1401_Электр.-1. Методические указания по выполнению задач Задача 1
 Скачать 2.01 Mb.
|
|
Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ» ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Методические указания и контрольные работы по курсу «Инженерная графика» для студентов всех форм обучения всех специальностей Екатеринбург 2006 УДК 514.753.24(075.8) Составители: Л. В. Баранова, Е. Я. Жигалова, С. В. Лукинских ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ: методические указания и контрольные работы /Л. В. Баранова, Е. Я. Жигалова, С. В. Лукинских. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ – УПИ, 2006. 45 с. Методические указания содержат сведения по объему и последовательности решения задач взаимного пересечения поверхностей, варианты заданий, а также примеры выполнения работы. Указания предназначены для студентов всех специальностей всех форм обучения, изучающих курс «Инженерная графика». Библиогр.: 3 назв. Табл. 2. Рис. 9. Прил. 4. ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ», 2006 3 Оглавление Введение ....................................................................................................... 4 Оформление работы .................................................................................... 4 Методические указания по выполнению задач ........................................... 5 Задача №1 .................................................................................................... 5 Примеры использования метода секущих плоскостей ............................... 7 Задача №2 .................................................................................................. 13 Примеры использования метода вспомогательных сфер ....................... 14 Задача №3 .................................................................................................. 18 Примеры построения разверток поверхностей ........................................ 19 Список литературы ..................................................................................... 22 Приложение 2. Варианты заданий к задачам №2 и №3 ........................... 37 Приложение 3. Образец оформления задачи №1 .................................... 44 Приложение 4. Образец оформления задач №2 и №3 ............................ 45 4 Введение Целью данной работы является развитие навыков построения проекций поверхностей, линий их пере- сечения, а также разверток поверхностей. Работа состоит из 3 задач. Задача №1. Построить три проекции заданных поверхностей и проекции линий их взаимного пересечения, используя в качестве посредников вспомогательные секущие плоскости. Варианты заданий приведены в прил. 1. Задача №2. Построить одну (фронтальную) проекцию заданных пересекающихся поверхностей и линию их взаимного пересечения, используя в качестве посредников вспомогательные сферические по- верхности. Варианты заданий содержатся в прил. 2. Задача №3.Построить приближенную развертку поверхности, помеченной в задании к задаче №2 буквой «P». Оформление работы Задания оформляются в виде двух эпюров, каждый из которых выполняется карандашом в масштабе 1:1 на отдельном листе чертежной бумаги формата А3: Эпюр 1401 содержит задачу №1. Эпюр 1411 включает в себя задачи №2 и №3. Оформление эпюров должно быть выполнено в соответствии со стандартами ЕСКД: по ГОСТ 2.301 – 68 – форматы листов; по ГОСТ 2.303 – 68 – типы линий; по ГОСТ 2.304 – 81 – чертежный шрифт; по ГОСТ 2.307 – 68 – простановка размеров; по ГОСТ 2.104 – 68 – основная надпись, форма 1. Обозначение документов в основной надписи выполняется по типу: Например, обозначение эпюров для 24-го варианта: № варианта № задания ХХХХ. 000 000. ХХХ 5 1401. 000 000. 024 – эпюр №1. 1411. 000 000. 024 – эпюр №2. В прил. 3, 4 приведены образцы оформления эпюров. Методические указания по выполнению задач Задача №1 1. Вычертить фронтальную и горизонтальную проекции заданных поверхностей в соответствии с инди- видуальным заданием. 2. Используя проекционные связи, построить профильную проекцию поверхностей. 3. Основываясь на полученных в курсе начертательной геометрии теоретических знаниях, определить характер линий пересечения поверхностей, а также вид каждой проекции линий пересечения, которые требу- ется построить. Например: линия пересечения поверхностей многогранников с поверхностями вращения – плоская кривая; она мо- жет состоять из дуг окружностей, эллипсов, парабол, гипербол. Проекцией плоской кривой может быть как отрезок прямой, так и плоская кривая; линия пересечения двух соосных поверхностей вращения – окружность; если в 2 пересекающиеся поверхности вращения можно вписать общую для них сферу, то линия пере- сечения распадается на 2 плоские кривые (теорема Монжа); в общем случае две поверхности вращения пересекаются по пространственным кривым, проекции кото- рых – плоские кривые. 4. Выявить характерные точки, построить их недостающие проекции. К характерным точкам относятся: точки, расположенные на очерковых образующих поверхности вращения (в плоскости главного мериди- ана или в плоскости, перпендикулярной плоскости главного меридиана); 6 точки, расположенные на экваторе; точки, расположенные на ребрах многогранника; точки, проекции которых отделяют видимую часть проекции линии пересечения от невидимой части; точки, определяющие большую и малую оси эллипсов; высшие и низшие точки линии пересечения относительно плоскости π1, ближайшие и наиболее уда- ленные по отношению к наблюдателю, крайние слева и крайние справа на проекциях линии пересече- ния. 5. Построить промежуточные точки, принадлежащие линии пересечения поверхностей. Количество промежуточных точек определяется в зависимости от сложности формы проекции линии пе- ресечения. Малое количество точек не позволяет выявить характер кривой. Слишком большое количество точек также не улучшает вид проекции, так как неизбежные погрешности в определении точек искажают форму кривой. Например, если проекция линии пересечения – эллипс, то для ее построения требуется всего 8 точек (вместе с характерными точками). Построение промежуточных точек осуществляется следующим образом: поочередно проводят несколько вспомогательных секущих плоскостей-посредников. Плоскости выбирают так, чтобы линии пересечения той и другой поверхности плоскостью были простейшими – окружностями или отрезками прямых линий; строят линии пересечения каждой плоскости-посредника с заданными поверхностями; находят точки пересечения построенных линий. Эти точки – общие для пересекающихся поверх- ностей, следовательно, они лежат на линии их пересечения. 6. Определить видимость точек. Видимые точки соединить последовательно сплошной основной лини- ей с учетом характера кривой (для гладкой кривой, отличающейся от дуги окружности, используется лекало). Таким же образом соединить невидимые точки, используя невидимую (тонкую штриховую) линию. 7. Выполнить обводку проекций поверхностей с учетом видимости. 7 Примеры использования метода секущих плоскостей Пример 1. Построение проекций линии пересечения полусферы и цилиндра (рис. 1.) Линия пересечения в данном случае является биквадратной кривой (кривой Вивиани). Поскольку по отношению к фронтальной плоскости проекций поверхность цилиндра является проеци- рующей, то фронтальная проекция линии пересечения является окружностью и совпадет с очерком цилин- дра. Профильная проекция линии пересечения заданных полусферы и цилиндра будет представлять собой па- раболу с вершиной в точке 1, так как поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную профиль- ной плоскости проекций. На горизонтальной плоскости проекций должна получиться плоская кривая, имеющая 2 оси симметрии. Построение начнем с фронтальной плоскости проекций, так как фронтальная проекция поверхностей содержит проекцию линии их пересечения (окружность). 1. Выделим проекции характерных точек – 1 2 , 4 2 , 6 2 . В качестве промежуточных точек выберем произ- вольные точки, примерно равномерно расположенные между характерными точками – 2 2 , 3 2 , 5 2 2. Определим горизонтальную и профильную проекции характерных точек 1 и 6, исходя из того, что точ- ка 1 лежит на главном меридиане, а точка 6 – на экваторе полусферы. 3. Найдем недостающие проекции точки 4. Для этого проведем через эту точку вспомогательную горизонтальную плоскость β 3 (след β 3 π2 ). Плос- кость β 3 пересечет полусферу по окружности, построение которой показано на рис.1, а цилиндр – по двум крайним образующим (они совпадают с очерком цилиндра на плоскости π 1 ). Пересечение этих линий дает проекцию точки 4 1 Профильную проекцию точки 4 определим, проведя линию проекционной связи от фронтальной проек- ции точки, с одной стороны, а с другой – измерим расстояние по оси У между плоскостью главного меридиана и точкой 4 1 (отрезок b 2 на рис. 1) и отложим это расстояние по оси У на плоскости π 3 . В результате получим точку 4 3 8 4.Для определения проекций оставшихся выделенных точек следует для каждой из них повторять дей- ствия, описанные в пункте 3. 5. Определим видимость точек. На горизонтальной плоскости проекций будут видимы только точки, фронтальные проекции которых расположены выше плоскости β 3 (границей видимости будет являться точка 4). На профильной плоскости проекций все точки левой половины линии пересечения будут видимы. 6. Соединим плавной линией полученные проекции точек с учетом их видимости в последовательности, определенной на фронтальной проекции. Пример 2. Построение двух проекций линии пересечения цилиндра и конуса приведено на рис. 2. Как и в первом примере, фронтальная проекция линии пересечения совпадает с очерком цилиндра. По- этому построение начнем с выделения фронтальных проекций общих точек обеих поверхностей. Характерными являются следующие точки: 1 и 2, – принадлежащие плоскости главного меридиана конуса; 3 и 7 – соответственно самая высокая и самая низкая точки; 4 и 6, – лежащие в плоскости, перпендикулярной плоскости главного меридиана конуса, следователь- но, их фронтальные проекции будут располагаться на очерке конуса; 5 – самая правая точка. Горизонтальные проекции точек 1 и 2 определяются проведением линий проекционной связи. Остальные проекции точек строятся при помощи проведения через них вспомогательных горизонталь- ных плоскостей. Видимость точек на горизонтальной плоскости проекций определяет плоскость β 3 : все точки, фрон- тальные проекции которых лежат выше плоскости β 3, будут видимы, ниже – невидимы (граница видимости – точка 5). Пример 3. Построение трех проекций линии пересечения цилиндра и конуса (рис. 3). 9 Так как в данном случае горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с очерком цилиндра, вначале определяем горизонтальные проекции общих точек цилиндра и конуса. Выделим следующие харак- терные точки: 1, – принадлежащая экватору конуса; 5 – самая высокая точка; 3 и 3’, – лежащие в плоскости главного меридиана цилиндра, следовательно, их фронтальные проек- ции будут располагаться на очерке цилиндра. Точки 2, 2’, 4, 4’ – промежуточные, взятые произвольно. Проекции точки 1 определяем по проекционным связям. Остальные проекции находим следующим об- разом. 1. Через выделенные горизонтальные проекции точек последовательно проводим горизонтальные про- екции параллелей конуса, определяем радиус каждой параллели. Затем находим фронтальную проекцию каждой параллели. 2. Поскольку каждая параллель конуса лежит в соответствующей горизонтальной плоскости, строим фронтальные следы этих плоскостей и принимаем их за вспомогательные секущие плоскости. 3. В каждой вспомогательной плоскости, проведя линии проекционной связи, находим фронтальные проекции выделенных точек. 4. Находим профильные проекции точек, для чего измеряем расстояние вдоль оси У (т.е. по вертикали) от горизонтальной проекции каждой точки до горизонтальной оси конуса (Y 1 , Y 2 , Y 3 , Y 4 ). Затем на плоскости π 3 это расстояние откладываем от вертикальной оси конуса вправо в соответствующей секущей плоскости. 10 11 12 13 Задача №2 1. Вычертить заданную фронтальную проекцию поверхностей. 2. Определить характер кривой линии пересечения поверхностей. Так как обе заданные поверхности – по- верхности вращения, то линия их пересечения есть биквадратная пространственная кривая. В данном зада- нии обе поверхности вращения имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций. Поэтому фронтальная проекция линии их пересечения является кривой 2-го порядка. 3. Определить характерные точки, принадлежащие линии пересечения поверхностей. Вследствие условий, указанных в пункте 2, характерные точки будут совпадать с точками пересечения очерков поверхностей. 4. Построить промежуточные точки линии пересечения методом концентрических сфер-посредников. Ал- горитм построения следующий: задаем центр сфер-посредников. Как правило, это точка пересечения осей вращения поверхностей; определяем пределы изменения радиуса сферы-посредника: R min < R < R max R max равен расстоянию от заданного центра сфер до наиболее удаленной характерной точки. R min ра- вен радиусу сферы, вписанной в большую поверхность и пересекающей меньшую поверхность; строим сферу минимального радиуса. Линия её пересечения с каждой из заданных поверхностей есть окружность (в данном случае сфера касается большей поверхности и пересекает меньшую поверхность по окружности). В пересечении окружностей находим точки, общие для заданных поверхностей, а следова- тельно, принадлежащие линии пересечения этих поверхностей. Каждая из окружностей лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения соответствующей поверхно- сти. В силу того, что оси вращения обеих поверхностей параллельны плоскости π2, окружности проециру- ются на π2 в виде прямолинейных отрезков, что облегчает построение точек пересечения окружностей; проводим еще 2 – 3 сферы, радиус которых лежит в определенном выше диапазоне. При построении каждой сферы находим линии ее пересечения с заданными поверхностями, а затем точки пересечения линий; если сфера минимального радиуса одновременно оказалась вписанной в обе поверхности, то имеет место частный случай пересечения поверхностей, описываемый теоремой Монжа. При этом дальнейшее исполь- зование метода сфер теряет смысл. Проекция линии пересечения строится значительно проще: находятся точки пересечения очерков поверхностей и попарно соединяются прямыми линиями крест-накрест. 14 5. Полученные точки соединить плавной кривой линией. 6. Выполнить обводку проекции поверхностей с учетом видимости. Примеры использования метода вспомогательных сфер Пример 1. Построение проекции линии пересечения конуса и цилиндра приведено на рис. 4. Характерные точки – 1 и 2 совпадают с точками пересечения очерков поверхностей. Вначале вычертим вспомогательную сферу минимального радиуса с центром в точке О 2 . Радиус сферы опреде- лим построением точки ее касания с конусом (А 2 ) , для чего из центра сферы проведем перпендикуляр к образую- щей конуса. Построив линии пересечения сферы с обеими поверхностями, находим их общую точку 3. Затем строим сферу немного большего радиуса и находим общую точку 4. Проекции линий пересечения вспомогательных сфер с заданными поверхностями образуют 2 семейства параллельных прямых, перпендикулярных соответствующим проекциям осей вращения поверхностей. Пере- сечение прямой линии одного семейства с соответствующей прямой линией другого семейства и дает нам ис- комые проекции точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей. Пример 2. Построение проекции линии пересечения поверхностей тора и конуса (рис. 5). Построение проводится аналогично описанному в примере 1. Отличие заключается лишь в вычерчивании вспомогательной сферы минимального радиуса. Точка ка- сания поверхностей сферы и тора (А 2 ) лежит на линии, проходящей через центры дуг окружностей, являю- щихся образующими данных поверхностей. Пример 3. Построение проекции линии пересечения двух усеченных конусов (рис. 6). Построив сферу минимального радиуса, мы обнаружили, что поверхности обоих конусов описаны во- круг этой сферы. Такой случай описывается теоремой Монжа, согласно которой линия пересечения поверх- ностей распадается на 2 плоские кривые. Строим линии касания обоих конусов со сферой минимального ра- диуса и находим проекцию их общих точек (3 2 ). Затем соединяем отрезками прямых точки пересечения очер- ков конусов 1 2 и . 2 2 с точкой 3 2. Полученные отрезки прямых линий и есть проекция линии пересечения за- данных поверхностей. 15 16 17 18 Задача №3 1. Изобразить на свободном месте эпюра поверхность Р, ограниченную построенной линией пересече- ния (допускается дополнительные построения производить прямо на чертеже к задаче №2). 2. Для построения приближенной развертки поверхности Р следует аппроксимировать линейчатую (ци- линдрическую или коническую) поверхность гранной поверхностью (призматической или пирамидоидальной). Для учебной работы достаточно применить 12-гранную поверхность. 3. На свободном месте провести линию: вертикальную или горизонтальную прямую развернутого нормального сечения – для построения раз- вертки цилиндрической поверхности. Длину линии можно посчитать по формуле 2πR ( где R – радиус цилиндра) или первоначально взять произвольную длину; дугу окружности радиусом, равным длине образующей конуса L, – для построения развертки конической поверхности. Размер дуги можно также определить при помощи подсчета угла сектора по известной из стереометрии формуле: где R – радиус основания ко- нуса, L – длина его образующей, или вначале провести дугу радиусом L произвольной величины. 4. В зависимости от выбранного способа построения линии развертки, или разделить ее на 12 равных отрезков – в случае фиксированной величины линии, или на линии последовательно отложить 12 отрезков, равных ширине граней гранной поверхности. 5. Через каждый конец отрезка провести прямые линии: перпендикулярно к исходной линии – для построения развертки цилиндрической поверхности; к центру дуги – для построения развертки поверхности конуса. 6. На проведенных линиях отложить соответствующие длины каждого ребра гранной поверхности. При построении развертки цилиндрической поверхности длины ребер каждой можно измерять непо- средственно на поверхности цилиндра, аппроксимированного призмой, так как все они параллельны фрон- тальной плоскости проекций и, следовательно, проецируются на плоскость π2 в натуральную величину. Однако длины ребер пирамиды, аппроксимирующей коническую поверхность, за исключением боковых , 360 L R (1) 19 граней, не параллельны плоскости проекций. Поэтому необходимо определять их натуральную величину. Ис- пользуем метод вращения вокруг проецирующей прямой, в качестве которой возьмем ось вращения конуса. 7. Соединить плавной линией построенные точки (тип линии – сплошная основная). Провести ось симметрии развертки. Допустимо построить половину развертки. Обозначить развертку в соответствии с ГОСТ 2.109-68. Примеры построения разверток поверхностей Пример 1. Построение развертки цилиндрической поверхности представлено на рис. 7. Так как развертка состоит из 2 симметричных частей, построим половину развертки. Аппроксимируем поверхность цилиндра 12-гранной призмой. Построим проекции ребер призмы (точки 1, 2, 3, 4… – вершины ребер). Определим длину половины развертки по формуле πr, разделим на6 равных частей и отложим 6 от- резков на линии развернутого нормального сечения цилиндра (точки 1,2,3, 4). Через каждую полученную точку проведем линии, перпендикулярные линии развернутого нормального сечения и отложим на них длины соответ- ствующих ребер. Соединим плавной линией полученные точки. Пример 2. Построение развертки конической поверхности (рис. 8). Как и в примере 1, строим половину развертки. Аппроксимируем коническую по- верхность поверхностью 12-гранной пирамиды. Построим проекции ребер пира- миды (S 2 1 2, S 1 1 1 – проекции 1-го ребра; S 2 2 2, S 1 2 1 – проекции 2-го ребра и т.д.) Справа от проекций проведем дугу окружности радиусом, равным длине образующей (l). Для определения длины дуги развертки подсчитаем угол сектора по формуле (1). Разделим дугу на 12 равных частей. Рекомендуется использовать графический способ деления отрезка на основе принципа подобия (рис. 9). Каждую полученную точку (1,2,3…) соединим с центром дуги. На получен- ных ребрах пирамиды отложим их длины. Для определения длин ребер (кроме левого крайнего и правого крайнего ребер, фронтальные проекции которых равны их натуральной величине) используем метод вращения вокруг проецирующей прямой, в каче- стве которой возьмем ось вращения конуса. На рис. 8 показано определение натуральной величины ребра 2В. Рис. 9. Деление дуги окружности на 6 равных частей S 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 20 21 22 Список литературы 1. Гордон В. О., Семенцов-Огиевской М. А. Курс начертательной геометрии. М.: Высшая школа, 2000. 272 с. 2. Бубенников А. В. Начертательная геометрия. М.: Высшая школа, 1985. 288 с. 3. Фролов С. А. Начертательная геометрия. М.: Машиностроение, 1983. 240 с. 23 Приложение 1. Варианты заданий к задаче №1 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 Приложение 2. Варианты заданий к задачам №2 и №3 38 39 40 41 42 43 44 Приложение 3. Образец оформления задачи №1 45 Приложение 4. Образец оформления задач №2 и №3 46 ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Составители: Баранова Любовь Вениаминовна Жигалова Елена Яковлевна Лукинских Светлана Владимировна Редактор Т.Н. Газитарова ИД №06263 от 12.11.2001 г _______________________________________________________________________ Подписано в печать 30.06.2006 Формат 60х84 1/16 Бумага писчая Плоская печать Усл. печ. л. 2,62 Уч.-изд. л. 2,0 Тираж 100 Заказ Цена «С» _______________________________________________________________________ Редакционно – издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ – УПИ 620002, Екатеринбург, ул. Мира,19 |