МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ. Модели управления запасами основные понятия

• Название: Модели управления запасами основные понятия
• Анкор: МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ.docx
• Дата: 26.12.2017
• Размер: 207.62 Kb.
• Имя файла: МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ.docx
• Тип: Документы; #13064

6. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
6.1. Основные понятия

Правильное и своевременное определение оптимальной стратегии управления запасами, а также нормативного уровня запасов позволяет высвободить значительные оборотные средства, замороженные в виде запасов, что, в конечном счете, повышает эффективность используемых ресурсов.

Рассмотрим основные характеристики моделей управления запасами.

Спрос. Спрос на запасаемый продукт может быть детерминированным (в простейшем случае – постоянным во в времени) или случайным. Случайность спроса описывается либо случайным моментом спроса, либо случайным объемом спроса в детерминированные или случайные моменты времени.

Пополнение склада. Пополнение склада может осуществляться либо периодически через определенные интервалы времени, либо по мере исчерпания запасов, т.е. снижения их до некоторого уровня.

Объем заказа. При периодическом пополнении и случайном исчерпании запасов объем заказа может зависеть от того состояния, которое наблюдается в момент подачи заказа. Заказ подается на одну и ту же величину при достижении запасом заданного уровня – так называемой точки заказа.

Время доставки. В идеализированных моделях управления запасами предполагается, что заказанное пополнение доставляется на склад мгновенно. В других моделях рассматривается задержка поставок на фиксированный или случайный интервал времени.

Стоимость поставки. Как правило, предполагается, что стоимость каждой поставки слагается из двух компонент – разовых затрат, не зависящих от объема заказываемой партии, и затрат, зависящих (чаще всего – линейно) от объема партии.

Издержки хранения. В большинстве моделей управления запасами объем склада считается практически неограниченным, а в качестве контролирующей величины служит объем хранимых запасов. При этом полагается, что за хранение каждой денежной единицы запаса в единицу времени взимается определенная плата.

Штраф за дефицит. Любой склад создается для того, чтобы предотвратить дефицит определенного типа изделий в обслуживаемой системе. Отсутствие запаса в нужный момент приводит к убыткам, связанным с простоем оборудования, неритмичностью производства и т.п. Эти убытки называются штрафом за дефицит.

Номенклатура запаса. В простейших случаях предполагается, что на складе хранится запас однотипных изделий или однородного продукта. В более сложных случаях рассматривается многономенклатурный запас.

Структура складской системы. Наиболее полно разработаны математические модели одиночного склада. Однако на практике встречаются и более сложные структуры: иерархические системы складов с различными периодами пополнения и временем доставки заказов, с возможностью обмена запасами между складами одного уровня иерархии и т.п.

В качестве критерия эффективности принятой стратегии управления запасами выступает функция затрат (издержек), представляющая суммарные затраты на хранение и поставку запасаемого продукта (в том числе потери от порчи продукта при хранении и его морального старения, потери прибыли от омертвления капитала и т.п.) и затраты на штрафы.

Управление запасами состоит в отыскании такой стратегии пополнения и расхода запасами, при котором функция затрат принимает минимальное значение.

Рассмотрим простейшую модель управления запасами.

Пусть функции выражают соответственно пополнение запасов, их расход и спрос на запасаемый продукт за промежуток времени . В моделях управления запасами обычно используются производные этих функций по времени , называемые соответственно интенсивностями пополнения, расхода и спроса.

Если функции – не случайные величины, то модель управления запасами считается детерминированной, если хотя бы одна из них носит случайный характер – стохастической. Если все параметры модели не меняются во времени, она называется статической, в противном случае – динамической. Статические модели используются, когда принимается разовое решение об уровне запасов на определенный период, а динамические – в случае принятия последовательных решений об уровнях запаса или корректировке ранее принятых решений с учетом происходящих изменений.

Уровень запаса в момент определяется основным уравнением запасов

, (6.1)

где начальный запас в момент .

Уравнение (6.1) чаще используется в интегральной форме:

. (6.2)
6.2. Статическая детерминированная модель без дефицита

Предположение о том, что дефицит не допускается, означает полное удовлетворение спроса на запасаемый продукт, т.е. совпадение функций и . Пусть общее потребление запасаемого продукта за рассматриваемый интервал времени продолжительности равно . Рассмотрим простейшую модель, в которой предполагается, что расходование запаса происходит непрерывно с постоянной интенсивностью, т.е. . Эту интенсивность можно найти, разделив общее потребление продукта на время, в течение которого он расходуется:

. (6.3)

Пополнение заказа происходит партиями одинакового объема, т.е. функция не является непрерывной: при всех , кроме моментов поставки продукта, когда , где объем партии. Так как интенсивность расхода равна , то вся партия будет использована за время

. (6.4)

Если отсчет времени начать с момента поступления первой партии, то уровень запаса в начальный момент равен объему этой партии , т.е. . Графически уровень запаса в зависимости от времени представлен на рис 6.1.



Рисунок 6.1 – Уровень запаса в зависимости от времени

На временном интервале уровень запаса уменьшается по прямой от значения до нуля. Так как дефицит не допускается, то в момент уровень запаса мгновенно пополняется до прежнего значения за счет поступления партии заказа. И так процесс изменения повторяется на каждом временном интервале продолжительностью (рис.6.1).

Задача управления запасами состоит в определении такого объема партии , при котором суммарные затраты на создание и хранение запаса были бы минимальными, т.е.

, (6.5)

где затраты на создание запаса,

затраты на хранение запаса.

Найдем величины за весь промежуток времени .

Пусть затраты на доставку одной партии продукта, не зависимые от объема партии, равны , а затраты на хранение одной единицы продукта в единицу времени - . Так как за время необходимо запастись единицами продукта, который доставляется партиями объема , то число таких партий равно:

.

Тогда затраты на создание запаса составят:

,

а затраты на хранение запаса

.

Таким образом, целевая функция (6.5) примет вид

.

Для этой задачи Уилсоном была найдена формула наиболее экономичного объема партии

. (6.6)

Минимум общих затрат задачи управления запасами достигается тогда, когда затраты на создание запаса равны затратам на хранение запаса. При этом минимальные суммарные затраты

.

Число оптимальных партий за время

.

Время расхода оптимальной партии равно

. (6.7)
6.3. Статическая детерминированная модель с дефицитом

В рассматриваемой модели будем полагать наличие дефицита. Это означает, что при отсутствии запасаемого продукта, т.е. при спрос сохраняется с той же интенсивностью , но потребление запаса отсутствует - , вследствие чего накапливается дефицит со скоростью . График изменения уровня запаса в этом случае представлен на рис. 6.2. Убывание графика ниже оси абсцисс в область отрицательных значений в отличие от графика на рис. 6.1 характеризует накопление дефицита.



Рисунок 6.2 – Изменение уровня запаса с учетом дефицита

Из рис. 6.2 видно, что каждый период «пилы» разбивается на два временных интервала, т.е. , где время, в течение которого производится потребление запаса, время, когда запас отсутствует и накапливается дефицит, который будет ликвидирован в момент поступления следующей партии.

Необходимость покрытия дефицита приводит к тому, что максимальный уровень запаса в момент поступления каждой партии теперь не равен объему партии , а меньше его на величину дефицита , накопившегося за время (рис. 6.2).

Легко установить, что

.

В данной модели в функцию суммарных затрат наряду с затратами (на пополнение запаса) и (на хранение запаса) необходимо ввести затраты штраф из-за дефицита, т.е

. (6.8)

Затраты , как и ранее, составляют величину

.

Затраты равны затратам на хранение среднего запаса

.

А затраты определяются следующим образом

,

где штраф за дефицит в единицу времени на каждую единицу продукта.

Таким образом, целевая функция (6.8) примет вид

. (6.9)

Рассматриваемая задача управления запасами сводится к отысканию такого объема партии и максимального уровня запаса , при которых функция (6.9) принимает минимальное значение.

В результате решения задачи можно получить формулы наиболее экономичного объема партии и максимального уровня запаса для модели с дефицитом:

, (6.10)

, (6.11)

где плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса и определяется по формуле

. (6.12)

Из сравнения формул (6.6) и (6.10) следует, что оптимальные объемы партий для задач с дефицитом и без дефицита при одинаковых параметрах связаны соотношением

, (6.13)

откуда вытекает, что оптимальный объем партии в задаче с дефицитом всегда больше (), чем в задаче без дефицита.

6.4. Стохастические модели управления запасами

Предположим, что спрос за интервал времени является случайным и задан его закон распределения или плотность вероятностей (обычно функции и оцениваются на основании опытных или статистических данных). Если спрос ниже уровня запаса , то приобретение (хранение, продажа) излишка продукта требует дополнительных затрат на единицу продукта; наоборот, если спрос выше уровня запаса , то это приводит к штрафу за дефицит на единицу продукции.

В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях случайной величиной, рассматривают ее среднее значение или математическое ожидание.

В рассматриваемой модели при дискретном случайном спросе , имеющем закон распределения , математическое ожидание суммарных затрат имеет вид:

. (6.14)

В выражении (6.14) первое слагаемое учитывает затраты на приобретение (хранение) излишка единиц продукта (при ), а второе слагаемое – штраф за дефицит на единиц продукта (при ).

В случае непрерывного случайного спроса, задаваемого плотностью вероятностей , выражение принимает вид:

. (6.15)

Задача управления запасами состоит в отыскании такого запаса , при котором математическое ожидание суммарных затрат (6.14) или (6.15) принимает минимальное значение.

Можно доказать, что при дискретном случайном спросе выражение (6.14) минимально при запасе , удовлетворяющем неравенствам

, (6.16)

а при непрерывном случайном спросе выражение (6.15) минимально при значении , определяемом из уравнения

, (6.17)

где



есть функция распределения спроса , и – ее значения; плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса, определяемая по формуле (6.12).
Лабораторная работа №10

Модели управления запасами

Задача 1.

Интенсивность поступления деталей на склад готовой продукции цеха составляет в начале смены 5 дет./мин, в течение первого часа линейно возрастает, достигая к концу его 10 дет./мин, и затем остается постоянной. Полагая, что поступление деталей на склад происходит непрерывно в течение всех семи часов смены, а вывоз деталей со склада производится только в конце работы, записать выражение для уровня запаса в произвольный момент времени и, используя его, найти количество деталей на складе: а) через 30 мин после начала работы; б) в конце смены.

Решение

По условию в течение смены не происходит выдачи деталей со склада, т.е. . Интенсивность пополнения запаса в течение первого часа линейно возрастает, т.е. . Учитывая, что , получаем . Так как в конце часа, т.е. при , то , откуда . Таким образом, для первого часа смены , а затем . Учитывая продолжительность смены (7 ч = 420 мин) и соотношение (6.2), получим:

если

,

если

.

Количество деталей на складе через 30 мин после начала работы: , а в конце смены: .
Задача 2.

Потребность сборочного предприятия в деталях некоторого типа составляет 120000 деталей в год, причем эти детали расходуются в процессе производства равномерно и непрерывно. Детали заказываются раз в год и поставляются партиями одинакового объема, указанного в заказе. Хранение детали на складе стоит 0,35 ден. ед. в сутки, а поставка партии – 10000 ден. ед. Задержка производства из-за отсутствия деталей недопустима. Определить наиболее экономичный объем партии и интервал между поставками, которые нужно указать в заказе.
Решение

По условию затраты на одну партию составляют ден. ед., затраты хранения единицы запаса в сутки ден. ед. Общий промежуток времени , а общий объем запаса за этот период деталей. По формуле (6.6) деталей, а по формуле (6.7) дней.

Задача 3.

Для условия задачи 2 найти наиболее экономичный объем партии и интервал между поставками, если известно, что отсутствие на сборке каждой детали приносит в сутки убытки в размере 3,5 ден. ед.
Решение

По условию . Ранее (при решении задачи 1) было получено, что и . По формуле (6.12) найдем плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса 0,909, т.е. 9,1% времени между поставками детали на сборке будут отсутствовать.

Теперь по формуле (6.13) определим оптимальный размер партии . В силу (6.7) пропорционально увеличению должен увеличится интервал между поставками, т.е. дней.
Задача 4.

Предприятие закупает агрегат с запасными блоками к нему. Стоимость одного блока равна 5 ден. ед. В случае выхода агрегата из строя из-за поломки блока, отсутствующего в запасе, простой агрегата и срочный заказ нового блока к нему обойдется в 100 ден. ед. Необходимо определить оптимальное число запасных блоков, которое следует приобрести вместе с агрегатом при условии непрерывного случайного спроса , распределенного по показательному закону с функцией распределения при .
Решение

Оптимальное число запасных блоков найдем из уравнения (6.17): , откуда и . Найдем плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса . Итак,

(блока).