МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Санкт-Петербургский государственный
электротехнический университет
«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)
Кафедра Физики
отчет
по лабораторной работе №15
по дисциплине «Физика»
Тема: Моделирование магнитного поля токов
Санкт-Петербург
2021
Цель работы.
Изучение магнитного поля системы проводников с использованием графической карты поля, полученной методом моделирования; расчет индуктивности системы проводников заданной конфигурации.
Основные теоретические положения.
Схема установки
В экспериментальной установке воспроизводится сечение электродов, формирующих один из возможных вариантов плоского поля. В качестве проводящей среды используется проводящая бумага 1. Четыре сопротивления – два между движком потенциометра R1 и его концевыми контактами и два между зондом 2 и электродами на бумаге – образуют мост постоянного тока. Когда ток в диагонали моста равен нулю, что фиксируется нуль-индикатором Р1 (гальванометр, вольтметр или микроамперметр с нулем в середине шкалы и т.п.), вольтметр PV1 измеряет падение напряжения на нижнем плече потенциометра R1 и равную ему разность потенциалов зонд-нижний электрод. С помощью пантографа координаты зонда переносятся на лист бумаги, закрепленный под вторым плечом пантографа. Если отмечать точки, соответствующие одному и тому же напряжению на движке резистора R1, а затем менять это напряжение с заданным шагом , то получится карта эквипотенциалей с шагом . Исследуемые закономерности
Электрическое и магнитное поля неразрывно связаны между собой, образуя электромагнитное поле. Так, электрический заряд, создающий электростатическое поле в системе отсчета (СО), относительно которой он покоится, создает магнитное поле в СО, относительно которой происходит движение заряда.
Р ассмотрим СО, равномерно движущуюся со скоростью V параллельно проводнику, заряженному с линейной плотностью заряда τ. Для наблюдателя, находящегося в этой СО, проводник движется со скоростью -V, создавая ток I = –τV (в СО наблюдателя) и магнитное поле, индукция которого равна B = –µµ0εε0V×E, где µ0 и ε0 – магнитная и электрическая постоянные; µ и ε – относительные магнитная и диэлектрическая проницаемости среды; Е – напряжённость электростатического поля, создаваемого зарядами, в СО, относительно которой они покоятся.
Вектор В направлен по касательной к эквипотенциальной линии исходного электростатического поля, а его модуль равен B = µµ0εε0 (d /dr). (1) Здесь учтена связь напряженности E и потенциала электрического поля: E = – grad = – (d /dr)r0, где r0 – единичный вектор (орт) в направлении, перпендикулярном к эквипотенциальной линии. Таким образом, получить графическое представление магнитного поля системы проводников с токами можно, но карте электростатического поля, создаваемого такими же заряженными проводниками.
Методика измерений
Примерный вид эквипотенциалей около одного из электродов моделируемой системы:
Чтобы полученную карту эквипотенциалей преобразовать в карту магнитного поля конкретных токов следует в выражении (1) задать в явном виде масштабный коэффициент k = εε0V. Для этого можно воспользоваться законом полного тока , где контур представляет собой замкнутую линию индукции, охватывающую проводник с током . Разбиение контура интегрирования на элементы позволяет представить интеграл суммой: . (2)
Если контуру карты магнитного поля сопоставляется ближайшая к электроду эквипотенциаль 1, то, согласно (1): εε0 , где – потенциал электрода.
Подставим в (2):
εε0 , (3)
Из этого соотношения и определяется масштабный коэффициент k = εε0V после разбиения контура на отрезки и определения суммы .
Разбиение контура целесообразно начинать от точки 0, лежащей на оси симметрии карты. Вдоль контура электрода влево откладывают отрезок, длина которого равна кратчайшему расстоянию , от точки 0 до соседней линии , и получают точку 01. Из точки 01 проводят плавную линию (практически прямую) до пересечения с линией так, чтобы она была перпендикулярна к эквипотенциали в точке 01 и к эквипотенциали в точке l1. Далее от точки 01 откладывают отрезок, равный расстоянию 01 – l1 и т. д. до точки 0′. Затем подобное построение проводят вправо от точки 0 до точки 0′.
В описанном варианте разбиения контура на отрезки (возможны и другие варианты) все отношения = 1 и = , где —число участков , получившихся на замкнутой линии. Тогда, согласно (3), k = 1/( ( (4)
Зная величину масштабного множителя k, индукцию в любой точке карты магнитного поля можно определить по формуле
, (5) где и – разность потенциалов и кратчайшее расстояние между ближайшими эквипотенциалями, соответственно, в окрестности рассматриваемой точки.
Графическая карта магнитного поля позволяет вычислить индуктивность моделируемой системы проводников. Индуктивность определяется как коэффициент пропорциональности между током и создаваемым им магнитным потоком .
(6)
Для приближённого расчета необходимо вычислить магнитный поток через поверхность между проводниками:
(Более строгий расчет должен учитывать магнитный поток внутри проводников.)
Приближенный расчет данного интеграла можно произвести, разбивая поверхность на элементарные площадки, длина которых равна , а ширина – расстоянию между соседними линиями индукции . Тогда .
Значит .
, В
| 0.5
|
| 38,8143
|
| 1
|
, Гн/м
| 0,0000012560
|
| 1
|
| 14
| Протокол измерений
«Моделирование магнитного поля токов»
х, см
| 25,56
| 25,71
| 26,24
| 26,98
| 27,83
| 28,64
| 25,71
| 26,27
| 27,14
| 28,01
| у, см
| 9,17
| 10,15
| 11,07
| 11,78
| 12,23
| 12,52
| 8,3
| 7,32
| 6,56
| 6,11
|
, В
| 1,01
| 1,01
| 1,01
| 1,02
| 1,01
| 1,01
| 1,01
| 1,01
| 1,02
| 1,02
| х, см
| 30,65
| 30,52
| 30,07
| 29,22
| 28,12
| 27,17
| 26,43
| 26,03
| 26,11
| 26,58
| у, см
| 9,01
| 9,91
| 10,62
| 11,18
| 11,33
| 11,04
| 10,46
| 9,64
| 8,61
| 7,82
|
, В
| 0,5
| 0,5
| 0,5
| 0,5
| 0,5
| 0,49
| 0,52
| 0,52
| 0,49
| 0,49
| х, см
| 27,67
| 29,17
| 30,04
| 23,79
| 23,92
| 24,39
| 25,19
| 25,85
| 24,13
| 25
| у, см
| 7,16
| 7,22
| 7,77
| 8,96
| 10,62
| 12,42
| 14,32
| 16,27
| 6,82
| 4,6
| , В
| 0,51
| 0,51
| 05
| 2,49
| 2,49
| 2,51
| 2,5
| 2,5
| 2,51
| 2,48
| х, см
| 25,87
| 5,7
| 5,57
| 4,83
| 5,41
| 4,83
| 3,8
| 2,96
| 2,03
| 1,43
| у, см
| 2,17
| 9,01
| 9,88
| 10,86
| 8,14
| 7,53
| 7,19
| 7,11
| 7,45
| 8,19
| , В
| 2,49
| 13,51
| 13,54
| 13,51
| 13,49
| 13,49
| 13,54
| 13,49
| 13,49
| 13,51
| х, см
| 1,11
| 1,21
| 1,93
| 2,9
| 3,96
| 6,15
| 6,1
| 5,7
| 4,94
| 3,96
| у, см
| 8,98
| 10,04
| 10,78
| 11,25
| 11,28
| 8,96
| 9,75
| 10,73
| 11,57
| 12,15
|
, В
| 13,5
| 13,49
| 13,52
| 13,51
| 13,49
| 12,99
| 13,01
| 13,01
| 13,01
| 13,01
| х, см
| 3,14
| 1,8
| 5,89
| 5,83
| 5,7
| 5,17
| 4,46
| 3,51
| 2,24
| 7,95
| у, см
| 12,44
| 12,63
| 8,27
| 8,27
| 7,72
| 7,19
| 6,53
| 6,08
| 5,79
| 9,14
|
, В
| 13,01
| 13,01
| 13,1
| 13,15
| 13,02
| 13,08
| 13,01
| 13
| 13
| 13
| х, см
| 7,81
| 7,42
| 6,65
| 5,97
| 7,87
| 7,39
| 6,65
| 5,97
| 21,38
| 21,44
| у, см
| 10,49
| 12,07
| 14,03
| 15,87
| 7,95
| 6,21
| 4,44
| 2,46
| 9,04
| 10,89
|
, В
| 12,52
| 11,51
| 11,51
| 11,51
| 11,49
| 11,5
| 11,51
| 11,5
| 4
| 4,01
| х, см
| 21,67
| 21,94
| 22,15
| 21,52
| 21,83
| 22,18
| 10,3
| 10,19
| 9,85
| 9,61
| у, см
| 12,87
| 15,03
| 16,85
| 6,85
| 4,26
| 1,01
| 9,01
| 11,78
| 14,5
| 16,43
|
, В
| 4
| 4,01
| 3,99
| 4
| 4
| 3,99
| 10,02
| 10
| 10
| 10,01
| х, см
| 10,16
| 9,85
| 9,61
| 19,62
| 19,64
| 19,77
| 19,93
| 19,69
| 19,88
| 12,12
| у, см
| 6,5
| 3,99
| 1,99
| 9,01
| 11,02
| 13,66
| 16,09
| 6,37
| 3,57
| 8,91
|
, В
| 10
| 10
| 10,01
| 5
| 5
| 5,01
| 5
| 5
| 5
| 9
| х, см
| 12,04
| 11,93
| 11,83
| 12,06
| 11,93
| 11,8
| 17,74
| 17,77
| 17,85
| 17,9
| у, см
| 6,82
| 4,97
| 3,07
| 11,15
| 13,5
| 15,64
| 9,01
| 11,44
| 14,21
| 16,96
|
, В
| 9,01
| 9
| 9
| 9
| 9
| 9
| 6
| 6,01
| 6
| 6
| х, см
| 17,79
| 17,85
| 17,9
| 13,94
| 13,94
| 13,86
| 13,83
| 13,97
| 13,89
| 13,83
| у, см
| 6,24
| 3,97
| 1,7
| 8,75
| 6,56
| 4,1
| 1,67
| 10,62
| 13,02
| 15,19
|
, В
| 6
| 6
| 6
| 8,02
| 8
| 8,01
| 8
| 8
| 8,01
| 8,01
| х, см
| 13,81
| 15,87
| 15,84
| 15,87
| 15,87
| 15,87
| 15,87
|
|
|
| у, см
| 16,8
| 8,75
| 10,54
| 12,63
| 15,45
| 6,34
| 2,89
|
|
|
|
, В
| 8,01
| 7
| 7,01
| 7
| 7
| 7
| 7
|
|
|
|
Обработка результатов
Вычислим масштабный коэффициент и векторы на ближайшей замкнутой линии индукции.
Расчет масштабного коэффициента и на ближайшей замкнутой линии индукции
|
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
| 10
| 11
| 12
|
, м
| 0,01375
| 0,01
| 0,015
| 0,0125
| 0,0875
| 0,01125
| 0,00875
| 0,01
| 0,00875
| 0,0125
| 0,01
| 0,0075
|
, м
| 0,0125
| 0,01125
| 0,00875
| 0,00625
| 0,00375
| 0,00375
| 0,00625
| 0,00625
| 0,00875
| 0,01125
| 0,01
| 0,01125
|
| 1,1000
| 0,8889
| 1,7143
| 2,0000
| 23,3333
| 3,0000
| 1,4000
| 1,6000
| 1,0000
| 1,1111
| 1,0000
| 0,6667
|
В
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0258
|
Рассчитаем вектор в точках пересечения линии симметрии карты поля с линиями индукции.
Расчет Вк в точках пересечения линии симметрии карты поля с линиями индукции
|
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
| 10
| 11
| 12
|
|
, м
| 0,00625
| 0,01875
| 0,025
| 0,01875
| 0,02
| 0,01875
| 0,02125
| 0,01875
| 0,01875
| 0,02375
| 0,01875
| 0,00625
|
|
, В
| 0,5
| 1,5
| 1,5
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1,5
| 1,5
| 0,5
|
|
,
| 80,0000
| 80,0000
| 60,0000
| 53,3333
| 50,0000
| 53,3333
| 47,0588
| 53,3333
| 53,3333
| 63,1579
| 80,0000
| 80,0000
|
|
,
В
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим погонную индуктивность моделируемой системы
Выведем теоретическое выражение для погонной индуктивности и рассчитаем ее значение, используя геометрические размеры конкретной модели.
; , где – расстояние между центрами электродов
– расстояние между электродом и эквипотенциалью
, согласно геометрическим размерам планшета:
,
Тогда Вывод: в результате лабораторной работы получила теоретическое значение погонной индуктивности равное , что примерно равно значению погонной индуктивности . |