5 ЛАБА_ЭХПм-1-22_Бережной Я.А.. Министерство высшего образования и науки российской федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
 Скачать 0.96 Mb.
|
Отчёт по лабораторной работе № 5 Математическое моделирование задачи теплопроводности стержня По дисциплине «Математические методы моделирование и прогнозирование» Вариант 3 Выполнил: Студент группы ЭХПм-1-22 Бережной Я.А. Проверил: профессор, доктор технических наук Гимадиев Р.Ш. Казань, 2022 Математическое моделирование задачи теплопроводности стержня В теоретической части лабораторной работы №4 уравнение теплопроводности, в классификации канонических форм уравнений в частных производных второго порядка, относится к уравнению параболического типа. 5.1. Уравнение теплопроводности для линейного элемента имеет вид  , (5.1) где  - плотность материала  ,  - теплоемкость единицы массы  ,  – коэффициент теплопроводности  , – плотность тепловых источников  , u – температура  ,  - время  ,  – лагранжева координата  .При  уравнение (1.1) принимает вид , (5.2) где  – коэффициент теплопроводности, а  .Рассмотрим (5.2) в безразмерном виде, для чего вводится следующие безразмерные параметры  ,  ,  , где  - длина пролета. Тогда уравнение (5.2) приобретает безразмерный вид  , или, если в этом выражении опустить нижние индексы, то запишется в виде  , (5.3) где  . 5.2. Уравнение теплопроводности в разностном представлении Уравнение (5.3) в разностном представлении по явной схеме имеет вид  , где  ,  ,  - шаг разбиения по лагранжевой координате,  – число разбиений пролета, , где  – шаг интегрирования по времени,  – число разбиений временного интервала. Отсюда . (5.4) Устойчивость схемы в сеточной норме для шага интегрирования требует выполнения условия  . (5.5) 5.3 Аппроксимация граничных условий Аппроксимацию граничных условий можно проводить двумя способами. Вариант 1. Для аппроксимации граничных условий воспользуемся квадратичным полиномом Лагранжа по трем точкам отрезка. Для первых производных по времени на концах отрезка имеем  , .Первые производные на границе аппроксимируются со вторым порядком точности. А для вторых производных по координате на границе имеем   .Вторые производные на границе аппроксимируются с первым порядком точности. Тогда для границ на шаге интегрирования  имеем ,  . (5.6) Вариант 2. Для границ воспользуемся линейной аппроксимацией  , .Тогда имеем  , . (5.7) Для выбора варианта аппроксимации проводятся тестовые расчеты по обоим вариантам. Результаты тестовых расчетов приводятся ниже. 5.4 Пример расчета теплопроводности стержня Для расчетов примем следующие исходные данные: начальная длина провода  ; коэффициент линейного расширения алюминиевого провода составляет  [2] ; модуль упругости   - провода марки ЗАЛП [1]; диаметр провода  ; плотность материала провода  ; теплоемкость единицы массы  ; коэффициент теплопроводности  ,  – плотность тепловых источников;  температура Кельвина. Количество дискретных элементов в разбиении длины провода для разностной схемы  . Задача 1. В начальном состоянии температура провода равна температуре окружающей среды (минус 5°C). Пусть теплоизолированный провод разделен на две части. Мгновенно левый пролет нагрет до 200°C (473,15  ), а правый имеет температуру окружающей среды (минус 5°C (267,15 )). Принимая 273,15 равной единице, то в безразмерном виде эти температуры составят  и 0,9817. Перераспределение температуры по длине и по времени происходит без потери тепла (теплоизолированный провод) и процесс продолжается до температуры выравнивания до теоретической (безразмерной) величины ,что соответствует  .Расчеты теплопроводности проводим по (5.3-5.7) при аппроксимации граничных условий по варианту 1 и варианту 2 и сравниваем с теоретическим значением, чтобы выбрать вариант аппроксимации, с которым будут в дальнейшем проводиться расчеты. По варианту 1 (аппроксимация граничных условий квадратичным полиномом Лагранжа) численный расчет дает температуру выравнивания  или 371,64243 (сравниваем  выравнивание температуры происходит примерно за 2,3 с.По варианту 2 (линейная аппроксимация граничных условий) расчет дает  или 370,6345 (сравниваем . Вариант 2 дает наилучшую сходимость с теоретическим значением.Таким образом, в дальнейших расчетах граничные условия будем аппроксимировать по линейному закону, по варианту 2. Задачу 1 (Пример) не решаем 5.5. Линейное тепловое расширение Пусть  - начальная длина провода при температуре  и  – конечная длина провода при температуре  , при этом  удлинение провода, а  = - – разность температуры. Коэффициент линейного расширения обозначим  . В соответствии законом линейного расширения имеем Тогда конечная длина равна  . Относительное температурное расширение составляет (5.8)Усилие, возникающее в проводе за счет температурного расширения составит  (5.9) Численные расчеты по выше принятым исходным данным дают: относительное температурное удлинение составляет  , усилие, возникающее в проводе за счет температурного удлинения соответственно  . Задача 2. Теперь рассмотрим следующую задачу: пусть 1/10 часть пролета имеет температуру 200°С и со временем не изменяется. Остальная часть пролета в начальный момент имеет температуру минус 5°С, и она за счет теплопроводности нагревается. Расчеты показывают, что температура выравнивается примерно через 4 секунды до температуры 200°С на всем пролете. И при этом температурное натяжение составляет  . Решение Задание на проведение расчетов по № списка журнала: Вариант 3 № – порядковый номер по журналу. № = 3 1/ (№+1) часть пролета имеет температуру 200°С и со временем в процессе вычисления изменяется. Остальная часть пролета в начальный момент имеет температуру минус 5°С, и она за счет теплопроводности нагревается. Определить температуру выравнивания стержня, время выравнивания температуры от начала и до конца процесса. В моем случаи: 1/ (3+1) Определить температурное натяжение в конце нагрева стержня. Результаты расчета (Пример) такие похожие графики должны получится   Дополнительная литература Гимадиев Р.Ш., Гимадиева Т.З. Математическое моделирование деформирования линии электропередачи с учетом теплопроводности // Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. 2011. № 9. С. 51-59. Кухлинг Х. Справочник по физике. Перевод с немецкого под редакцией Лейкина Е.М. Москва «МИР» 1983 г. 520 с. Дополнительный расчет (сказали по желанию, но, наверное, не надо) АЛГОРИТМ РАСЧЕТА (Программа на VISUAL FORTRAN-е) C MAIN(ut-temperatura) INCLUDE 'FGRAPH.FI' DIMENSION VX1(42),VX2(42),VX3(42) *,AM(42),E(42),TKN(42),DP(42),DP1(42),DP2(42),DP3(42), *csnas(42),csnbs(42),csngs(42) COMMON/X/X1(42),X2(42),X3(42),csna(42),csnb(42),csng(42) COMMON/T1/T1(42),SL(42),X1SL(42),X2SL(42),X3SL(42) common/C1/ OX,OY,OZ,N1,NK,N2,AL3 common/gr/ gCyn,gCyk,gCtn,gCtk,gtn,gtk common/teplo/ut(100),fij(100) c CHARACTER*1 ch c ch=' ' 3 FORMAT(2X,'AL1=',F5.1,2X, *'AL3=',F9.6,2X,'P=',F9.6,2X,'V0=',F5.1) 5 FORMAT(2X,'al=',F8.3,2X,'ro=',F12.3,2X, *'cm=',F8.4,2X,'akt=',F8.4,2X,'tau=',F16.8) open(1, file='result.txt') c входные параметры в размерном виде c temperatura Kelwina [K] tkel=273.15 c длина стержня al-[м] al=10. c плотность материала стержня (cuprum) ro-[кг/м**3] ro=8.9*10**3 c теплоемкость единицы массы cm-[kDж/(kГ*K) ] cm=0.385 c коэффициент теплопроводности akt-[Bт/(м*K) ] akt=384. c плотность тепловых источников fi0-[K/c] fi0=0.1 c kolichestvo razbien ster NC=50 c nomer pervogo uzla NC1=1 c nomer poslednego uzla NCP=NC+NC1 c shag integrirovania po koordinate asch=al/NC c shag integrirovania po vremeni akoift=0.5 tau=akoift*(asch**2)/2 WRITE(6,5) al,ro,cm,akt,tau WRITE(1,5) al,ro,cm,akt,tau c ПАРАМЕТРЫ В БЕЗРАЗМЕРНОМ ВИДЕ c безразмерная плотность тепловых источников fi0=(al**2)*fi0/(akt*cm*ro) c коэффициент температуропроводности aktb=akt/(cm*ro) c длина стержня al=al/al c kolichestvo razbien ster NC=50 c nomer pervogo uzla NC1=1 c nomer poslednego uzla NCP=NC+NC1 c shag integrirovania po koordinate asch=al/NC c shag integrirovania po vremeni tau=akoift*(asch**2)/2 pi=3.14159 hpi=asch*pi c nachal i konech nomera vremeni JN1=1 JNK=10000 c konechn temperatura nagreva sterg utk=30.0+tkel c nachal raspr temperat utc=-15.0+tkel utk=-10.0+tkel c parametr nagrew na konzax cter uttk=100.+tkel ut(NC1)=uttk ut(NCP)=uttk do 81 i=2,NC 81 ut(i)=tkel c raspredelenie teplow istochnikov afij=0.0 jt=JN1 c koeff pri (ut(i+1,j)+ut(i-1,j))-ak2 ak2=tau/(asch**2) c koeff pri ut(i,j)-ak1 ak1=1.-2.*ak2 WRITE(6,5) al,ro,cm,akt,tau WRITE(1,5) al,ro,cm,akt,tau jt=1 k=0 t=0. TP=0. NP=100 TSTOP=tau*10000 DTP=tau*NP 100 continue c nagrew na konzax cter wo wremeni c ut(1)=ut(1)+jt*uttk*tau c ut(NCP)=ut(NCP)+jt*uttk*tau c raspredelenie teplow istochnikov do 110 i=1,NCP 110 fij(i)=afij c raspredelenie tepla tauj=k*tau do 200 i=2,NC 200 ut(i)=ak1*ut(i)+ak2*(ut(i+1)+ut(i-1))+tau*fij(i) k=k+1 t=t+tau IF(t-TP)100,101,101 101 CONTINUE 230 WRITE(6,295) t WRITE(1,295) t 295 FORMAT(2X,'t=', F15.6) DO 301 i=1,11 ir1=i ir2=10+i ir3=20+i ir4=30+i ir5=40+i WRITE(6,302) ut(ir1),ut(ir2),ut(ir3),ut(ir4),ut(ir5) WRITE(1,302) ut(ir1),ut(ir2),ut(ir3),ut(ir4),ut(ir5) 302 FORMAT(2X,'ut1=', F9.1, 2X,'ut2=', F9.1, *10X,'ut3=', F9.1,2X,'ut4=', F9.1,2X,'ut5=', F9.1) 301 CONTINUE 401 continue TP=TP+DTP if(TP.gt.TSTOP)go to 1000 GO TO 100 1000 STOP end |
