Metod_Kr_Методы решения задач ЭЭ_13.03.02_ЭЭТ_2018. Методические указания по выполнению контрольной работы квалификация выпускника бакалавр Пятигорск 201 8 2 3 Задание на контрольную работу по дисциплине Математические задачи электроэнергетики. Срок сдачи работы 27. 04. 2017 г

• Название: Методические указания по выполнению контрольной работы квалификация выпускника бакалавр Пятигорск 201 8 2 3 Задание на контрольную работу по дисциплине Математические задачи электроэнергетики. Срок сдачи работы 27. 04. 2017 г
• Дата: 16.02.2019
• Размер: 0.6 Mb.
• Имя файла: Metod_Kr_Методы решения задач ЭЭ_13.03.02_ЭЭТ_2018.pdf
• Тип: Методические указания; #67808

МИНИ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования СЕВЕРОКАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт сервиса, туризма и дизайна (филиал) СКФУ в г. Пятигорске МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ И ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Квалификация выпускника бакалавр Пятигорск 201 8

2

3 Задание на контрольную работу по дисциплине Математические задачи электроэнергетики. Срок сдачи работы 27.04.2017 г.
1. По заданной схеме изобразить граф электрической схемы,
выделить дерево графа и связи, пронумеровать ветви графа, присвоив ветвям дерева первые порядковые номера.
2. Составить матрицу соединений и матрицу контуров. По заданным параметрам схемы рассчитать токи ветвей схемы, используя законы Кирхгофа.
4. Рассчитать токи ветвей схемы, используя матричный метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод эквивалентного генератора.
5. Построить потенциальную диаграмму для одного из контуров. Проверить выполненные расчеты, используя уравнения энергетического баланса Вариант задания определяется по номеру в списке группы. Вар Рис. R1
R2
R3
R4
R5
R6
E1
E2
E3
E4
E5
E6 Ом В
1 1.5 20 8
3 12 17 30 24 0
30 0
0 0
2 1.6 12 15 9
30 32 10 0
0 30 0
0 50 3
1.14 6 20 14 15 8
36 0
0 32 0
15 0
4 1.8 18 53 33 10 15 20 51 0
18 0
0 0
5 1.9 6
17 7
20 11 15 15 0
0 50 0
0 6
1.15 8 15 18 10 12 21 30 0
0 0
0 38 7
1.16 20 60 90 100 165 60 0
26 0
38 0
0 8
1.7 83 120 150 60 105 200 0
0 125 300 0
0 9
1.19 10 18 6
15 220 20 0
0 15 48 0
0 10 1.20 165 90 68 20 120 100 21 0
0 0
0 54

4 11 1.25 30 120 150 60 225 60 0
300 210 0
0 0
12 1.4 23 18 15 12 12 10 0
0 0
30 0
24 13 1.12 6 10 15 5
30 30 0
0 30 0
0 51 14 1.10 14 30 24 20 45 32 0
75 27 0
0 0
15 1.11 6 3
5 4
5 2
0 0
6 0
0 15 16 1.1 6
12 9
5 20 16 0
69 0
0 22 0
17 1.2 15 27 8
16 12 4
0 0
52 0
0 44 18 1.18 45 60 33 30 21 20 0
0 50 0
0 20 19 1.13 8 10 15 5
24 42 45 33 0
0 0
0 20 1.21 9 7
12 20 10 12 45 0
0 0
0 20 21 1.21 7 3
1 4
6 10 0
0 0
7 10 0
22 1.22 2 4
3 2
7 7
0 19 0
74 0
0 23 1.23 10 40 50 40 75 20 0
66 0
0 125 0
24 1.18 22 64 96 110 155 68 32 0
0 0
24 0
25 1.25 16 34 20 26 47 30 0
0 0
70 0
25 Схемы для расчѐта Рис. Рис. 1.2

5

6

7

8

9 Теоретическая часть Составление системы уравнений Кирхгофа Задать произвольно направление токов в ветвях схемы. Упростить заданную схему заменив источники тока (ИТ) на источники напряжения (ИН) по выражению
i
i
k
k
i
E
I R

,
(1.1) где
i
k
I
– ток ИТ; сопротивление подключенное параллельно с ИТ. Составить уравнения по первому и второму законам Кирхгофа. По первому закону для всех узлов схемы справедливо
1 0
n
i
i
I



,
(1.2) где i – номер ветви для данного узла
n – число ветвей, соединенных в узел. Знак тока при направлении к узлу принимается положительным, а от узла – отрицательным. Уравнения составляются для m -1 узла, где m – общее число узлов схемы. Определить замкнутые контуры схемы для составления уравнений по второму закону. В контурах схемы произвольно задать направления обходов (обычно почасовой стрелке. Для каждого контура справедливо
1 1
k
L
i i
i
i
i
R I
E





,
(1.3) где
i
R
,
i
I
– сопротивление и ток вцепи по направлению обхода контура
k – количество сопротивлений по направлению обхода
i
E
– ЭДС в цепях по направлению обхода контура
L – количество источников ЭДС в контуре. Знаки токов и ЭДС принимаются положительными, если их направления совпадают с направлениями обхода и отрицательными, если направления тока и ЭДС не совпадают с направлением обхода. Уравнения составляются для всех контуров, решить систему уравнений) После решения системы уравнений определяются токи ветвей. К недостаткам метода решения уравнений по правилам Кирхгофа можно отнести большое число уравнений в системе, равное количеству неизвестных токов, что может создать трудности при решении задач.
Меньшее число уравнений составляется по методу контурных токов. Метод контурных токов Согласно методу предполагается, что в каждом независимом контуре протекает свой контурный ток. Независимыми называются контуры, которые имеют хотя бы одну новую ветвь, не входящую в другие контуры. Число независимых контуров схемы равно числу уравнений, которые нужно составить по второму закону Кирхгофа
T
Y
B
N
)
1
N
(
N
n




,
(1.5) где
B
N
– число ветвей схемы
Y
N
– число узлов
T
N
– число источников тока. В схеме, представленной на рисунке 1.12, число независимых контуров Предположение о контурных токах приводит к тому, что число неизвестных, и, соответственно, число уравнений, необходимых для определения этих неизвестных уменьшается по сравнению с полной системой уравнений Кирхгофа и равно числу независимых контуров. Этот метод является фактически записью второго закона Кирхгофа через контурные токи.

11
Пусть имеем схему, содержащую n независимых контуров. Согласно методу контурных токов в каждом м независимом контуре протекает контурный ток I
KK
. В общем случае система уравнений для расчета контурных токов имеет вид
11 11 22 12 33 13 1
11
nn
n
I R
I
R
I R
I
R
E


 

;
11 21 22 22 33 23 2
22
nn
n
I R
I
R
I R
I
R
E


 

;
11 1
22 2
33 3
n
n
n
nn nn
nn
I R
I
R
I R
I
R
E


 

,
(1.6) где R
КК
– полное (собственное) сопротивление го контура, равное сумме всех сопротивлений, входящих в этот контур
R
ik
– сопротивления смежных контуров



p
1
k
K
kk
E
E
– алгебраическая сумма ЭДС, входящих в к-ый контур. Полное (собственное) сопротивление R
КК
всегда положительное. Если контурные токи в общей (смежной) ветви протекают согласно (сонаправле- ны), то сопротивления смежных контуров R
ik принимается положительными, если контурные токи направлены встречно, то R
ik принимается отрицательным. Со знаком плюс берутся ЭДС, направление которых совпадает с контурным током I
KK
, а со знаком минус направление которых не совпадают с Контурные токи определяются после решения системы уравнений. Истинный ток (искомый ток) в любой ветви равен алгебраической сумме контурных токов, протекающих по этой ветви. Со знаком плюс берутся контурные токи, совпадающие с истинным током со знаком минус – несовпа- дающие с искомым током. Метод контурных токов целесообразно применять, когда схема содержит много узлов, но мало независимых контуров. Метод узловых потенциалов Метод узловых потенциалов рационально применять, когда в схеме

12 узлов меньше, чем независимых контуров. В основе метода узловых потенциалов лежит первый закон Кирхгофа и закон Ома для участка цепи с ЭДС. Пусть схема имеет число узлов Число уравнений, которые должны быть составлены по 1-му закону Кирхгофа, равно N
Y
– 1. Принимаем потенциал одного из узлов равным нулю, те. условно заземляем его. Пусть
0
1
n



. В общем виде уравнения, составленные по методу узловых потенциалов, имеют вид
1 11 2 12 3 13 1
n
n
G
G
G
G

 
 
 
=


m
1
K
K
K
G
E
;
2 21 2 22 3 23 2
n
n
G
G
G
G

 
 
 
=


m
1
K
K
K
G
E
;
1 1
2 2
3 3
1
n
n
n
n n n
G
G
G
G

 
 
 
=


m
1
K
K
K
G
E
,
(1.7) где G
KK
– собственная проводимость го узла, равная сумме проводимостей всех ветвей, присоединенных к k-му узлу
k
k
k
k
R
1
G
,
G
G



,
(1.8)
G
kn
– общая проводимость узлов «k» и «n», равная сумме проводимостей ветвей, соединяющих узлы «k» и «n». Общая проводимость узлов всегда отрицательная алгебраическая сумма произведений ЭДС источников на проводимости тех ветвей, которые присоединены к узлу «k» и содержат источники ЭДС. Произведение
K
K
G
E
берется со знаком плюс в том случае, если в рассматриваемой ветви ЭДС направлена к узлу «k», и со знаком минус, когда ЭДС направлена от узла «k» .

13 Решая систему (1.7), находят потенциалы всех узлов. Истинные токи рассчитывают по закону Ома для участка цепи, по найденной разности потенциалов двух узлов к которым подсоединена данная ветвь. Составление уравнения энергетического баланса или уравнения баланса мощностей Уравнение баланса мощностей имеет вид
j
k
1
i
m
1
j
2
j
i
i
R
I
I
E







,
(1.10) где k – количество источников ЭДС m – количество сопротивлений в схеме. При составлении уравнения баланса мощностей необходимо учитывать, что в тех ветвях цепи, где направление тока совпадает с направлением ЭДС, соответствующий источник ЭДС следует рассматривать как генератор энергии, а в тех ветвях, где направления ЭДС и тока противоположны, источник ЭДС следует рассматривать как потребитель энергии, ив уравнение баланса он входит со знаком минус. Все сопротивления, независимо от направления протекающего через них тока, являются потребителями энергии. Построение потенциальной диаграммы Потенциальная диаграмма позволяет определить потенциалы во всех точках и узлах схемы. Используется при диагностике возможных неисправностей в работе схемы. Потенциальные диаграммы строятся для выделенных контуров в функции от сопротивления цепи от произвольно выбранного узла. При построении диаграммы принимаем потенциал выбранного узла равным нулю φ
i
= 0. Расчет потенциалов остальных точек производим согласно выбранному направлению обхода контура (почасовой стрелке. Значения токов принимаются в соответствии с рассчитанными в предшествующих пунктах задания со своими знаками направлений. Построение диаграммы осуществляется в масштабах напряжений

14 m
u
= мм
В
и сопротивлений мм
Ом r
m

. На диаграмме по оси абсцисс откладываются значения сопротивлений участков в последовательности расположения их в контуре по оси ординат – потенциалы соответствующих точек. Пример потенциальной диаграммы приведѐн на рисунке 1.11. Рисунок 1.11 – Потенциальная диаграмма контура цепи Пример расчѐта В таблице 1.3 приведены исходные данные для расчѐта параметров раз- ветвлѐнной цепи на рисунке 1.12. Таблица 1.3 – Данные для расчѐта Сопротивления, Ом Источники, В, А
R
1
R
2
R
3
R
4
R
5
R
6
E
1
E
2 к 130 40 60 80 110 45 12 13 0,3 Для преобразование заданной схемы в расчетную необходимо произвести замену источника тока на источник напряжения. На рисунке 1.13 приве- дн принцип замены.
0
а


е

а

ш

,
R
Ом
150 50 е

15 Рисунок 1.12 – Электрическая цепь Рисунок 1.13 – Принцип замены источника тока на источник напряжения Подставив значения из таблицы 1.3, получим На рисунке 1.14 приведена расчѐтная схема после замены источника тока J
K2
на источник напряжения Рисунок 1.14 -
Расчѐтная схема электрической цепи
R
R
J
E = J · R
>>
>>
R
6
R
5
R
2
R
1
R
3
R
4
E
2
E
1 К
R
6
R
5
R
2
R
1
R
3
R
4
E
2
E
1 2
E

I
2
I
5
I
1
I
3
I
4
I
6
c
b
a
d

16 Определение токов в ветвях схемы по правилам Кирхгофа Требуется произвольно задать условно положительное направление токов в ветвях. Определить замкнутые контуры в схеме и произвольно наметить направление их обхода при составлении уравнений (рисунок 1.14). Уравнения по первому правилу Кирхгофа составляются по выражению
(1.2):



n
i
i
I
1 0
, для всех узлов. Узел a:
0 3
6 5




I
I
I
;
(1.11) Узел b:
0 1
5 2




I
I
I
; Узел c:
0 4
3 Количество узловых уравнений должно быть на одно меньше количества узлов, так как последнее узловое уравнение будет являться тождеством. Уравнения по второму правилу Кирхгофа составляются по выражению
(1.3):





m
i
i
n
j
j
E
U
1 1
I контур
1 6
6 5
5 1
1
E
R
I
R
I
R
I



;
(1.12)
II контур
2 2
2 2
5 5
3 3
E
E
R
I
R
I
R
I






;
III контур
0 4
4 3
3 Таким образом, количество уравнений по правилам Кирхгофа равно числу неизвестных токов. После подстановки значений параметров
0
I
I
I
3
6
5




;
(1.13)
0
I
I
I
1
5
2




;
0
I
I
I
4
3
2



;
12
45
I
110
I
130
I
6
5
1






;
25
40
I
110
I
60
I
2
5
3







;
0
80
I
60
I
45
I
4
3
6







17 Решение системы уравнений осуществляется с помощью прикладных программ EUREKA, Mathcad, приложения Excel, или – калькулятора (методом Крамера). После решения численные величины токов
A
,
I
147 0
1

;
A
,
I
227 0
2

;
A
,
I
118 0
3


;
A
,
I
109 0
4

;
A
,
I
080 0
5

;
A
,
I
038 Отрицательный знак для токов I
3
, I
6
означает, что истинное направление тока противоположно направлению, выбранному первоначально в качестве положительного. Определение токов в ветвях методом контурных токов Уравнения составляют только по II правилу Кирхгофа для, так называемых, фиктивных (контурных) токов, предполагая, что ток одинаковый для всех участков выбранного контура. Направление контурных токов принимается такое же, как направление обхода по предыдущей задаче (рисунок 1.14). Рисунок 1.15 – Расчѐтная схема для определения контурных токов
I
11
, I
22
, I
33
– контурные токи.


1
6
33
5
22
6
5
1
11
E
R
I
R
I
R
R
R
I





;
(1.15)


2
2
3
33
5
11
5
3
2
22
E
E
R
I
R
I
R
R
R
I







; После подстановок значений параметров
R
6
R
5
R
2
R
1
R
3
R
4
E
2
E
1 2
E

I
2
I
5
I
1
I
3
I
6
c
b
a
d
I
22
I
4
I
11
I
33

18
12
45
I
110
I
285
I
33
22
11



;
(1.16)
25
60
I
10
I
210
I
33
11
22



; Решение системы из составленных уравнений позволяет определить величину контурных токов А А
А
109
,
0
I
33

Для определения фактических токов в ветвях составим уравнения, учитывая, что истинный ток (искомый ток) в любой ветви равен алгебраической сумме контурных токов, протекающих по этой ветви. Со знаком плюс берутся контурные токи, совпадающие с истинным током со знаком минус – несовпадающие с искомым током
A
147
,
0
I
I
11 1


;
A
227
,
0
I
I
22 2


;
A
118
,
0 227
,
0 109
,
0
I
I
I
22 33 3






;
A
109
,
0
I
I
33 4


;
A
080
,
0 147
,
0 227
,
0
I
I
I
11 22 5





;
A
038
,
0 147
,
0 109
,
0
I
I
I
11 33 Определение токов в ветвях методом узловых потенциалов Один из узлов заземляется
0
d


(рисунок 1.15). Уравнения составляются для узловых токов по первому правилу Кирхгофа согласно (1.7, 1.8,
1.9): узел a:
0
G
G
G
3
c
5
b
a
a






;
(1.17) узел b:
1
1
2
2
2
2
c
5
a
b
b
G
E
G
)
E
E
(
G
G
G












; узел c:
2
2
2
3
a
2
b
c
c
G
)
E
E
(
G
G
G









, где а
5
2
1
b
R
1
R
1
R
1
G



; После подстановок получим систему уравнений

19
0
60
1
110
1
45
1
110
1
60
1
c
b
a














;
(1.18)


130
1
12
40
1
13
12
40
1
110
1
110
1
40
1
130
1
c
a
b



















; После решения системы потенциалы узлов равны
B
69
,
1
a


;
B
14
,
7
b



; Для определения токов в ветвях составляются уравнения для каждой ветви. Уравнения составляются по схеме выбирается один из узлов, условно его потенциал принимается больше потенциалов других узлов от потенциала выбранного узла отнимаются падения напряжений на сопротивлениях выбранной ветви прибавляются напряжения источников ЭДС, включѐнных в данную ветвь результирующее напряжение уравновешивается потенциалом второго узла в конце ветви. Ток, направленный от выбранного узла, принимается со знаком минуса ЭДС – со знаком плюс.
b
5
5
a
I
R




;
(1.19)
c
2
2
2
2
b
I
R
E
E







;
a
3
3
c
I
R




;
0
R
I
4
4
c



;
0
R
I
6
6
a



; После подстановок




A
08
,
0
110
/
)
14
,
7
(
69
,
1
R
/
I
5
b
a
5








;

20




A
227
,
0
40
/
13
12
77
,
8
14
,
7
R
/
E
E
I
2
2
2
c
b
2













;




A
118
,
0
60
/
77
,
8
69
,
1
R
/
I
3
c
a
3








;
A
109
,
0
80
/
77
,
8
R
/
I
4
c
4




;
A
0375
,
0
45
/
69
,
1
R
/
I
6
a
6







; Для проверки результатов вычислений токов проверим баланс мощностей по зависимости (1.10):
j
k
i
m
j
j
i
i
R
I
I
E







1 При составлении уравнения баланса мощностей необходимо поменять направления токов в ветвях с отрицательными значениями, учитывать, что в тех ветвях цепи, где направление тока совпадает с направлением ЭДС, их произведение будет положительным, те. мощность генерируется. В ветвях, где направления ЭДС и тока противоположны, источник ЭДС следует рассматривать как потребитель энергии (например - аккумулятор, ив уравнение баланса он входит со знаком минус. Все сопротивления, независимо от направления протекающего через них тока, являются потребителями энергии
6
2
6
5
2
5
4
2
4
3
2
3
2
2
2
1
2
1
1
1
2
2
2
2
R
I
R
I
R
I
R
I
R
I
R
I
I
E
I
E
I
E


















(1.20) После подстановки значений параметров Разница составляет менее 4%, следовательно, расчѐты выполнены правильно. Сравнение результатов, полученных в результате использования двух методов приведено в таблице 1.4.

21 Таблица 1.4 – Сравнение результатов расчѐта
№ тока Значения токов, полученные с использованием метода контурных токов Значения токов, полученные с использованием метода узловых потенциалов Разница в вычислениях
1
I
0,147A А
0 2
I
0,227A А
0 3
I
-0,118A
-0,118 0
4
I
0,109A
0,109 0
5
I
0,08 0,08 0
6
I
-0,038
-0,0375 0,0005 Из таблицы видно, что значения токов практически одинаковые, следовательно, можно сделать вывод, что вычисления проведены, верно. Вычисления выполнялись с помощью вычислительной программы Эврика. Потенциальная диаграмма Выбираем для построения потенциальной диаграммы контур с наличием источника ЭДС – dabd. На рисунке а приведена схема контура, а на рисунке б – потенциальная диаграмма. Рисунок 1.16 – Потенциальная диаграмма
R
6
R
5
R
1
E
1
I
5
I
1
I
6
b
a
d
b
'
250 150 200 100 50 0
-U, B
5 10 5
U, B
R
5
=110 Ом
φ
a
= 1,69 B
R
6
=45 Ом
φ
b
= – 7,14 B
R
1
=130 Ом
φ
d
= 0
φ
d
= 0
φ
b'
=12 Ома б

22 СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Основная литература Данилов, И. А. Общая электротехника Текст / И. А. Данилов. - М. :
ЮРАЙТ, 2012. Электротехника и электроника Текст : учеб. пособие для вузов / В. В.
Кононенко и др ; ред. В. В. Кононенко. - е изд, испр. и доп. - Ростов н/Д : Феникс, 2007/2010 Жаворонков, МА. Электротехника и электроника Текст : учебник для вузов / МА. Жаворонков, А. В. Кузине изд, стер. - М. : ИЦ Академия, 2008/2010 4.
Гальперин, МВ. Электротехника и электроника Текст : учебник / МВ. Гальперин. - М. : ФОРУМ : ИНФРА-М, 2009.
5.
Григораш, О. В. Электротехника и электроника Текст : учебник для вузов / О. В. Григораш, ГА. Султанов, ДА. Нормов. - Ростов н/Д : Феникс ; Краснодар : Неоглори, 2008.
6.
Новожилов, ОП. Электротехника и электроника Текст : учебник / ОП. Новожилов. - М. : Гардарики, 2008/2012 Дополнительная литература
1.
Серебряков, АС. Электротехника и электроника. Лабораторный практикум на Electronics Workbench и Multisim Текст : учеб. пособие / АС. Серебряков. - М. : Высшая школа, 2009.
2.
Лачин, В.И. Электроника учеб. пособие В. И. Лачин, НС. Савелов- Ростов н/Д: Феникс, 2007.
3.
Лобзин, С. А. Электротехника. Лабораторный практикум Текст : учеб. пособие / С. А. Лобзин. - М. : ИЦ "Академия, 2010 Черных, ИВ. Моделирование электротехнических устройств в
MATLAB, SimPowerSystems и Simulink: ИВ. Черных- М ДМК Пресс,
2008.