Задачи множества. Можно сделать такую запись определения множества
![]()
|
Под множеством мы будем понимать такой набор, группу, коллекцию элементов, обладающих каким-либо общим для них всех свойством или признаком. Множества обозначим А, В, С…, а элементы множеств а, b, с…, используя латинский алфавит. Можно сделать такую запись определения множества: ![]() “ ![]() “=>“ – следовательно; “ø” – пустое множество, т.е. не содержащее ни одного элемента. Два множества будем называть равными, если они состоят из одних и тех же элементов Например: ![]() Если любой элемент из множества А принадлежит и множеству В, то говорят, что множество А включено в множество В, или множество А является подмножеством множества В, или А является частью В, т.е. если ![]() ![]() Графически это выглядит так (рис.1): ![]() (рис.1) Можно дать другое определение равных множеств. Два множества называются равными, если они являются взаимными подмножествами. ![]() Рассмотрим операции над множествами и их графическую иллюстрацию (рис.2). Объединением множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Слова “или ” ключевое в понимании элементов входящих в объединение множеств. Это определение можно записать с помощью обозначений: А υ В, где ![]() где “ υ ” – знак объединения, “ / ” – заменяет слова ”таких что“ ![]() (рис.2) Пресечение двух множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат и множеству А, и множеству В. Здесь уже ключевое слово “и”. Запишем коротко: А ∩ В = С, где ![]() “∩“ – знак пересечения. (рис.3) ![]() (рис.3) Обозначим буквой Е основное или универсальное множество, где ![]() ![]() ![]() ![]() Множество всех элементов универсального множества Е, не принадлежащих множеству А называется дополнением множества А до Е и обозначается ĀЕ или Ā (рис.4) ![]() (рис.4) Примерами для понимания этих понятий являются свойства: _ А ![]() _ А ∩ Ā= Ø Ē = Ø (Ā)=А Свойства дополнения имеют свойства двойственности: ________ _ _ А ![]() ________ _ _ А ![]() Введем еще одно понятие – это мощность множества. Для конечного множества А через m (A) обозначим число элементов в множестве А. Из определение следуют свойства: m (A) + m (Ā) = m (E) А = В => m(A) = m(B) Для любых конечных множеств справедливы так же утверждения: m (A ![]() m (A∩B) = m (A) + m (В) – m (А ![]() m (A ![]() ![]() А теперь рассмотрим ряд задач, которые удобно решать, используя графическую иллюстрацию. Задача №1 В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек. По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Сколько учащихся решили все задачи? Сколько учащихся решили только две задачи? Сколько учащихся решили только одну задачу? Задача № 2 Первую или вторую контрольные работы по математике успешно написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов. Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу? Задача № 3 В классе 35 учеников. Каждый из них пользуется хотя бы одним из видов городского транспорта: метро, автобусом и троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта пользуются 6 учеников, метро и автобусом – 15 учеников, метро и троллейбусом – 13 учеников, троллейбусом и автобусом – 9 учеников. Сколько учеников пользуются только одним видом транспорта? Решение задачи № 1 Запишем коротко условие и покажем решение: m (Е) = 40 m (А) = 20 m (В) = 18 m (С) = 18 m (А∩В) = 7 m (А∩С) = 8 m (В∩С) = 9 ___________ m (А ![]() ![]() ![]() ![]() Обозначим разбиение универсального множества Е множествами А, В, С (рис.5). ![]() (рис.5) К1 – множество учеников, решивших только одну задачу по алгебре; К2 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и геометрии; К3 – множество учеников, решивших только задачу по геометрии; К4 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и тригонометрии; К5 – множество всех учеников, решивших все три задачи; К6 – множество всех учеников, решивших только две задачи, по геометрии и тригонометрии; К7 – множество всех учеников, решивших только задачу по тригонометрии; К8 – множество всех учеников, не решивших ни одной задачи. Используя свойство мощности множеств и рисунок можно выполнить вычисления: m (К5) = m (А∩В∩С)= m (А ![]() ![]() m (К5) = 37-20-18-18+7+8+9=5 m (К2) = m (А∩В) - m (К5) = 7-5=2 m (К4) = m (А∩С) - m (К5) = 8-5=3 m (К6) = m (В∩С) - m (К5) = 9-5=4 m (К1) = m (А) - m (К2) - m (К4) - m (К5) = 20-2-3-5=10 m (К3) = m (В) - m (К2) - m (К6) - m (К5) = 18-2-4-5=7 m (К7) = m (С) - m (К4) - m (К6) - m (К5) = 18-3-4-5 =6 m (К2) + m (К4) + m (К6) = 2+3+4=9 – число учеников решивших только две задачи; m (К1) + m (К3) + m (К7) = 10+7+6=23 – число учеников решивших только одну задачу. Ответ: 5 учеников решили три задачи; 9 учеников решили только по две задачи; 23 ученика решили только по одной задаче. С помощью этого метода можно записать решения второй и третьей задачи так: Решение задачи № 2 m (А ![]() m (А ![]() m (В ![]() m (К2) + m (К4) + m (К6) + m (К5) = 20 Найти m (К1) + m (К3) + m (К7) m (АUВ) = m (К1) + m (К2) + m (К3) + m (К4) + m (К5) + m (К6) = m (К1) + m (К3) + 20 = 33 => m (К1) + m (К3) = 33 – 20 = 13 m (АUС) = m (К1) + m (К4) + m (К2) + m (К5) + m (К6) + m (К7) = m (К1) + m (К7) + 20 = 31 => m (К1) + m (К7) = 31 – 20 = 11 m (ВUС) = m (К3) + m (К2) + m (К5) + m (К6) + m (К7) + m (К4) = m (К3) + m (К7) + 20 = 32 => m (К3) + m (К7) = 32 – 20 = 12 2m (К1) + m (К3) + m (К7) = 13+11=24 2m (К1) + 12 = 24 ![]() m (К3)= 13-6=7 m (К7)=12-7=5 m (К1) + m (К3) + m (К7) = 6+7+5=18 Ответ: Только одну контрольную работу решили 18 учеников. Решение задачи № 3 m (Е) = 35 m (А∩В∩С)= m (К5) = 6 m (А∩В)= 15 m (А∩С)= 13 m (В∩С)= 9 Найти m (К1) + m (К3) + m (К7) m (К2) = m (А∩В) - m (К5) = 15-6=9 m (К4) = m (А∩С) - m (К5) = 13-6=7 m (К6) = m (В∩С) - m (К5) = 9-6=3 m (К1) + m (К3) + m (К7) = m (Е) - m (К4) - m (К2) - m (К6) - m (К5) = 35-7-9-3-6=10 Ответ: Только одним видом транспорта пользуется 10 учеников. |