежуток времени, за который амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, т.е. приблизительно в 2,7 раза ( 𝒆 ≈ 𝟐, 𝟕). Частота затухающих колебаний (𝝎 [ 𝟏 𝒄 ] ; 𝝂[Гц]) меньше, чем собственная частота колебаний контура, они связаны соотношением: 𝜔 = √𝜔 0 2 − 𝛽 2 = √ 1 𝐿𝐶 − ( 𝑅 2𝐿 ) 2 . (5) При росте коэффициента затухания частота затухающих колебаний уменьшается в конечном итоге она обращается в нуль, т.е. колебания в системе исчезают Период затухающих колебаний Т [c] больше, чем собственных, они связаны соотношением: 𝑇 = 𝑇 0 √1 − (𝛽𝑇 0 2𝜋 ⁄ ) 2 ⁄ = 𝑇 0 √1 − ( 1 2𝜋 (𝑇 0 /𝜏)) 2 ⁄ = 2𝜋 √ 1 𝐿𝐶 − ( 𝑅 2𝐿 ) 2 ⁄ . (6) Период затухающих колебаний растет с ростом коэффициента затухания 𝛽 и уменьшением времени релаксации 𝜏. 2.2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ 1. Экспериментальное определение амплитуды затухающих колебаний Алгоритм измерение амплитуды затухающих колебаний не отличается от алгоритма определения амплитуды собственных колебаний, рассмотренного в главе 1 (пример 1). 2. Экспериментальное определение периода затухающих колебаний 17 Алгоритм измерение периода затухающих колебаний не отличается от алгоритма определения периода собственных колебаний, рассмотренного в главе 1 (пример 2). 3. Экспериментальное определение времени релаксации 𝝉 [c] При выполнении ЛР основным измерением является измерение времени релаксации. По его значению рассчитывается коэффициент затухания свободных колебаний и другие требуемые величины. Пример 2.1. Определить время релаксации 𝝉 затухающих колебаний, осциллограмма которых представлена на рисунке 6 2.2.1. Первый метод измерения времени релаксации 𝝉 с минимумом расчетов Этот метод показан на рисунке 6, экспериментаторы обычно пользуются этим методом. 1. Разместим на экране осциллографа осциллограмму колебаний так, чтобы большая и меньшая амплитуды колебаний на экране осциллографа отличались не менее, чем в 3 раза (см. Рис. 6). 2. Присвоим № 1 одной из амплитуд в левой части осциллограммы, но не крайней слева амплитуде. На осциллограмме Рис.6 – это амплитуда U m1 . Ее значение определяем, проведя горизонтальную штриховую линию от этой амплитуды до вертикальной оси. Координата пересечения штриховой линии с вертикальной осью дает значение U m1 =0,3 В. 3. Определим величину второй амплитуды. За время релаксации 𝝉 амплитуда должна уменьшиться в е раз, т.е. в 2,7 раза. Значит величина 2-ой амплитуды должна быть равна 𝑈 𝑚2 = 𝑈 𝑚1 2,7 = 0,3/2,7 ≈ 0,11𝐵. На Рис.6 значение 0,11В отмечено на вертикальной оси. Проведя красную горизонтальную прямую bcd через отметку 0,11В видим, что линия bcd в точке «С» касается некой амплитуды, которую мы принимаем за амплитуду №2. Таким образом, значение второй амплитуды равно Um2=0,11 В. 4. Определим значение времени релаксации 𝝉 .Для этого опускаем перпендикуляры из 1- ой и 2-ой амплитуды на горизонтальную ось. Интервал между этими перпендикулярами и есть 𝝉 (см. Рис. 6). Рис. 6 Осциллограмма затухающий колебаний, иллюстрирующая 1-ый метод определения времени релаксации 𝝉. Точками изображена огибающая амплитуд. 18 Вычисляем значение времени релаксации 𝝉. Второй перпендикуляр пересекает горизонтальную ось при значении времени 1,2 секунды, первый перпендикуляр пересекает горизонтальную ось при значении 0,2 секунды. Значит 𝝉 = 𝟏, 𝟐с − 𝟎, 𝟐с = 𝟏с. Ответ: 𝝉 = 𝟏с. 2.2.2. Второй метод измерения времени релаксации 𝝉, требующий дополнительных расчетов (2-ой метод целесообразно использовать, когда на осциллограмме амплитуды отличаются менее, чем в 3 раза) 1. Анализ осциллограммы Рис. 7. Как видно из Рис. 7 амплитуды на осциллограмме отличаются менее, чем в 3 раза. Поэтому время релаксации 𝝉, следует рассчитывать по формуле 𝝉 = [∆𝑡 𝑙𝑛 (𝑈 𝑚1 𝑈 𝑚2 ⁄ ) ⁄ ] , (7) здесь 𝑼 𝒎𝟏 и 𝑼 𝒎𝟐 - первая (левая) и вторая (правая) амплитуды колебаний, выбранные экспериментатором (см. Рис. 7), ∆𝒕 - промежуток времени между этими амплитудами. Рис. 7 Осциллограмма затухающий колебаний, иллюстрирующая 2-ой метод определения времени релаксации 𝝉. Расчет по формуле (7). 2. Выбор и измерение амплитуд. Чтобы повысить точность расчета 𝝉, выберем наиболее удаленные амплитуды, которые хорошо прорисованы на осциллограмме и совпадают с линиями сетки экрана осциллографа. Такими амплитудами являются 𝑼 𝒎𝟏 и 𝑼 𝒎𝟐 . Значение амплитуды 𝐔 𝐦𝟏 определяем, проведя горизонтальную штриховую линию на вертикальную ось. Координата пересечения штриховой линии с вертикальной осью дает значение 𝑼 𝒎𝟏 = 𝟎, 𝟑 мВ. (см. Рис.7). Значение второй амплитуды, 𝑼 𝒎𝟐 , определяем, проведя красную горизонтальную линию через вторую амплитуду до пересечения с вертикальной осью (красная линия bcd, проходящая через точку с, соответствующую вершине полуволны, т.е , 𝐔 𝐦𝟐 .) Координата пересечения красной линии с вертикальной осью дает значение 𝑼 𝒎𝟐 = 𝟎, 𝟏𝟕 мВ. 3. Измерение интервала времени ∆𝒕 между выбранными амплитудами 𝑼 𝒎𝟏 и 𝑼 𝒎𝟐 . Опускаем зеленые перпендикуляры из выбранных амплитуд на горизонтальную ось. Интервал времени между точками пересечения этих перпендикуляров с горизонтальной осью дает искомое значение интервала времени ∆𝒕. Как видно из Рис. 7, 19 ∆𝒕 = 𝟎, 𝟖мс − 𝟎, 𝟐мс = 𝟎, 𝟔 мс На осциллограмме (Рис.7) ∆𝒕 дан зеленым цветом 4. Вычисление времени релаксации 𝛕 по формуле (17) 𝝉 = [∆𝑡 𝑙𝑛 (𝑈 𝑚1 𝑈 𝑚2 ⁄ ) ⁄ ] = [0,6мс 𝑙𝑛 (0,3мВ 0,17мВ ⁄ ) ⁄ ] = = 0,6мс 𝑙𝑛(1,76) ⁄ = 6мс 0,57 ⁄ = 1,05 мс. Ответ: 𝝉 = 𝟏, 𝟎𝟓 мс. Примечание: время релаксации 𝜏 получается в тех единицах, в которых взято ∆ 𝑡. Пример 2.2. Определить период, T, циклическую частоту, ω, время релаксации 𝝉 и коэффициент затухания, β, свободных колебаний, осциллограмма которых представлена на Рис. 8. Цена делений задана экспериментатором с помощью переключателя на передней панели осциллографа: цена делений по вертикальной оси 𝜸 𝒚 = 𝟎, 𝟓 мВ дел = 𝟎, 𝟓 ∙ 𝟏𝟎 −𝟑 В дел = 𝟓 ∙ 𝟏𝟎 −𝟒 В дел ; цена делений по горизонтальной оси 𝜸 Х = 𝟏𝟎 мс дел = 𝟏𝟎 ∙ 𝟏𝟎 −𝟑 с дел = 𝟏 ∙ 𝟏𝟎 −𝟐 с/дел. 1. Анализ осциллограммы Рис. 7. Как видно из Рис. 8 амплитуды на осциллограмме отличаются более, чем в 3 раза. Поэтому для расчета времени релаксации 𝝉, использовать формулу (17) не целесообразно. Рис. 8 Осциллограмма свободных (затухающих) колебаний) для примера 2.2. 2. Выбор и измерение амплитуд, которые будем использовать для расчета времени релаксации 𝝉. В качестве амплитуды, 𝐔 𝐦𝟏 выбираем левую амплитуду, у которой хорошо прорисована полуволна. От первой амплитуды, 𝐔 𝐦𝟏 ,проводим штриховую линию до 20 пересечения с вертикальной осью. По вертикальной оси подсчитываем число делений, соответствующих первой амплитуде. Из Рис. 8 видно, что 𝐔 𝐦𝟏 = 𝟑 дел; 𝒏 𝒚 = 𝟑дел.По условию, цена деления по вертикальной оси 𝜸 𝒚 = 𝟎, 𝟓 мВ дел Тогда, 𝑈 𝑚1 = 𝛾 𝑦 ∙ 𝑛 𝑦 = (0,5 мВ дел ) ∙ 3дел = 1,5 мВ. Таким образом, 𝐔 𝐦𝟏 = 𝟏, 𝟓 мВ. За время 𝝉 амплитуда должна уменьшиться в 2,7 раза (е=2,7), т.е. нам надо найти вторую амплитуду со значением 𝐔 𝐦𝟐 = (𝟑дел)/𝟐, 𝟕 ≈ 𝟏, 𝟏дел. Для этого на вертикальной оси откладываем 1,1 деления, через эту точку проводим красную горизонтальную линию, и находим ту амплитуду, которой касается красная линия, не пересекая ее. Эту амплитуду считаем второй амплитудой (на осциллограмме U m2 написано красным цветом). Значение 𝐔 𝐦𝟐 равно 𝐔 𝐦𝟐 = 𝟏, 𝟏дел = (0,5 мВ дел ) ∙ 𝟏, 𝟏дел = 0,55мВ. 𝐔 𝐦𝟐 = 𝟎, 𝟓𝟓 мВ. 3. Измерение и расчет времени релаксации 𝝉. Из первой 𝐔 𝐦𝟏 и второй 𝐔 𝐦𝟐 амплитуды опускаем перпендикуляры на горизонтальную ось (фиолетовые линии на Рис. 8. Промежуток времени, который отсекают фиолетовые перпендикуляры на горизонтальной оси и есть время релаксации 𝝉. Этот промежуток составляет 3,3 дел (см. Рис. 8). Таким образом время релаксации 𝝉 = 𝟑, 𝟑 дел; 𝒏 𝑿 = 𝟑, 𝟑 дел. Значение 𝝉равно: 𝝉 = 𝑛 𝑋 ∙ 𝛾 𝑋 = (10 мс дел ) ∙ 1дел = 33 мс. Ответ: 𝝉 = 𝟑, 𝟑 дел = 𝟑𝟑 мс 4. Вычисление коэффициента затухания β. Коэффициент затухания- величина обратная времени релаксации поэтому 𝜷[ 𝟏 𝒄 ] = 𝟏/𝝉[𝒄]. Ответ: 𝜷 = 𝟏 𝝉 = 𝟏 (𝟑𝟑 ∙ 𝟏𝟎 −𝟑 ) ⁄ = 𝟑𝟑, 𝟑 [ 𝟏 𝒄 ] 4. Измерение и расчет периода, T. Выбираем на осциллограмме Рис.8 временной промежуток из нескольких периодов, для повышения точности измерения. Экспериментатор выбрал 5 периодов (число периодов N=5). Краями выбранного временного промежутка являются амплитуды, при этом одна из амплитуд совпала с вертикальной линией сетки экрана осциллографа. Из амплитуд, ограничивающих временной промежуток, опускаем перпендикуляры на горизонтальную ось. На Рис.8 это зеленые перпендикуляры. Промежуток, отсекаемый зелеными перпендикулярами на горизонтальной оси, соответствует 5-ти периодам и составляет 4,2 деления. Таким образом, 𝑵𝑻 = 𝟓𝑻 = 𝟒, 𝟐дел, отсюда 𝑻 = (𝟒, 𝟐)/𝟓 = 𝟎, 𝟖𝟒дел.Отсюда вычислим период : 𝑻 = 𝒏 𝑿 ∙ 𝜸 𝑿 = 𝟎, 𝟖𝟒дел ∙ (𝟏𝟎 мс дел ) = 𝟖, 𝟒 мс. Ответ : 𝑻 = 𝟎, 𝟖𝟒дел = 𝟖, 𝟒мс. 5. Вычисление частоты. Частота затухающих колебаний равна : 𝝂 = 𝟏 𝑻 = 𝟏 (𝟖,𝟒 ∙ 𝟏𝟎 −𝟑 ) ⁄ = 𝟏𝟏𝟗 Гц. Ответ : 𝝂 = 𝟏𝟏𝟗 Гц Циклическая частота затухающих колебаний 𝝎 = 𝟐𝝅𝝂 = 𝟔, 𝟐𝟖 ∙ 𝟏𝟏𝟗 = 𝟕𝟒𝟕, 𝟔 𝟏/с. Ответ : 𝝎 = 𝟕𝟒𝟕, 𝟔 𝟏/с 21 5. Экспериментальное определение логарифмического декремента затухания 𝜹 . Логарифмический декремент затухания (ЛДЗ), 𝜹,равен натуральному логарифму отношения двух соседний амплитуд затухающих колебаний 𝜹 = 𝒍𝒏 𝑨 𝒎 (𝒕) 𝑨 𝒎 (𝒕+𝑻) = 𝟏 𝑵 𝒍𝒏 𝑨 𝒎 (𝒕) 𝑨 𝒎 (𝒕+𝑵𝑻) , (8) здесь 𝑨 𝒎 (𝒕 + 𝑻) − амплитуда, отстоящая от амплитуды 𝑨 𝒎 (𝒕) на 1 период; 𝑨 𝒎 (𝒕 + 𝑵𝑻) − амплитуда, отстоящая от амплитуды 𝑨 𝒎 (𝒕) на N периодов. ЛДЗ, 𝜹, показывает число полных колебаний 𝑵 𝒆 , произошедших за время релаксации. ЛДЗ – величина обратная 𝑵 𝒆 𝜹 = 𝟏 𝑵 𝒆 ⁄ , (9) ЛДЗ – величина безразмерная. ЛДЗ связан с коэффициентом затухания и временем релаксации формулами 𝜹 = 𝜷𝑻 = 𝑻 𝝉 ⁄ . (10) ЛДЗ связан с параметрами колебательного контура соотношением 𝜹 = 𝝅𝑹√𝑪 𝑳 ⁄ = 𝝅 𝑹 𝝆 ⁄ , (11) здесь 𝜌 = √𝑳 𝑪 ⁄ − характеристическое сопротивление контура. В практической деятельности качество колебательного контура, как правило, характеризуется добротностью Q. Связь добротности с ЛДЗ дается формулой 𝑸 = 𝝆 𝑹 ⁄ = 𝝅 𝜹 ⁄ , (12) В задании 3 ЛР измеряется ЛДЗ и проверяется соотношение (11). Пример 3.1. Исследовать зависимость логарифмического декремента затухания (ЛДЗ), 𝜹, от сопротивления R колебательного контура, сравнить полученную зависимость 𝜹 эксп = 𝒇(𝑹) с формулой 𝜹 = 𝝅𝑹√𝑪 𝑳 ⁄ = 𝝅 𝑹 𝝆 ⁄ , построив соответствующий график. Экспериментальные осциллограммы колебаний приведены на Рис.18 – 20, цена деления по оси Y, установленная на панели осциллографа , 𝜸 𝒚 = 𝟐𝟎 мВ дел Индуктивность контура- L=100 мГ, электроемкости контура C=8 нФ, полное сопротивление 𝑹 полное = 𝑹 𝟎 + 𝑹. При этом 𝑹 𝟎 = 𝟐𝟎, 𝟒 Ом (пример 3.2, пункт 5); 𝑹 = 𝟓𝟏 Ом, 𝟗𝟎 Ом, 𝟐𝟎𝟎 Ом. Для экспериментального определения ЛДЗ будем использовать формулу (8) 𝜹 = 𝟏 𝑵 𝒍𝒏 𝑨 𝒎 (𝒕) 𝑨 𝒎 (𝒕 + 𝑵𝑻) ⁄ = 𝟏 𝑵 𝒍𝒏 𝑨 𝒎𝟏 𝑨 𝒎𝑵 ⁄ , здесь 𝑨 𝒎𝟏 = 𝑨 𝒎 (𝒕) − левая амплитуда, которой экспериментатор присвоил №1; 𝑨 𝒎𝑵 = 𝑨 𝒎 (𝒕 + 𝑵𝑻) − правая амплитуда c номером N, отстоящая от амплитуды 𝑨 𝒎𝟏 на N периодов, т.е. на N полных колебаний. Важно. 1. На экране осциллографа левая и правая амплитуды должны отстоять друг от друга не меньше, чем на 1/4 ширины экрана 2. В формулу для вычисления ЛДЗ амплитуды можно подставлять в делениях , не переводя в вольты, т.к. формула содержит отношение амплитуд (единицы измерения сокращаются, если они одинаковые). 22 3.1.1 Определение ЛДЗ по осциллограмме Рис.9. Расчет будем вести по формуле (9) 𝜹 = 𝟏 𝑵 𝒆 ⁄ Рис. 9 Осциллограмма для задания 3 – исследование зависимости ЛДЗ от сопротивления. L=100 мГ, C=8 нФ, 𝑹 полное = 𝑹 𝟎 + 𝑹. При этом 𝑹 𝟎 = 𝟐𝟎, 𝟒 Ом; 𝑹 = 𝟓𝟏 Ом. 1. Выбираем левую амплитуду, обозначаем ее 𝑼 𝒎𝟏 и измеряем ее значение в делениях, согласно Рис.9 𝑼 𝒎𝟏 = 𝟑 дел. 2. Выбираем правую амплитуду 𝑼 𝒎𝑵 . Поскольку на осциллограмме есть амплитуды отличающиеся более, чем в 3 раза за амплитуду 𝑼 𝒎𝑵 примем амплитуду равную 𝑼 𝒎𝑵 = 𝑼 𝒎𝟏 е = 𝑼 𝒎𝟏 𝟐,𝟕 = 𝟑 𝟐 , 𝟕 = 𝟏, 𝟏 дел. На Рис.9 она написана красным цветом. (Напомним, что 𝑼 𝒎𝟏 /𝑼 𝒎𝑵 = 𝒆). 3. Считаем число полных циклов N между амплитудами N=15. Так как амплитуды отличались в е раз, то Ne=N=15 4. Рассчитываем ЛДЗ 𝜹 = 𝟏 𝑵 𝒆 = 𝟏 𝟏𝟓 ≈ 𝟎, 𝟎𝟔𝟕. Важно. Из расчета видно: если выбранные амлитуды отличаются в е=2,7 раза, то число полных колебаний между ними равно 𝑵 = 𝑵 𝒆 , следовательно ЛДЗ может быть определен путем подсчета числа полных колебаний 𝑵 = 𝑵 𝒆 между этими амплитудами 𝜹 = 𝟏/𝑵 𝒆 Ответ: экспериментальное значение ЛДЗ равно 𝜹 эксп𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟕 5. Вычисляем экспериментальное значение добротности 𝑸 эксп = 𝝅 𝜹 эксп ⁄ . Ответ: экспериментальное значение добротности равно 𝑸 эксп𝟏 = 𝝅 𝜹 эксп𝟏 ⁄ 𝑸 эксп𝟏 = 𝟑, 𝟏𝟒 𝟎, 𝟎𝟔𝟕 ⁄ = 𝟒𝟔, 𝟗. 6. Расчет ЛДЗ по параметрам колебательного контура (формула (21)): 𝜹 теор = 𝝅 𝑹 полн 𝝆 ⁄ , здесь 𝜌 = √𝑳 𝑪 ⁄ − характеристическое сопротивление контура, 𝝆 = √𝑳 𝑪 ⁄ = √𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟎 −𝟑 /𝟖 ∙ 𝟏𝟎 −𝟗 = √( 𝟏𝟎𝟎 𝟖 ) ∙ 𝟏𝟎 𝟔 = 𝟑, 𝟓𝟑 ∙ 𝟏𝟎 𝟑 = 𝟑𝟓𝟑𝟎 Ом. Характеристическое сопротивление 𝝆 = 𝟑𝟓𝟑𝟎 Ом. 23 ЛДЗ теоретическое равно 𝜹 теор𝟏 = 𝝅 𝑹 полн𝟏 𝝆 ⁄ = 𝟑, 𝟏𝟒 ∙ 𝟕𝟓, 𝟒 𝟑𝟓𝟑𝟎 ⁄ = 𝟎, 𝟎𝟔𝟕 Ответ . 𝜹 теор𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟕. 7. Расчет добротности по параметрам колебательного контура (формула (22)): 𝑸 теор𝟏 = 𝝆 𝑹 полное𝟏 ⁄ = 𝟑𝟓𝟑𝟎 𝟕𝟓, 𝟒 = 𝟒𝟔, 𝟖 3.1.2 Определение ЛДЗ по осциллограмме рис.10, используя формулу (8) 𝜹 = 𝒍𝒏 𝑨 𝒎 (𝒕) 𝑨 𝒎 (𝒕+𝑻) = 𝟏 𝑵 𝒍𝒏 𝑨 𝒎 (𝒕) 𝑨 𝒎 (𝒕+𝑵𝑻) , Рис. 10 Осциллограмма для задания 3 – исследование зависимости ЛДЗ от сопротивления. L=100 мГ, C=8 нФ, 𝑹 полное = 𝑹 𝟎 + 𝑹. При этом 𝑹 𝟎 = 𝟐𝟎, 𝟒 Ом; 𝑹 = 𝟐𝟎𝟎 Ом. 1. Выбираем левую амплитуду, обозначаем ее 𝑼 𝒎𝟏 и измеряем ее значение в делениях, согласно Рис.10 𝑼 𝒎𝟏 = 𝟑 дел. 2. Выбираем правую амплитуду 𝑼 𝒎𝑵 . За амплитуду 𝑼 𝒎𝑵 примем амплитуду равную 𝑼 𝒎𝑵 = 𝟐 дел. На Рис.10 она написана красным цветом. Эту амплитуду удобно измерять, она совпадает с горизонтальной линией и расстояние между амплитудами более 0,25 ширины осциллограммы. 3. Считаем число полных циклов N между амплитудами N= 2. 4. Рассчитываем ЛДЗ 𝜹 𝟏 = 𝟏 𝑵 𝒍𝒏 𝑼 𝒎𝟏 𝑼 𝒎𝑵 ⁄ = 𝟏 𝟐 𝒍𝒏 𝟑 𝟐 ⁄ = 𝟏 𝟐 ∙ 𝟎, 𝟒𝟎𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟎𝟐. Ответ: экспериментальное значение ЛДЗ равно 𝜹 эксп𝟑 = 𝟎, 𝟐𝟎𝟐 5. Вычисляем экспериментальное значение добротности 𝑸 эксп = 𝝅 𝜹 эксп ⁄ . Ответ: экспериментальное значение добротности равно 𝑸 эксп𝟑 = 𝝅 𝜹 эксп𝟑 ⁄ 𝑸 эксп𝟑 = 𝟑, 𝟏𝟒 𝟎, 𝟐𝟎𝟐 ⁄ = 𝟏𝟓, 𝟓. 6. Расчет ЛДЗ по параметрам колебательного контура (формула (21)): 𝜹 теор = 𝝅 𝑹 полн 𝝆 ⁄ = 𝝅 ( 𝑹 + 𝑹 𝟎 ) 𝝆 ⁄ , характеристическое сопротивление контура, 24 ЛДЗ теоретическое равно 𝜹 теор𝟑 = 𝝅 𝑹 полн𝟐 𝝆 ⁄ = 𝟑, 𝟏𝟒 ∙ 𝟐𝟐𝟎, 𝟒 𝟑𝟓𝟑𝟎 ⁄ = 𝟎, 𝟏𝟗𝟔 Ответ . 𝜹 теор𝟑 = 𝟎, 𝟏𝟗𝟔. Согласие между экспериментальным и теоретическим значением ЛДЗ – удовлетворительное. 7. Расчет добротности по параметрам колебательного контура (формула (22)): 𝑸 теор𝟑 = 𝝆 𝑹 полное𝟑 ⁄ = 𝟑𝟓𝟑𝟎 𝟐𝟐𝟎,𝟒 = 𝟏𝟔. Пример графика для задания 3 ЛР 7. ТРЕБОВАНИЯ К ЗАЩИТЕ ЛР. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ Требование к защите ЛР. Студент может претендовать на оценку Удовлетворительно», если выполнил Часть1 индивидуального задания (ИЗ), это означает, что он самостоятельно проводил эксперимент. Для более высокой оценки необходимо выполнить две части Вашего варианта ИЗ Обозначения и терминология. T – Период затухающих (свободных колебаний) T 0 – Период собственных колебаний ν [Гц] – Частота затухающих (свободных колебаний) ν 0 [Гц] – Частота собственных колебаний ω [1/с] – Циклическая частота затухающих (свободных колебаний) ω 0 [1/с] – Циклическая частота собственных колебаний 𝝉 – Время релаксации 𝜷 [1/с] – Коэффициент затухания δ – Логарифмический декремент затухания (ЛДЗ), безразмерный Q – Добротность колебательного контура, безразмерная величина 𝝆 – Характеристическое сопротивление колебательного контура L [Г] – Индуктивность колебательного контура С [Ф] – Электроемкость колебательного контура Rполн –Полное сопротивление колебательного контура 𝜸 𝑿 [с/дел; мс/дел; мкс/дел] – Цена деления по оси абсцисс (горизонтальная ось) 𝜸 𝒚 [В/дел; мВ/дел; мкВ/дел] – Цена деления по оси ординат (вертикальная ось) N – Число полных колебаний |