Лекция 2 Определители. Лекция определители

• Название: Лекция определители
• Анкор: Лекция 2 Определители.doc
• Дата: 23.05.2018
• Размер: 291 Kb.
• Имя файла: Лекция 2 Определители.doc
• Тип: Лекция; #19578

Лекция 2. определители

1. 
   Определители второго порядка
   
2. 
   Определители третьего порядка
   
3. 
   Алгебраические дополнения и миноры
   
4. 
   Разложение определителя по строке или столбцу
   
5. 
   Свойства определителей
   
6. 
   Обратная матрица
   
7. 
   Свойства обратной матрицы
   

1. Определители второго порядка
Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы.

Определитель – это число, которое считается по определенным правилам. Порядок определителя – это порядок квадратной матрицы. Если для задания матриц использовались круглые скобки, то в теории определителей используют прямые скобки.

Каждой квадратной матрице поставим в соответствие некоторое число, которое будем называть определителем матрицы, и укажем правило его вычисления. Обозначения:

• 
  Дана матрица _. Определителем второго порядка называется число, вычисляемое по правилу:
  

.

Пример 1. .
2. Определители третьего порядка

• 
  Дана матрица . Определителем третьего порядка называется число, вычисляемое по правилу:
  

В каждом произведении нет чисел из одного столбца или одной строки.

Приведем схему для запоминания порядка получения слагаемых в определителе.



Произведение чисел на одной диагонали берется со знаком «+» (это главная диагональ матрицы), а на другой – с противоположным знаком.

Пример 2.



3. Алгебраические дополнения и миноры
Для вычисления определителей порядка больше третьего применяют другие способы вычисления.

• 
  Минором элемента определителя называется определитель , полученный из определителя вычеркиванием -ой строки и -го столбца, на пересечении которых стоит элемент .
  

Пример 3. Минор определителя есть .

• 
  Алгебраическим дополнением элемента определителя называется минор , умноженный на :
  

.

Полезно запомнить, что и .
Пример 4. В примере 3 алгебраическое дополнение

.
4. Разложение определителя по строке или столбцу
Вычисление определителя -го порядка можно свести к вычислению определителей порядка , используя следующие формулы.

1. 
   Разложение определителя по -й строке:
   

Это число равно сумме произведений элементов любой -й строки на их алгебраические дополнения.

Пример 5. Вычислить определитель третьего порядка разложением по первой строке.

Решение

2. 
   Разложение определителя по -му столбцу:
   

Это число равно сумме произведений элементов любого -го столбца на их алгебраические дополнения.

Независимо от способа разложения всегда получается один и тот же ответ.

5. Свойства определителей
1. При транспонировании квадратной матрицы ее определитель не меняется: .

Вывод. Свойства определителей, сформулированных для строк, справедливы и для столбцов.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный. Например, _.

3. Определитель равен нулю, если:

а) он имеет нулевую строку (столбец) ;

б) он имеет пропорциональные (одинаковые) строки (столбец) .

4. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя. Например, .

5. Определитель не изменяется, если к элементам какой-либо строки прибавить (вычесть) соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число.

Например, .

6. Если в определителе каждый элемент строки есть сумма двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей:

.

7. Определитель произведения двух квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц:

.

8. Определитель квадратной матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

.
6. Обратная матрица
Вместо операции деления матриц вводится понятие обратной матрицы.

• 
  Если при умножении квадратных матриц _и в любом порядке получается единичная матрица (_{), то матрица} называется обратной матрицей для квадратной матрицы , а _{матрица - обратная для матрицы .}
  

Обозначается обратная матрица _{, то есть .}

Очевидна аналогия с числами: для числа 2 число ½ есть обратное, так как . Именно поэтому матрица, обратная к А, обозначается _.
Теорема «Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы». Для того чтобы квадратная матрица имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы был не равен нулю.
Правило нахождения обратной матрицы

0) Смотрим, является ли матрица квадратной. Если нет, то обратной матрицы не существует; если квадратная, то переходим к пункту 1.

1) Вычисляем определитель матрицы : если он не равен нулю, то обратная матрица существует: _{; если равен нулю, то обратной матрицы нет.}

2) Для каждого элемента матрицы вычисляем его алгебраическое дополнение .

3) Составляем матрицу из алгебраических дополнений, которая затем транспонируем: _.

4) Каждый элемент матрицы делим на определитель : _{Получаем матрицу, обратную данной.}

7. Нахождение обратной матрицы для матриц второго порядка
Пример 6. Дана матрица . Найти обратную матрицу.

Решение.









Проверка. Убедимся, что найдена действительно обратная матрица. Найдем произведение матриц и .

8. Свойства обратной матрицы
1. ,

где А и В – невырожденные квадратные матрицы одинакового порядка.

2. .

3. .

4. .

Контрольные вопросы

1. 
   Что называется определителем второго порядка?
   
2. 
   Как вычислить определитель третьего порядка?
   
3. 
   Как вычислить определитель 3 порядка по правилу треугольников?
   
4. 
   Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя? Приведите примеры для определителей 2 и 3 порядков.
   
5. 
   Напишите разложения определителя третьего порядка по элементам произвольной строки и произвольного столбца.
   

6. 
   Сформулируйте основные свойства определителей.
   
7. 
   В каком случае определители равны нулю? Приведите примеры.
   
8. 
   Представьте определитель в виде суммы двух определителей.
   
9. 
   Заполните пропущенные места так, чтобы значения определителей были одинаковы: и .
   
10. 
    Запишите определитель третьего порядка треугольного вида. Как его вычислить?
    

11. 
    Какая матрица называется обратной для данной матрицы?
    
12. 
    Для любой ли квадратной матрицы существует обратная?
    
13. 
    Пусть . Будут ли матрицы и взаимно обратными?
    
14. 
    При каких значениях параметра существует матрица, обратная матрице ?
    
15. 
    Запишите формулу для нахождения обратных матриц 2 и 3 порядков.
    
16. 
    Сформулируйте правило нахождения обратной матрицы.