МУ к КР Мех. часть ЭПС-Трофимович, Доронина-2011. Методические указания по выполнению курсовой работы Хабаровск 2011
 Скачать 1.11 Mb.
|
|
– символ >, сразу же после которого расположен мерцающий курсор. Пользователь вводит с клавиатуры команды и нажатием клавиши несколько операторов по одному на каждой строке и после нажатия клавиши 5.4. Область вывода Результаты выполнения операторов, введенных в области ввода, отображаются в области вывода. Для неграфического вывода Maple позволяет задать три формата в виде строковойзаписи, аналогичной формату ввода команд в нотации Maple, в виде символьнойзаписи, имитирующей запись формул в математической нотации, ив виде обычной математическойно- тации , использующейся при наборе математических формул в издательском деле. При выводе результата выполнения команды в принятой математической нотации возможны два варианта. В первом случае отображенный вывод нельзя редактировать, а во втором – можно. Это означает, что при выделении области вывода в первом случае выделяется все выражение целиком, а в случае редактируемого вывода можно выделить отдельные элементы выражения и произвести над ними определенные действия, например, скопировать путем перетаскивания мышью в строку ввода. 5.5. Основные объекты и команды Система аналитических вычислений Maple является интерактивной системой. В данном случае это означает, что пользователь вводит команду или оператор языка Maple в области ввода рабочего листа и, нажав клавишу то можно выполнить команду Edit > Execute > Worksheet для повторного вычисления всех команд рабочего листа. Каждый оператор или команда должны обязательно завершаться разделительным знаком. Таких в Maple два – точка с запятой (;) и двоеточие (:). Если предложение завершается точкой с запятой, то оно вычисляется, а в области вывода отображается результат. При использовании двоеточия в качестве разделителя команда выполняется, но результаты ее работы не отображаются в области вывода рабочего листа. Это удобно при программировании в Maple, когда нет необходимости в выводе каких-то промежуточных результатов, получаемых из операторов цикла, так как вывод этих результатов может занять много места на рабочем листе, и может потребоваться значительное количество времени на их отображение. Как ив любой интерактивной системе, в Maple реализован свой язык, с помощью которого происходит общение пользователя с системой. Базовыми понятиями являются объекты и переменные, из которых с помощью допустимых математических операций составляются выражения. Простейшими объектами, с которыми может работать Maple, являются числа, константы и строки. Эти объекты соответствуют литеральным (буквальным) константам разных типов данных в языках программирования. Числамогут быть целыми, обыкновенными дробями, радикалами, числами с плавающей точкой и комплексными. Первые три типа чисел позволяют выполнять точные вычисления, без округлений, разнообразных математических выражений, реализуя точную арифметику, что отличает все системы аналитических вычислений, в том числе и Maple, от систем, предлагающих численные решения математических задач, например, MathCad и Matlab. Числа с плавающей точкой являются приближенными, в которых число значащих цифр ограничено. Эти числа служат для приближения, или аппроксимации, точных чисел Maple. Комплексные числа могут быть как точными, если действительная и мнимая части представлены точными числами, таки приближенными, если при задании действительной и мнимой частей комплексного числа используются числа с плавающей точкой. Целые числа задаются в виде последовательности цифр от 0 до 9. Отрицательные числа задаются со знаком минус (–) перед числом, нули перед первой ненулевой цифрой являются незначащими и не влияют на величину целого числа. Maple может работать с целыми числами произвольной величины. Вычисления с целыми числами достаточно просты и реализуют четыре арифметических действия (сложение +, вычитание –, умножение, деление /) и вычисление факториала (!). Пример 1. Операции с целыми числами > 34+6; 40 > 8-11; -3 > 5*7; 35 > 55/5; 11 > 10!; 3628800 Обыкновенные дроби задаются с помощью операции деления двух целых чисел. Maple автоматически производит операцию сокращения дробей. Над обыкновенными дробями можно выполнять все основные арифметические операции. Пример 2. Задание обыкновенных дробей и выполнение действий над ними > 8/3; 3 8 > 5/4+6/7; 28 59 > 2+3/2; 2 7 > 4+16/4; 8 Иногда представление результата в виде обыкновенной дробине совсем удобно, и возникает задача преобразования ее в десятичную дробь. Решить поставленную проблему помогает команда evalf(), которая аппроксимирует обыкновенную дробь числами с плавающей точкой, используя десять значащих цифр в мантиссе их представления. Если точность по умолчанию недостаточна, то ее можно задать вторым параметром указанной функции. Пример 3. Преобразование обыкновенной дроби в десятичную > evalf(8/3); 2.666666667 > evalf(8/3, 3); 2.67 Радикалы задаются как результат возведения в дробную степень целых или дробных чисел, или вычисления из них же квадратного корня функцией sqrt() , или вычисления корня й степени с помощью функции число, n). В 29 Maple операция возведения в степень задается символом ^ или последовательностью из двух звездочек (**). При возведении в степень дробей их следует заключать в круглые скобки, как и дробный показатель степени. Приза- дании радикалов также производятся возможные упрощения, связанные с вынесением из-под знака радикала максимально возможной величины. Пример 4. Задание радикалов > 5^(2/3); 5 2/3 > sqrt(4/3); 3 3 2 > surd(25,4); Числа с плавающей точкой задаются в виде целой и дробной частей, разделенных десятичной точкой, с предшествующим знаком числа, например. Числа с плавающей точкой можно задавать, используя так называемую экспоненциальную форму записи, в которой сразу же после вещественного числа с плавающей точкой или обычного целого, называемого мантиссой, ставится символе или Е, после которого задается целое число со знаком (показатель степени. Такая форма записи вещественного числа означает, что мантиссу следует умножить на десять в степени числа, соответствующего показателю степени, чтобы получить значение числа, записанного в такой экспоненциальной форме. Например, е соответствует числу 23450.0. Таким образом, можно представлять очень большие по абсолютному значению числа (показатель степени положительное число) или очень маленькие (показатель степени отрицательное число. Из чисел можно составлять математические выражения с помощью арифметических операций. Символами арифметических операций в Maple являются символы, перечисленные в табл. 1. Таблица 1 Запись основныхарифметическихопераций Символ Операция + Сложение- Вычитание Умножение Деление или ** Возведение в степень ! Факториал (применим только к целым неотрицательным числам) Последовательность выполнения арифметических операций соответствует стандартным правилам старшинства операций в математике сначала производится возведение в степень, затем умножение и деление, а в конце – сложение и вычитание. Все действия выполняются слева направо. Операция вычисления факториала имеет наибольший приоритет. Для изменения последовательности арифметических операций следует использовать круглые скобки. Если в выражении все числа являются целыми, дробями или радикалами, то результат представляется также с использованием этих типов данных, но если в выражении присутствует число с плавающей точкой, то результатом вычисления такого "смешанного" выражения будет также число с плавающей точкой, если только в выражении не присутствует радикал. В этом случае радикал вычисляется точно, а коэффициент при нем – либо точно, либо в виде числа с плавающей точкой в зависимости от типа сомножителей. Пример 5. Вычисление смешанных арифметических выражений > 5^7*0.02; 1562.50 > 5^7+(1/10); 10 781251 > 2*4/5+ sqrt(7)+8/5+0.1+surd(5,7)*14/10; 1/7 5 5 7 7 0 3.30000000 + Maple всегда пытается произвести вычисления с абсолютной точностью. Если это не получается, тогда подключается арифметика с вещественными числами. Для мнимой единицы 1 - в Maple используется константа I. Задание комплексного числа не отличается от его обычного задания в математике. Maple умеет выполнять все арифметические действия над комплексными числами точно также, как он делает действия с целыми, дробями и с плавающей точкой. Пример 6. Арифметические операции с комплексными числами > (3/5+5* I )+(7+1/3* I ); I 3 16 5 38 + > (3/5+5* I )*(7+1/3* I ); I 5 176 15 38 + > (3/5+5* I )/(7+1.0/3* I ); .1194570136 + .7085972853 I Переменные, неизвестныеивыражения Первым шагом к освоению всех возможностей Maple является знакомство с переменными, в которых можно хранить вычисленные значения функций и символьных выражений, а также с неизвестными величинами, которые представляют обычные математические неизвестные, когда мы решаем задачу на листке бумаги, и используются для задания символьных выражений Maple. Каждая переменная Maple имеет имя, представляющее последовательность латинских символов, начинающихся с буквы, причем строчные и прописные буквы считаются различными (про такие системы говорят, что они чувствительны к регистру. Кроме букв, в именах переменных могут использоваться также цифры и знак подчеркивания, однако первым символом в имени должна быть буква. В именах переменных можно использовать и буквы национального алфавита, в частности русского, однако подобная практика не рекомендуется. Во-первых, она требует постоянного переключения клавиатуры с английского языка на русский и наоборот, а во-вторых, в математике все-таки используют латинский и греческий алфавиты. Можно задавать переменные с именами, содержащими пробелы, но для этого их следует заключать в обратные кавычки. Пример 7. Присвоение значения имени переменной Исходные данные для расчета Zn:=3; Амплитуда неровности рельса mj:=1550; Масса якоря тягового двигателя Момент инерции якоря Опорная база тягового двигателя := 3 mj := 1550 Ij := 70 L := 1.22 Выражение представляет собой комбинацию имен переменных, чисел и, возможно, других объектов Maple, соединенных знаками допустимых операций. Единственным предназначением выражения является его вычисление и получение некоего результата, который можно использовать в операторах языка Maple при дальнейших вычислениях. Если в выражении используется переменная, которой не присвоено никакого числового или строкового значения, то такая переменная рассматривается системой Maple как некая неизвестная величина, а выражение, содержащее неизвестные, называется символьным выражением. Именно для работы с такими выражениями, прежде всего, и разрабатывался Maple. Пример 8. Описание символьного выражения 32 > x^2+6*x+3; x 2 + 6x + 3 > sqrt(exp(cos(x*y))); ) xy Обратите внимание, Maple в области вывода действительно печатает неизвестные переменные как простые математические неизвестные, имена которых соответствуют именам переменных. Важной операцией в Maple, связанной с выражениями, является операция присваивания (:=). Она имеет следующий синтаксис переменная := выражение Здесь в левой части задается имя переменной, а в правой – любое выражение, которое может быть числовым, символьным или просто другой переменной. Смысл этого оператора в том, что переменной в левой части присваивается значение выражения, стоящего в правой части. Переменные позволяют хранить и обрабатывать разнообразные типы данных, с которыми работает Maple. По умолчанию переменная Maple имеет тип symbol, представляющий символьную переменную, значением которой является ее собственное имя. Поэтому простое объявление переменной m оператором т приведет к отображению в области вывода рабочего листа имени этой переменной. При присвоении переменной какого-нибудь значения, ее тип изменяется на тип присвоенного ей значения. Обычно в математических выражениях используются разнообразные математические функции. В Maple изначально определен большой набор стандартных математических функций, начиная от элементарных и заканчивая специальными функциями. В табл. 2 представлены основные математические функции и соответствующий им синтаксис Maple. Таблица 2 Основные математическиефункции Функция Синтаксис Maple Функция Синтаксис Maple e x exp(x) x sqrt(x) ln(x) ln(x) x abs(x) log 10 (x) log10(x) sgn(x) signum(x) log a (x) log[a](x) n! n! Тригонометрические функции сведены в табл. 3. Обратите внимание на несоответствие записи некоторых функций в русскоязычной математической литературе ив англоязычной, например функции тангенса угла. Значения параметров тригонометрических функций задаются в радианах. Таблица 3 Тригонометрические функции Функция Синтаксис Maple Функция Синтаксис Maple sin(x) sin(x) sec(x) sec(x) cos(x) cos(x) cosec(x) csc(x) tg(x) tan(x) ctg(x) cot(x) Справку обо всех имеющихся в Maple функциях можно получить, выполнив команду ?inifunction. 5.6. Команды преобразования выражений Технология работы в Maple заключается в том, что пользователь создает переменные, присваивает им символьные выражения и производит над ними некоторые действия в соответствии с алгоритмом решения поставленной задачи, используя стандартные функции или написанные собственные процедуры. Синтаксис вызова стандартной команды следующий команда (пар_1, пар 2, парили команда (пар_1, пар 2, пар Здесь команда – это имя вызываемой функции, а пар, пар, ... пар означают необходимые для выполнения команды параметры, которые могут быть переменными или даже выражениями, причем их тип должен соответствовать типу параметров используемой функции. Первая форма задания команды осуществляет отображение результатов ее выполнения в области вывода, тогда как при второй форме (с завершающим двоеточием) команда выполняется, но никакого вывода результатов не происходит. Система обозначений функций в Maple интуитивно проста, поэтому имя функции соответствует действию, которое она выполняет (следует учесть, что все имена заданы на английском языке. Например, функция с именем simplify() осуществляет некоторые упрощения над выражением, заданным в качестве ее параметра. Для некоторых команд существуют две формы активная и пассивная. В случае вызова активной формы команды она будет выполнена немедленно, ее имя начинается со строчной буквы. Пассивная форма команды не выполняется немедленно ядром Maple, а просто в области вывода отображает математическую запись того, что она может сделать. Ее имя начинается с прописной буквы. Если в операторе присваивания для некоторой переменной в правой части задана пассивная форма команды, то командой value() ее можно вычислить. Примерами команд с двумя формами являются команда дифференцирования (diff и Diff), интегрирования (int и Int) и др. Пример 9. Пассивная и активная формы команд 34 > q:=Int(cos(x)^3, x); пассивная форма команды cos(x) q 3 > q:=int(cos(x)^3, x); активная форма команды sin(x) 3 2 sin(x) cos(x) 3 1 q 2 + = > Int(cos(x)^3, x)=value(q); sin(x) 3 2 sin(x) cos(x) 3 1 dx cos(x) 2 Наиболее часто используемые при аналитических преобразованиях команды и функции Maple располагаются в его системном ядре. К таким командам относятся команды, выполняющие разнообразные преобразования выражений, решение уравнений и систем уравнений, дифференцирующие функции и т. д. В табл. 4 представлены команды, наиболее часто используемые при выполнении аналитических вычислений. Таблица 4 Основные команды, используемыепривычислениивыражений Команды Описание simplify() Упрощает разнообразные выражения expand() Раскрывает скобки в алгебраическом выражении normal() Сокращает алгебраические дроби combine() Приводит несколько членов в выражении, представленном суммой, произведением или степенями неизвестных, к одному члену eval() Служит для явного полного вычисления имени, заданного в качестве значения ее первого параметра Получить справочную информацию о параметрах нужной команды можно, поместив курсор на имени команды и нажав клавишу 5.7. Команды двумерной графики Системы аналитических вычислений привлекают исследователей не только своими возможностями реализации алгоритмов построения аналитических решений, но и развитой графикой, начиная от построения простейших двумерных кривых и заканчивая сложными трехмерными поверхностями. В любой момент пользователь может отобразить результаты своих вычислений в виде графических образов, которые, как известно, более информативны, чем скупые ряды цифр. Весть две доступные графические команды plot() и plot3d(), которые расположены в основной библиотеке. Первая предназначена для построения графиков функций одной переменной (двумерная графика с помощью второй можно строить трехмерные графические отображения поверхностей и пространственных кривых (пространственная графика. С помощью команды plot() можно построить график одной или нескольких функций одной вещественной переменной, заданных в явном или параметрическом виде, а также отобразить множество точек в декартовой или полярной системе координат. Синтаксис команды plot() следующий plot(f, h, v, опции здесь f – функция, график которой необходимо отобразить, h и v представляют соответственно диапазон изменения независимой переменной по горизонтальной оси графика и диапазон изменения значения функции вдоль вертикальной оси графика. Диапазон изменения независимой переменной h задается в виде x = a..b, где аи наименьшее и наибольшее значения изменения переменной, а x – имя независимой переменной. Если диапазон не задан, те. второй параметр представляет собой просто имя независимой переменной в функции, то по умолчанию принимается следующий интервал ее изменения. Этот параметр (с диапазоном или нет) обязательно должен присутствовать при задании графика командой plot (). Вертикальный диапазон v, задаваемый третьим параметром, ограничивает вывод графика определенной областью изменения функции. Он необязателен, как и опции, задающиеся в виде уравнений имя_опции = значение. При отсутствии явного задания опций их значения принимаются по умолчанию. Опции определяют вид отображаемого графика толщину, цвет и тип линии графика, тип осей координат, размещение надписей и т. д. и задаются в форме уравнений имя_опции = значение. Набор возможных опций во всех командах двумерного графического вывода, за некоторым исключением, одинаков. В табл. 5 представлены часто используемые опции двумерной графики и соответствующие им значения. Таблица 5 Опции двумернойграфики Команды Описание axesfont Задает шрифт для надписей под засечками вдоль осей координат. Значение этой опции аналогично значению опции font color Задает цвета кривых, отображаемых на график. В качестве значения этой опции может выступать одно из зарезервированных значений цвета в Maple: aquamarine, black, blue, navy, coral, cyan, brown, gold, green, gray, grey, khaki, magenta, maroon, orange, pink, plum, red, sienna, tan, turquoise, violet, wheat, white и yellow font Задает шрифт для вывода текста на рисунке. Значение опции задается в виде списка семейство, стиль, размер. Параметр семейство задает гарнитуру шрифта. Параметр стиль определяет стиль шрифта для гарнитуры. Последний параметр размер задает размер шрифта в пунктах Окончание табл. 5 36 Команды Описание labels Задание названий осей координат в виде списка [х,у]. Параметры x и у задаются в виде строки соответствуют отображаемым названиям горизонтальной и вертикальной осей. По умолчанию принимают значения имени независимой переменной и имени функции labelfont Задает параметры шрифта, которыми отображаются названия осей координат. Значение этой опции аналогично значению опции font legend Задает отображение легенды для нескольких кривых на одном графике в виде списка, в котором й строковый элемент соответствует й кривой графика linestyle Определяет тип линии графика. Значением этой опции является целое число n. При n=0 тип линии соответствует умалчиваемому типу для используемого устройства отображения (обычно сплошная линия, значение 1 соответствует сплошной линии, значение 2 – отображению линии точками, 3 – пунктиром и 4 – штрихпунктиром Title Определяет строку, которая выводится как заголовок рисунка. По умолчанию заголовок не выводится. В строке можно использовать специальные комбинации символов. Например, \n осуществляет перевод на новую строку, формируя тем самым многострочный заголовок titlefont Определяет шрифт для заголовка рисунка. Значение этой опции аналогично значению опции font thickness Задает толщину линии графика. Значение является целым числом и изменяется от 0 до 3, соответствуя изменению толщины линии от самой тонкой до самой жирной xtickmarks Задает число точек, не менее которого должно быть помечено на горизонтальной оси. Значение этой опции может быть целым числом или списком значений координат точек горизонтальной оси, которые должны быть помечены. Список может состоять из уравнений, левые части которых определяют координаты помечаемых точек, а правые задают в обратных кавычках отображаемый текст, например, [0=’0.’,0.5=’1/2’,1=’1.’] Работа с командой plot() не представляет никаких сложностей. Рассмотрим пример вывода нескольких функций на одном графике. Для вывода нескольких функций на одном графике необходимо в команде plot() задавать функции в виде множества или списка, а значение опции color в виде списка позволяет задать цвет для вывода графиков функций. Если опция color не задана, то Maple отображает функции в соответствии со списком цветов по умолчанию. |