ЛР 5.1 Кратко Для слабо подготовленных студентов. Методические указания по выполнению и защите лр 1 Более подробно см на сайте кафедры метод и уч пособия
 Скачать 3.28 Mb.
|
|
Федеральное агентство связи Кафедра физики ДЛЯ СЛАБО ПОДГОТОВЛЕННЫХ СТУДЕНТОВ Лабораторная работа 5.1 ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ Методические указания ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ЗАЩИТЕ ЛР 5.1 Более подробно см. на сайте кафедры метод. и уч. пособия 1. В.М. Астахов, В.И. Машанов, И.В. Грищенко, А.Г. Иванова. МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ФИЗИКЕ МЕХАНИКА, ЭЛЕКТРИЧЕСТВО, МАГНЕТИЗМ, КОЛЕБАНИЯ. – Новосибирск: СибГУТИ. 2018 2. А.Г. Черевко. Выполнение и защита лабораторных работ по разделу "Колебания в электрическом контуре": Учебное пособие для слабо подготовленных студентов. – Новосибирск: СибГУТИ, 2018 Новосибирск 2019 2 СОДЕРЖАНИЕ Образец оформления титульного листа 3 1 Цель работы 4 2 Краткая теория 4 3 Описание установки 7 4 Выполнение работы 9 5 Перечень экспериментальных результатов 10 6 Методические указания по выполнению и защите ЛР 5.1 для слабо подготовленных студентов 11 6.1 Гармонические (не затухающие) свободные колебания или собственные колебания (материал с примерами) 11 6.2 Колебания в реальном электрическом колебательном контуре (материал с примерами) 1.1 15 7 Требования к защите ЛР. Обозначения и терминология 24 8 Примеры решения индивидуального задания 25 9 Индивидуальное задание - варианты 29 3 Образец оформления титульного листа Федеральное агентство связи СибГУТИ Кафедра физики Лабораторная работа 5.1 Изучение свободных колебаний в электрическом контуре Выполнил студент группы ХХХХ: Фамилия Имя Отчество Проверил (должность, Фамилия Имя Отчество) Измерения сняты __________________________ Дата, подпись преподавателя Отчет принят ______________________________ Дата, подпись преподавателя Защита_____________________________ Оценка, дата, подпись преподавателя Новосибирск, 2019 г. 4 Лабораторная работа 5.1 ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ 1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ 1. Ознакомиться с физическими процессами, протекающими в электрическом контуре. 2. Исследовать влияние величин электроемкости и индуктивности на период колебаний в контуре с малым сопротивлением. 3. Установить характер зависимости логарифмического декремента затухания колебаний от сопротивления контура. 2. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ Исследуемый контур состоит из конденсатора электроемкостью С, катушки с индуктивностью L и резистора, имеющего сопротивление R. Схема соединения элементов электрической цепи приведена на рисунке 1. Рис. 1 Схема реального колебательного контура Простой контур, который здесь рассматривается, является электрической цепью со сосредоточенными параметрами. Это означает, что электроемкость С сосредоточена в одном месте (конденсаторе), а индуктивность L и сопротивление R - в других местах контура (в катушке и в резисторе). Электрическими колебаниями в таком случае выступают повторяющиеся изменения электрических величин, характеризующих процессы в элементах контура. В конденсаторе, например, изменяются со временем следующие величины: заряд q и напряжение между обкладками 𝑈 с а также характеристики электрического поля конденсатора. Электрические колебания (процессы) происходят во всех элементах цепи согласованно. А именно так, что мгновенные значения силы тока I одни и те же в любом месте контура. Подобное имеет место в цепи постоянного (стационарного) тока. Поэтому электрические процессы в колебательном контуре называются квазистационарными («квази»- приставка, означающая «якобы, как будто»). Квазистационарные процессы также подчиняются закону Ома, что и постоянный ток. Для математического описания электрических процессов в контуре применим 2 правило Кирхгофа: «Сумма падений напряжения в контуре равна сумме действующих в нем ЭДС». В колебательном контуре имеются два падения напряжения: на конденсаторе 𝑈 с , равное 𝑞 𝐶 , и на сопротивлении, равное IR. При изменении силы тока в контуре в катушке индуктивности возникает ЭДС самоиндукции. dt dI L U IR C (1) Сила тока по определению связана с зарядом конденсатора соотношением: 𝐼 = 𝑑𝑞 𝑑𝑡 или 𝐼 = 𝑞′ - так обозначается производная по времени. Подставив выражения для тока i и напряжения 𝑈 с в формулу (1), получим дифференциальное уравнение в виде: 0 1 или 0 q C q R q L C q dt dq R dt dI L Разделим уравнение на коэффициент при старшей производной (индуктивность катушки) и введем обозначения: 5 LC и L R 1 2 2 0 После введения обозначений дифференциальное уравнение затухающих колебаний в контуре принимает вид: 0 ' 2 2 0 q q q (2) Функция ) cos( 0 0 t e q q t (3) является решением дифференциального уравнения (2) и называется уравнением затухающих колебаний заряда конденсатора. Циклическая частота затухающих колебаний 2 2 0 2 или 2 2 4 1 L R LC (4) Амплитуда заряда на конденсаторе убывает со временем по экспоненциальному закону: t m e q q 0 (5) Быстрота убывания определяется величиной β, которую называют коэффициентом затухания. L R 2 (6) Так как 𝜔 есть действительное число и 𝜔 2 не может быть отрицательным, то затухающие колебания имеют место только при условии (см.4): 2 или , 1 4 или , 2 2 2 0 2 C L R LC L R (7) Наконец, постоянные величины 𝑞 0 и 𝜑 0 определяются начальными условиями. Если, например, вначале при разомкнутом контуре конденсатор заряжен ( 𝑞 0 - величины заряда), а потом соединен с катушкой и резистором, то начальная фаза колебаний равна нулю, то есть 𝜑 0 =0. На рисунке 2 показаны графики затухающих колебаний в одном электрическом контуре при двух значениях коэффициента затухания. Причем, 𝛽 2 > 𝛽 1 , а величины 𝑞 0 и 𝜑 0 одинаковы. Пунктиром изображена зависимость амплитуды заряда 𝑞 𝑚 от времени. Эта зависимость называется экспоненциальной. Рис. 2 Графики затухающих колебаний заряда с разными коэффициентами затуханий Теперь обратим внимание на такие особенности колебательного процесса с затуханием, которые на рисунке заметить нельзя. Для этого найдем уравнение колебаний тока в контуре, приняв уравнение колебаний заряда в виде 𝑞 0 𝑒 −𝛽𝑡 cos 𝜔𝑡. Так как 𝐼 = 𝑞′, то после дифференцирования получим: ]. cos sin [ 0 t t e q I t 6 Записав слагаемое 𝜔 sin 𝜔𝑡 как 2 cos t и складывая оба слагаемых выражения в скобках с помощью векторной диаграммы, получим уравнение колебаний тока в виде: ), cos( 0 0 t e q i t (6) где 2 2 0 (см. соотношение 4), а arctg есть сдвиг фаз между колебаниями заряда и тока. Полученный результат приводит к следующим заключениям: 1. Амплитуда тока в начальный момент времени 𝐼 0 = 𝜔 0 𝑞 0 не зависит от характеристик затухания. 2. В контурах с малым сопротивлением R и достаточно большой частотой 𝜔 реализуется неравенство: 𝛽 ≪ 𝜔. Это случай слабого затухания, величина сдвига фаз Ψ стремится к (- 𝜋 2 ) . Затухание влияет на частоту 𝜔 только во втором порядке. Полученная ранее формула (4) позволяет рассчитать относительную разницу величин 𝜔 0 и 𝜔 с помощью соотношения: 2 1 2 0 (7) В результате при СЛАБОМ ЗАТУХАНИИ уравнения колебаний заряда и тока можно приближенно записать так: sin , cos 0 0 0 0 t e I I t e q q t t (8) Отметим, что период колебаний 𝑇 0 = 2𝜋 𝜔 0 определяется в этом случае известной формулой Томсона: LC T 2 Точное же значение периода затухающих колебаний (в соответствии с формулой (4)) равно 2 2 1 2 L R LC T (9) Вернемся еще раз к экспоненциальной зависимости 𝑞 𝑚 = 𝑞 0 𝑒 −𝛽𝑡 , изображенной на рис. 2, чтобы рассказать о других важных характеристиках затухающих колебаний и дать им физическое объяснение. Непрерывное рассеяние энергии на сопротивлении приводит к тому, что наибольший заряд конденсатора уменьшается с каждым периодом колебаний, именно: ..., ) ( ) 2 ( ) ( ) 0 ( NT q T q T q q m m m m N - число колебаний. Эти амплитуды колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию. А это означает, что отношение величины каждого максимума 𝑞 𝑚 (𝑡)к последующему 𝑞 𝑚 ( t+T) одинаково. Безразмерная величина, равная натуральному логарифму отношения амплитудных значений, отстоящих по времени на период колебания, называется логарифмическим декрементом затухания: ) ( ) ( ln T t q t q m m (10) С логарифмическим декрементом затухания связана (обратно пропорциональной зависимостью) еще одна характеристика затухающих колебаний - добротность Q. (Не путать с зарядом q!). В случае слабого затухания добротность определяется следующим образом: , Q (11) то есть, чем меньше затухание, тем больше добротность. 7 Для того, чтобы выявить смысл характеристик затухания, введем понятие времени релаксации 𝜏. Это такой промежуток времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз (е 2,72- основание натуральных логарифмов). Заменив t на в выражении , 0 t m e q q получим , 1 e e откуда: 1 (12) То есть коэффициент затухания 𝛽 - это величина, обратная времени релаксации 𝜏. Связь коэффициента затухания и логарифмического декремента получают из формулы определения последнего (10): e ln T , (13) где Т- период колебаний. В случае слабого затухания можно выразить логарифмический декремент затухания через параметры контура L C R (14) В качестве меры затухания можно использовать также число 𝑁 𝑒 - число колебаний, совершающихся в контуре за время, равное времени релаксации 𝜏. При малом затухании время 𝜏 больше периода колебаний. Поэтому имеем: так как T N e 1 1 , то e N 1 (15) e N Q (16) Таким образом, логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в 𝑒 раз. Добротность же прямо пропорциональная числу 𝑁 𝑒 Исходя из формул (14) и (16), можно получить формулу зависимости добротности от параметров контура при слабом затухании: C L R Q 1 (17) Полная картина поведения электрического контура не ограничивается только затухающими колебаниями. В контуре с сильным затуханием (большим сопротивлением R) колебаний заряда нет, есть только монотонное убывание с течением времени. Не будем рассматривать соответствующие решения дифференциального уравнения (2). Заметим только, что специальный случай «критического затухания» имеет место при сопротивлении R, равном C L R kp 2 в котором величину 𝑅 кр называют критическим сопротивлением контура. Эта последняя формула подтверждает общую особенность, выражающуюся в том, что все рассмотренные выше характеристики процессов в колебательном контуре имеют связи с численными значениями параметров контура R, L и С. Исследования, проводимые в этой работе, имеют целью проверить некоторые из них. 3. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ Электрическая цепь собрана по схеме, изображенной на рис. 1. Колебания возбуждаются в контуре благодаря зарядке конденсатора от источника однополупериодного переменного тока с частотой 50 Гц. Затухающие колебания напряжения 𝑈 с на конденсаторе подаются на клеммы вертикального усиления осциллографа (рис. 3). При этом частоту развертки электрического сигнала осциллографом устанавливают примерно такой же, что и частота зарядки С. В качестве элементов колебательного контура используются наборы конденсаторов, катушек индуктивности и сопротивлений (резисторов). Присоединение каждого элемента набора производится с 8 помощью кнопочного выключателя. Для включения элементов R, L, С в цепь контура нужно нажать соответствующие кнопки и зафиксировать их в «утопленном состоянии». Рис.3 Электрическая схема установки Рис. 4 Затухающие колебания на экране осциллографа Значения сопротивления R, электроемкости С и индуктивности L для каждого положения кнопочных выключателей составляют отдельную таблицу. Таблица выдается на рабочее место при выполнении работы. Основные измерения проводятся с помощью осциллографа. Осциллограмма напряжения 𝑈 𝑐 выглядит так, как показано на рис. 4, то есть подобна графику колебаний заряда на конденсаторе из рис. 2 ( 𝑈 𝑐 = 𝑞 С ). Время по горизонтальной оси можно рассчитать. Для этого поверх экрана нанесена прямоугольная сетка, калиброванная в единицах времени (мс или мкс). Назовем временную длительность одного квадрата сетки по горизонтали ценой деления развертки и обозначим ее 𝛾. Для более точного измерения каждое деление «разделено» на доли по 0,2 (это указано на сетке). Тогда время t, в течение которого происходят N колебаний, будет равно 𝑡 = 𝛾𝑛, где n- число квадратов сетки, в пределах которых укладываются эти N колебаний. На рис. 4 видно, что для N=6, то есть для шести периодов Т, число n равно 6,6. Величину 𝛾 отсчитывают непосредственно на панели осциллографа. Отсчёт числа полных колебаний удобно проводить по амплитудным (максимальным) значениям напряжениям. Начало отсчёта «0». На рис. 4 переключатель развертки по горизонтали указывает 0,1. Справа от переключателя нажата кнопка 𝑚𝑠 , значит, цена деления равна 0,1 мс. Отсчитываем шесть полных колебаний (N=6). На экране осциллографа время шести колебаний соответствует n=6,7 делениям. Тогда t=n=0,67 мс. Время одного колебания, то есть период колебания 𝑇 = 𝑡 𝑁 = 0.67 6 = 0,116 мс. Важным параметром затухающих колебаний является время релаксации . За это время амплитуда колебания уменьшается в «е» раз (е=2,72 – основание натурального логарифма). Амплитуду напряжения можно измерять в делениях (одно деление – это сторона квадрата сетки на экране осциллографа по вертикали). Цена деления в данном случае для наших рассмотрений не важна. Важно, чтобы формат изображения был удобен для рассмотрений. На рис. 4 амплитуда напряжения 𝑈 0 = 4 деления. Амплитуда через время релаксации 𝑈 𝜏 = 1,48 деления ( 4 2,72 = 1,48). Осциллограмма показывает, что уменьшение амплитуды в «е» раз произошло за время 𝜏 = 𝛾 𝑛 = 0,1 4,4 = 0,44 мс. С основными органами управления осциллографом следует ознакомиться перед началом измерений. 9 4. ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ Задание 1 Определить сопротивление 𝑹 𝟎 проводов намотки катушки индуктивности. 1. Включить источники напряжения и осциллограф. 2. Ввести в цепь контура конденсатор с наименьшей электроемкостью С, катушку индуктивности с индуктивностью в пределах L= (50÷150) мГн. Набор сопротивлений оставить выключенным. При этом цепь контура будет замкнутой, а сопротивление равно 𝑅 0 провода намотки включенной катушки индуктивности. 3. Получить на экране осциллографа такую осциллограмму, в которой можно выделить две амплитуды колебаний U, отличающиеся (по вертикальным делениям сетки) в 2,7 раза (число 𝑒 ≈ 2,7). Затем отсчитывают интервал времени, разделяющий эти две амплитуды. В горизонтальных делениях сетки интервал равен 𝛾 ∙ 𝑛 (𝛾 – цена деления, n- число делений). А по смыслу затухания колебаний - это время релаксации 𝜏. Итак, 𝜏 = 𝛾𝑛. 4. Используя обратную зависимость времени релаксации и коэффициента затухания: 𝛽 = 1 𝜏 и обозначение 2𝛽 = 𝑅 𝐿 в уравнении (2), получим формулу для расчета сопротивления 𝑅 0 : 𝑅 0 = 2 𝐿 𝛾𝑛 . Вычисления выполнить в системе единиц СИ. |