Модальный анализ конструкций по результатам испытаний их составных частей

• Название: Модальный анализ конструкций по результатам испытаний их составных частей
• Анкор: modalnyy-analiz-konstruktsiy-po-rezultatam-ispytaniy-ih-sostavnyh-chastey
• Дата: 09.12.2022
• Размер: 0.78 Mb.
• Имя файла: modalnyy-analiz-konstruktsiy-po-rezultatam-ispytaniy-ih-sostavny.pdf
• Тип: Доклад; #836296

ДОКЛАДЫ АН ВШ РФ
2014 январь–март
№ 1 (22)
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
© 2014 В.А. Бернс, А.В. Долгополов, Д.А. Маринин
УДК 629.7.018.4:620.178.3
МОДАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ
ИСПЫТАНИЙ ИХ СОСТАВНЫХ ЧАСТЕЙ
В.А. Бернс
1
, А.В. Долгополов
1
, Д.А. Маринин
2
1
Новосибирский государственный технический университет
2
ОАО «Информационные спутниковые системы» им. акад. М.Ф. Решетнева»
Методология определения динамических характеристик конструкций по результатам резонансных испытаний их составных частей заключается в проведении испытаний под- конструкций, построении математических моделей подконструкций по результатам испы- таний, построении полной математической модели всей конструкции на основании синтеза моделей подконструкций, определении динамических характеристик всей конструкции по полной математической модели. Неизвестными параметрами математических моделей являются матрицы инерции, жесткости и демпфирования.
Первоначально математические модели подконструкций строятся в главной системе координат по результатам экспериментального модального анализа: собственным часто- там, формам, обобщенным массам и характеристикам демпфирования собственных тонов колебаний. Затем эти модели переводятся в физическую систему координат, для чего ис- пользуются такие их свойства, как симметрия и положительная определенность матриц инерции и жесткости, ортогональность форм собственных колебаний, положительная определенность матрицы демпфирования.
Процедура составления матриц инерции и жесткости полной конструкции аналогична алгоритму формирования глобальных матриц в методе суперэлементов. После построения матриц инерции и жесткости полной конструкции ее собственные частоты и формы соб- ственных тонов колебаний определяются из решения задачи о собственных значениях.
Матрица демпфирования полной конструкции строится так же, как и матрицы инерции и жесткости, но обобщенные коэффициенты демпфирования собственных тонов колебаний определяются после решения задачи о собственных значениях.
Ключевые слова: составные конструкции, подконструкция, математическая модель, мо- дальный анализ, динамические характеристики.
Введение
Результаты модального анализа: собственные частоты и формы, обобщенные массы и декременты собственных тонов колебаний являются исходными данными при решении широкого круга задач динамики механических систем. Настоящая работа посвящена разработке методологии определения характеристик собствен- ных тонов конструкций, представляющих собой совокупность отдельных состав- ных частей (подконструкций), по результатам динамических испытаний этих со- ставных частей. Примерами таких конструкций являются мосты [1] и ракеты – носители пакетных схем [2], а также крупногабаритные трансформируемые меха- нические системы космических аппаратов [3].
Целесообразность решения проблемы определения динамических характери- стик крупногабаритных трансформируемых конструкций по результатам испыта- ний их составных подконструкций объясняется двумя причинами. Первая причи- на заключается в том, что такие конструкции на время испытаний должны уста- навливаться на опоры. При этом обычно не удается реализовать условия закреп- ления объекта испытаний, соответствующие эксплуатационным, что может при- вести к большим погрешностям в оценках характеристик собственных тонов ко- лебаний. Второй причиной могут являться большие габариты и сложность кон- струкции в собранном виде. Экспериментальный модальный анализ такой кон- струкции сопряжен с серьезными трудностями [4].

МОДАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ…
35
Определение динамических характеристик конструкций по результатам испы- таний подконструкций предполагает проведение динамических испытаний под- конструкций, построение математических моделей подконструкций по результа- там испытаний, построение полной математической модели всей конструкции на основании синтеза моделей подконструкций, определение динамических характе- ристик всей конструкции по полной математической модели.
1. Построение математической модели подконструкций
Движение механической системы, из анализа которого строится ее математи- ческая модель, определяется действием внешних сил, сил инерции, упругих вос- станавливающих сил и сил демпфирования. Допустим, что восстанавливающие силы имеют потенциал, причем выражения этих сил через перемещения известны с точностью до численных значений некоторых параметров. К силам демпфиро- вания отнесем все силы, независимо от их природы, изменяющиеся в фазе со ско- ростью перемещений конструкции. Примем, что работа сил демпфирования на любых перемещениях положительна, т. е. в механической системе нет внутренних источников энергии, идущей на поддержание колебаний. Математическое выра- жение сил демпфирования через параметры движения считаем неизвестным. В экспериментальном модальном анализе используем гармоническое внешнее воз- действие.
Для расчета натурных конструкций строят обычно их дискретные математиче- ские модели, поэтому уравнения движения (математическая модель) механиче- ской системы принимаем в виде
 
 
sin cos
AZ R CZ
E
t
F
t
 

 


(1)
Здесь
 
Z N
– вектор перемещений точек конструкции;
 – частота внешнего воздействия;


A N N

и


C N N

– симметричные, положительно определен- ные матрицы кинетической и потенциальной энергии (инерции и жесткости);
 
R N – вектор сил демпфирования;
 
E N ,
 
F N – векторы синфазной и квад- ратурной составляющих сил возбуждения, приложенных в некоторых точках кон- струкции. Число степеней свободы дискретной модели
N определяется точно- стью, предъявляемой к расчету тех параметров колебаний, которые характеризу- ют исследуемое явление.
Представляя установившиеся вынужденные колебания в виде
 
 
sin cos
,
Z U
t
V
t

 

где
( )
U N и ( )
V N – векторы синфазной и квадратурной составляющих переме- щений точек конструкции по направлению действия внешних сил, преобразуем
(1):
2 2
;
AU HV CU
E
AV HU CV
F








(2)
Здесь


H N N

– положительно определенная матрица демпфирования.
Будем считать математическую модель адекватной реальной конструкции, ес- ли модель воспроизводит собственные частоты и собственные формы реальной системы в заданном диапазоне частот, сохраняет обобщенные массы собственных тонов колебаний, отражает свойства сил демпфирования.

В.А. Бернс, А.В. Долгополов, Д.А. Маринин
36
Задачу определения коэффициентов уравнений (2) по известным из испытаний величинам
 , U , V , E и F можно существенно упростить, если заранее назна- чить некоторые свойства матрицы демпфирования, такие как симметрия матрицы, характер зависимости ее элементов от частоты колебаний, возможность приведе- ния матриц демпфирования, инерции и жесткости к диагональному виду одним преобразованием координат. Но если описание инерционных и упругих сил осно- вывается на известных понятиях кинетической и потенциальной энергии, то для конкретизации диссипативных свойств реальных механических систем не всегда имеются теоретические основания. Кроме того, математическая модель конструк- ции может строиться по результатам испытаний ее динамически подобной модели, в которой демпфирование, как правило, не моделируется, а результаты расчетов по математической модели распространяются на натурную конструкцию.
С учетом вышесказанного представляется целесообразным независимое опре- деление упругомассовых характеристик и характеристик демпфирования. Для этой цели, а также для выявления свойств сил демпфирования в данной работе предлагается использовать свойства вынужденных монофазных колебаний [5].
Вынужденные гармонические колебания являются монофазными, если состав- ляющие колебаний удовлетворяют условию
,
U
V
 
(3) где
 –действительное число, равное котангенсу фазового сдвига между откли- ком системы и синфазной составляющей возбуждения.
В процессе испытаний подберем возбуждение таким образом, чтобы векторы отклика системы удовлетворяли условию (3) [5]. В этом случае уравнения (2) приводятся к виду



2 2
1
,
C
A V
E F
 
 
  
(4)


2 1
,
HV
E
F
 
  
(5) где первая группа уравнений (4) уже не содержит сил демпфирования и может быть использована для определения упругомассовых характеристик механиче- ской системы, а вторая группа (5) – для определения характеристик демпфирова- ния.
Неизвестными параметрами математической модели каждой подконструкции являются
2 3N
элементов матриц инерции, жесткости и демпфирования в физиче- ской системе координат. Сформулируем условия для определения этих парамет- ров, исходя из части априорной информации о свойствах системы и требований, предъявляемых областью применения модели.
Основываясь на допущении о симметрии матриц инерции и жесткости, т. е.
,
,
,
1, 2,..., ,
,
ij
ji
ij
ji
a
a
c
c
i j
N
i
j




(6) число неизвестных элементов в каждой из этих матриц можно снизить до
(
1) / 2
N N

. Свойство симметрии в совокупности с положительной определенно- стью матриц A и C допускает использование свойств ортогональности экспери- ментально найденных собственных векторов системы W:
0,
0,
,
1, 2,..., ,
,
i
j
i
j
W AW
W CW
i j
N
i
j






(7) что дает еще
(
1)
N N
 соотношений между элементами матриц A и C .

МОДАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ…
37
Таким образом, для вычисления элементов матриц инерции и жесткости необ- ходимы еще 2N условий, которыми должны быть условия сохранения в модели собственных частот и обобщенных масс собственных тонов реальной системы, т. е.
2
,
,
,
1, 2,..., .
i
i
i
i
i
i i
W AW
a
W CW
a p
i j
N





(8)
Величины обобщенных масс
i
a , собственных частот
i
p и собственные векто- ры
i
W системы подлежат определению по результатам испытаний.
Формулировка условий для определения
2
N
элементов матрицы демпфирова- ния на основе принятых допущений о ее свойствах на данном этапе не представ- ляется возможной.
Отметим, что при использовании такого алгоритма идентификации не появля- ется особенных или плохо обусловленных матриц обратной задачи динамики. Это объясняется тем, что число степеней свободы модели определяется числом найденных в результате резонансных испытаний собственных тонов колебаний системы в исследуемом диапазоне частот и ортогональностью собственных век- торов. Если какой-либо тон данного диапазона частот будет пропущен в испыта- ниях конструкции, то построенная таким образом математическая модель просто не будет содержать этого тона колебаний, характеристики же других тонов оста- нутся неизменными. Это позволяет, кроме того, проследить за влиянием отдель- ных тонов колебаний на исследуемое явление с помощью построения моделей с различным числом степеней свободы.
Для определения обобщенных масс, собственных частот и векторов, а также для конкретизации свойств матрицы демпфирования используем свойства вы- нужденных монофазных колебаний при монофазном и немонофазном внешнем воздействии [6, 7].
В зависимости от значения параметра
 монофазных колебаний при монофаз- ном возбуждении будем различать следующие случаи. а) При некоторых значениях ω в исследуемом диапазоне частот вынужденных колебаний по крайней мере один из параметров
 равен нулю. Такими частотами являются собственные частоты системы, а конфигурации монофазных колебаний совпадают с собственными векторами
,
1, 2,...,
i
W i
N

.
б) При ,
1, 2,...,
i
p i
N
 

существуют действительные значения
j
 ,
1, 2,..., ,
j
S S
N


, причем
L
из
S
монофазных колебаний совпадают, соответ- ственно, с
L
собственными колебаниями системы.
Обобщенные массы таких тонов определяются из (4) с учетом (8):



*2 2
2 2
,
1, 2, ..., ,
1
l l
l
l
l
l
l
V E
a
l
L
p
V




 
 
(9) где
*
l
V
– квадратурная составляющая вынужденных колебаний системы в точке нормирования
l
-го тона.
Умножим (5) для
,
,
l
l
l
V V E
E
  


слева на
m
W

,
1, 2,..., ,
m
N m l


и с учетом условия ортогональности (7) получим
0,
m
l
W HV


(10) т. е. такие L собственных тонов колебаний не имеют связей с другими тонами системы посредством демпфирования. В каждой из
L
строк и в каждом из
L
столбцов матрицы демпфирования в нормальных координатах имеется только по

В.А. Бернс, А.В. Долгополов, Д.А. Маринин
38
одному ненулевому диагональному элементу. При этом обобщенные силы демп- фирования тонов определяются выражением
l
l l
R
h g

Здесь
l
g
– обобщенная координата
l
-го тона, а для
l
h
из (5) и (10) следует


*2 2
1
l
l
l
l
l
V E
h
V


 
. (11)
Отметим, что обобщенный коэффициент демпфирования может зависеть от частоты вынужденных колебаний. в) При ,
1, 2,...,
i
p i
N
 

существуют действительные значения
j
 ,
1, 2,..., ,
j
S

S
N

, но монофазные колебания не совпадают с собственными.
В этом случае для определения обобщенных масс собственных колебаний, т. е. для выполнения условий (8), необходимо использовать немонофазное возбужде- ние. Относительно свойств демпфирования отметим существование связи между матрицами A ,
C
и
Н
:


2
,
1, 2,..., .
j
j
j
A C V
H V
j
S


 

(12)
Кроме того, при
S
N

из (5) следует


2 1 1
,
V HV V E





 

 (13) а в случае симметрии матрицы
2
[1/ (1
)]
V E

 
матрица демпфирования симмет- рична (здесь
V
– матрица, столбцами которой являются векторы
j
V
, столбцы матрицы
E
есть векторы
j
E
,
2
[1/ (1
)]
 
– диагональная матрица). Но из сим- метрии матрицы H следует условие ортогональности векторов
j
V , т. е. матрицы левой и правой частей равенства (13) диагональные. Таким образом, из диаго- нальности матрицы в правой части (13) следует симметрия матрицы демпфирова- ния. А это означает, что число неизвестных элементов матрицы снижается с
2
N
до
(
1) / 2
N N

, причем между ними существует связь
0,
,
1, 2,..., ,
j
j
V HV
i j
N
i
j




(14)
При использовании немонофазного возбуждения вынужденные монофазные колебания, совпадающие с собственными, реализуются на любой частоте колеба- ний. Обобщенные массы собственных тонов определяются аналогично (9):





2 2
2
*2
,
1,
2,..., ,
1
i
i i
i
i
i
i
i
V
E
F
a
i L
L
N
p
V




 

 
 
(15) а при
0
  (этот параметр остается произвольным при немонофазном возбужде- нии) выражение (15) примет вид известной формулы определения обобщенных масс введением квадратурной составляющей возбуждения [8]:


2 2
*2
i
i
i
i
i
V F
a
p V


 
(16)

МОДАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ…
39
Элементы матрицы демпфирования определяются из (5):
2
,
1, 2,..., ,
1
j
j j
j
j
E
F
HV
j
N
 


 
(17) а если исследуемый тон не связан с другими тонами, то обобщенный коэффици- ент демпфирования можно вычислить по формуле




2
*2 1
i
j
i i
i
i
i
V
E
F
h
V

 

 
(18) г) При ,
1, 2,...,
i
p i
N
 

не существуют действительные значения
 .
В этом случае для определения обобщенных масс и матрицы демпфирования используются, соответственно, формула (16) и уравнение (17).
Итак, совокупность уравнений (6)–(8) в сочетании с выражениями (9), (11),
(15), (18) и соотношениями (12)–(14) позволяет определить матрицы инерции, демпфирования и жесткости каждой подконструкции в физической системе коор- динат.
2. Построение математической модели и расчет модальных
характеристик полной конструкции
После того как для каждой подконструкции вычислены элементы матриц инерции и жесткости в физической системе координат, разрабатывается матема- тическая модель всей конструкции, которая по своей структуре должна соответ- ствовать реальной конструкции: каждая исследуемая подконструкция идентифи- цируются номером уровня и порядковым номером на этом уровне в соответствии с реальной моделью. Так, простейшая математическая модель подконструкции является объектом первого уровня, а модель всей конструкции – объектом по- следнего уровня [9].
Сборка подконструкций выполняется в несколько уровней. Под сборкой здесь понимается суммирование соответствующих коэффициентов матриц инерции A и жесткости C подконструкций, имеющих общие узловые точки.
Процедура составления матриц инерции и жесткости полной конструкции аналогична алгоритму формирования глобальных матриц в методе суперэлемен- тов, изложенному в [9]. На начальном этапе сборки подконструкции соединяются между собой в граничных узловых точках и образуют подструктуру, поэтому для описания процесса сборки достаточно установить соответствие между граничны- ми узловыми точками собираемых подконструкций. Информация о способе со- единения подконструкций между собой содержится в иерархии подконструкций: она в формализованном виде задается функциями инцидентности, удобными для представления ЭВМ. Функция инцидентности принимает только два значения:
0 и 1, т. е. если в собранной подструктуре узел совпадает с граничным узлом под- конструкции, то функция инцидентности равна 1, в противном случае равна 0.
Условия существования такой функции зависят от расположения граничных уз- лов и от соответствия между этими узлами и узлами собранной подструктуры.
При формировании полной математической модели смежные части границ объединяются в некоторую общую границу. При этом должны удовлетворяться следующие требования:
– каждой узловой точке внешней границы подконструкции соответствует внешняя граничная узловая точка смежной подконструкции;

В.А. Бернс, А.В. Долгополов, Д.А. Маринин
40
– каждой граничной точке одной подконструкции соответствует один и только один узел другой подконструкции, и в результате сборки соответствующие смеж- ные точки переводятся в одну общую точку.
Перечисленные требования определяют условия совместности топологической модели подструктуры и являются необходимыми и достаточными для существо- вания функции инцидентности. Совокупность значений этой функции для всех объектов, собираемых в одну подструктуру, образует матрицу инцидентности узловых точек, которая устанавливает соответствие между множеством гранич- ных узловых точек всех собираемых подконструкций и множеством узловых то- чек подструктуры.
Получив матрицы A и C подструктуры второго уровня, из них собирают подструктуры следующего – третьего уровня, и так далее по всем уровням, пока не будет построена модель, соответствующая полной конструкции.
После построения матриц инерции и жесткости полной конструкции ее соб- ственные частоты и формы собственных тонов колебаний определяются из реше- ния задачи о собственных значениях:


2 0.
C p A w


(19)
Матрица демпфирования H полной конструкции строится так же, как и мат- рицы инерции и жесткости, но обобщенные коэффициенты демпфирования соб- ственных тонов колебаний определяются после решения задачи о собственных значениях (19):
,
1, 2,..., .
i
i
i
h
w H w
i
N



В заключение необходимо отметить следующее важное обстоятельство: мето- дология модального анализа крупногабаритных конструкций по результатам ре- зонансных испытаний подконструкций построена таким образом, что, начиная с уровня построения математических моделей подконструкций и заканчивая опре- делением параметров собственных тонов колебаний полной конструкции, упругие и инерционные характеристики определяются независимо от характеристик демпфирования. Это позволяет исключить влияние некорректного описания демпфирования и переносить результаты исследований на физических моделях на натурные конструкции, поскольку демпфирование, как правило, не моделируется.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Колоколов Н.М., Вейнблат Б.М. Строительство мостов. – М.: Транспорт, 1981. –
504 с.
[2] Докучаев Л.В., Соболев О.В. Совершенствование методов исследований динамики ракеты-носителя пакетной конструкции с учетом ее симметрии // Космонавтика и ра-
кетостроение, – 2005. – № 2 (39). – С. 112–121.
[3] Лопатин А.В., Рутковская М.А. Обзор конструкций современных трансформируемых космических антенн (часть 1) // Вестник СибГАУ. – 2007. – № 2. – С. 51–57.
[4] Дружинин Э.И. Формирование динамических моделей космических конструкций по данным натурных испытаний // Вестник СибГАУ. – 2013. – № 2 (48). – С. 124–128.
[5] Кононенко В.О., Плахтиенко Н.П. Методы идентификации механических нелиней- ных колебательных систем. – Киев: Наукова думка, 1976. – 114 с.
[6] Бернс В.А. Построение расчетных моделей динамических систем по результатам ис- пытаний // Известия ТПУ. – 2011. – Т. 318. – № 2. – С. 15–20.
[7] Бернс В.А. Модальная идентификация динамических систем на основе монофазных колебаний // Научный вестник НГТУ. – 2010. – № 3 (40). – С. 99–109.

МОДАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ…
41
[8] Смыслов В.И. Некоторые вопросы методики многоточечного возбуждения при экспе- риментальном исследовании колебаний упругих конструкций // Ученые записки ЦАГИ
им. Н.Е. Жуковского. – 1972. – Т. 3. – № 5. – С. 110–118.
[9] Постнов В.А., Дмитриев С.А., Елтышев Б.К., Родионов А.А. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений / под общ. ред. В. А. Постнова. – Л.: Судостроение,
1979. – 288 с.
MODAL ANALYSIS OF STRUCTURES BASED ON THE TEST OF
THEIR COMPONENTS
Berns V.A.
1
, Dolgopolov A.V.
1
, Marinin D.A.
2 1
Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, Russia
2
Information Satellite Systems, JSC named after Academician M.F. Reshetnev,
Zheleznogorsk, Russia
The methodology of defining dynamic characteristics of structures by the results of the reso- nance test of their components consists of testing substructures, mathematical modeling of these substructures based on the test results, building a full mathematical model of the entire structure on the basis of the synthesis of substructure models, and defining dynamic characteristics of the entire structure using the full mathematical model. Unknown parameters of mathematical models are matrixes of inertia, stiffness matrixes and damping matrixes.
First, mathematical models of substructures are built in the main coordinate system by the re- sults of the experimental modal analysis, namely, eigenfrequencies, mode shapes, generalized masses and damping characteristics of oscillation eigentones. Then these models are transferred to the physical coordinate system. To do this such properties as symmetry and positive definiteness of inertia and stiffness matrixes, eigenmode orthogonality, and positive definiteness of a damping matrix are used.
The procedure of constructing inertia and stiffness matrixes for the entire structure is similar to the algorithm of global matrix formation in the superelement method. After the inertia and stiffness matrixes of the entire structure are built, its eigenfrequencies and oscillation eigenmodes are defined by solving the eigenvalue problem. The damping matrix of the entire structure is built similar to the inertia and stiffness matrixes, while the generalized damping coefficients of oscilla- tion eigenmodes are defined after solving the eigenvalue problem.
The proposed method of the large-size structure modal analysis based on the results of sub- structure resonance tests is constructed in such a way that after mathematical models of substruc- tures are built and oscillation eigentone parameters for the entire structure are determined, its elastic and inertial characteristics are defined independently of its damping characteristics.
Keywords: compound structures; substructure; mathematical model; modal analysis; dynamic characteristics.
REFERENCES
[1] Kolokolov N.M., Veynblat B.M. Stroitel'stvo mostov [Construction of bridges]. Moscow,
Transport Publ., 1981, 504 p.
[2] Dokuchaev L.V., Sobolev O.V. Sovershenstvovanie metodov issledovanij dinamiki rakety- nositelja paketnoj konstrukcii s uchetom ee simmetrii [Improvement of methods of studying the dynamics of carrier rocket package design taking into account its symmetry]. Kosmonavti-
ka i raketostroenie, 2005, no. 2, pp. 112–121.
[3] Lopatin A.V., Rutkovskaja M.A. Obzor konstrukcij sovremennyh transformiruemyh kos- micheskih antenn (chast' 1) [The review of modern flexible space antenna design (part 1)].
Vestnik Sibirskogo gosudarstvennogo ajerokosmicheskogo universiteta imeni akademika M.F.
Reshetneva, 2007, no. 2, pp. 51–57.
[4] Druzhinin Je.I. Formirovanie dinamicheskih modelej kosmicheskih konstrukcij po dannym naturnyh ispytanij [The dynamic models of space structures forming according to natural tests]. Vestnik Sibirskogo gosudarstvennogo ajerokosmicheskogo universiteta imeni akademi-
ka M.F. Reshetneva, 2013, no. 2, pp. 124–128.
[5] Kononenko V.O., Plahtienko N.P. Metody identifikacii mehanicheskih nelinejnyh kole-
batel'nyh sistem [The identification methods of the mechanical nonlinear oscillating system].
Kiev, Naukova dumka Publ., 1976, 114 p.

В.А. Бернс, А.В. Долгополов, Д.А. Маринин
42
[6] Berns V.A. Postroenie raschetnyh modelej dinamicheskih sistem po rezul'tatam ispytanij
[Building design models of dynamic systems by the test results]. Izvestija Tomskogo
politehnicheskogo universiteta, 2011, no. 2, pp. 15–20.
[7] Berns V.A. Modal'naja identifikacija dinamicheskih sistem na osnove monofaznyh kolebanij
[Modal identification of dynamic systems on the basis of monophase oscillations]. Nauchnyj
vestnik NSTU, 2010, no. 3, pp. 99–109.
[8] Smyslov V.I. Nekotorye voprosy metodiki mnogotochechnogo vozbuzhdenija pri jeksperi- mental'nom issledovanii kolebanij uprugih konstrukcij [Some issues of a multipoint excite- ment technique used in the experimental research on elastic structure oscillations]. Uchenye
zapiski CAGI imeni N.E. Zhukovskogo, 1972, vol. 3, no. 5, pp. 110–118.
[9] Postnov V.A., Dmitriev S.A., Eltyshev B.K., Rodionov A.A. Metod superjelementov v
raschetah inzhenernyh sooruzhenij [The superelement method for calculation of engineering structures]. Leningrad, Sudostroenie Publ., 1979, 288 p.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Бернс Владимир Андреевич – родился в 1952 году, д-р техн. наук, до- цент, профессор кафедры прочности летательных аппаратов Новосибир- ского государственного технического университета. Область научных интересов: динамика и прочность летательных аппаратов. Опубликовано
80 научных работ. (Адрес: 630073, Россия, Новосибирск, пр. Карла Марк- са, 20. Email: [e-mail])
Berns Vladimir Andreevich (b. 1952) – Doctor of science (Eng.), Assistant
Professor, Professor of Aircraft Strength Department of the Novosibirsk State
Technical University. His research interests are currently focused on the dynam- ics and strength of aircraft. He is author of 80 scientific papers. (Address: 20,
Karl Marx Av., Novosibirsk, 630073, Russia. Email: [e-mail])
Долгополов Антон Валерьевич – родился в 1985 году, окончил Новоси- бирский государственный технический университет (НГТУ), с 2011 года аспирант кафедры прочности летательных аппаратов НГТУ. Область научных интересов: динамика и прочность летательных аппаратов. (Адрес:
630073, Россия, Новосибирск, пр. Карла Маркса, 20. Email: [e-mail]).
Dolgopolov Anton Valerievich (b. 1985) – graduated from the Novosibirsk
State Technical University (NSTU), Post-graduate Student of Aircraft Strength department of the NSTU. Area of research: dynamics and strength of aircraft.
(Address: 20, Karl Marx Av., Novosibirsk, 630073, Russia. Email: [e-mail])
Маринин Дмитрий Александрович – родился в 1954 году, начальник отдела ОАО «Информационные спутниковые системы им. акад. М.Ф. Ре- шетнева». Область научных интересов: динамика и прочность летательных аппаратов. (Адрес: 662972, Россия, Железногорск, ул. Ленина, 52.Email: [e-mail]).
Marinin Dmitry Alexandrovich (b. 1954) – Head of Test Department in
Information Satellite Systems, JSC named after Academician M.F. Reshetnev.
His research interests are currently focused on the dynamics and strength of aircraft. (Address: 52, Lenin St., Zheleznogorsk, 662972, Russia. Email: [e-mail])

Статья поступила 20 февраля 2014 г.
Received 20 Feb. 2014

To Reference:
Berns V.A., Dolgopolov A.V., Marinin D.A.Modal'nyi analiz konstruktsii po rezul'tatam ispytanii ikh sostavnykh chastei [Modal analysis of structures based on the test of their compo- nents]. Doklady Akademii Nauk Vysshei Shkoly Rossiiskoi Federatsii [Reports of Russian Higher
Education Academy of Sciences], 2014, no. 1(22), pp. 34–42. (in Russ.).