эссе. Моделирование процесса проникновения электрического поля в полупроводник в среде
![]()
|
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина) Кафедра ФЭТ отчет по лабораторной работе № 1 по дисциплине «КТиМвЭл» Тема: Моделирование процесса проникновения электрического поля в полупроводник в среде MathCAD
Санкт-Петербург 2021 Цель работы. Исследовать распределения электрического поля и потенциала в глубине полупроводника при приложении к затвору постоянного потенциала в случае резкой границы обедненной области. Исследование выполнено с помощью аналитического метода и метода Рунге – Кутты. Основные теоретические положения. Полевым транзистором называется полупроводниковый прибор с тремя выводами: истоком, затвором и стоком. Ток, протекающий по проводящему каналу между истоком и стоком, управляется напряжением на затворе. В данной работе исследуются процессы проникновения электрического поля, создаваемого затвором, в глубину полупроводника, т. е. процессы образования обеднённой области, рис. 1. ![]() Рисунок 1. Структура полевого транзистора Шоттки В наиболее простом случае предполагается фантазийное отсутствие теплового размытия границы обеднённой области. Тогда уравнение Пуассона для электрического потенциала в обеднённой области примет вид:
где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для решения уравнения методом Рунге-Кутта необходимо ввести нормировку, а именно: потенциал (и всё, что измеряется в вольтах) соотнести с тепловым потенциалом, равным ![]() ![]() ![]() Тогда уравнение (1) примет вид (теперь и далее все величины нормированы):
Уравнение (2) может быть решено как аналитически, так и компьютерным моделированием методом Рунге-Кутта. ![]() Рисунок 2. Геометрия задачи Задача Коши для решения уравнения (1) состоит из условий для электрического потенциала электрического поля при ![]() ![]() Аналитическое решение уравнение (2) достигается путём двойного интегрирования. Имеем:
Решение задачи Коши: ![]() В итоге система уравнений (3) имеет вид:
Из уравнения для электрического потенциала в системе уравнений (3) глубина проникновения ![]() ![]()
Моделирование. Вариант 8. Дано: ![]() ![]() ![]() ![]() Тепловой потенциал: ![]() ![]() Нормирование ![]() ![]() Нормированная глубина проникновения, рассчитанная по формуле (5): ![]() Аналитическое решение. На рисунке 3 представлены графики для уравнений (4) электрического потенциала и электрического поля в нормированных величинах. ![]() Рисунок 3. Графики ![]() ![]() Решение методом Рунге-Кутта. Так как метод Рунге-Кутта может быть применим только к дифференциальным уравнениям первого порядка, то уравнение Пуассона (2) необходимо свести к системе уравнений:
где ![]() ![]() ![]() ![]() Функция MathCAD для применения метода Рунге-Кутта есть: ![]() ![]() ![]() ![]() Имеем: ![]() В таблице 1 приведена часть значений решения методом Рунге-Кутта. Столбец под номер «0» есть столбец нормированных значений координаты ![]() Таблица 1. Решение методом Рунге-Кутта. ![]() На рисунке 4 представлены графики решения системы (6), полученные методом Рунге-Кутта. ![]() Рисунок 4. Графики решения системы (6) Визуальное сравнение рисунков 3 и 4 показывает хорошее совпадение решений аналитическим методом и методом Рунге-Кутта. На рисунке 5 представлены графики с размерными величинами. ![]() Рисунок 3. Графики ![]() ![]() Выводы. В данной работе было проведено моделирование в среде MathCAD 14.0 процесса проникновения электрического поля в полупроводник при условии отсутствия теплового размытия границы. В этом случае уравнения Пуассона для электрического потенциала допускают аналитическое решение, с которым совпало решение полученное методом Рунге-Кутта, что видно при сравнении рисунков 3 и 4. |