Главная страница
Навигация по странице:

  • Разбор типовых вариантов заданий №13 ЕГЭ по математике базового уровня Вариант 13МБ1

  • 6.Вариант 13МБ4

  • Если бы нас спросили, а сколько вершин у нового “куба”. Очевидно, если вместо одной становится три, а их всего восемь, то получаем: 8 • 3 = 24

  • 13задания баз уровень решение. Наглядная стереометрия


    Скачать 161.69 Kb.
    НазваниеНаглядная стереометрия
    Дата14.06.2022
    Размер161.69 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файла13задания баз уровень решение.docx
    ТипЗадача
    #590890

    Задание №13 ЕГЭ по математике базового уровня

    Наглядная стереометрия

    В 13 задании ЕГЭ базового уровня мы будем иметь дело с задачами по стереометрии, но не абстрактными, а наглядными примерами. Это могут быть задачи на уровень жидкости в сосудах, которую я разобрал ниже, или же задачи на модификации фигуры – например, у которой отрезали вершины. Нужно быть готовым к решению простых задач по стереометрии – они обычно сводятся сразу к задачам на плоскости, необходимо только правильно посмотреть на чертеж.

    Разбор типовых вариантов заданий №13 ЕГЭ по математике базового уровня

    Вариант 13МБ1

    Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 80 см. На каком уровне окажется вода, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в 4 раза больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.



    Алгоритм выполнения:

    1. Записать формулу объема цилиндра.

    2. Подставить значения для цилиндра с жидкостью в первом и во втором случае.

    3. Объем жидкости не изменялся, следовательно, можно приравнять объемы.

    4. Полученное уравнение решить относительно второй высоты h2.

    5. Подставить данные и вычислить искомую величину.

    Решение:

    Запишем формулу объема цилиндра.

    Если вы забыли формулу объема цилиндра, то напомню, как ее можно легко вывести. Объем простых фигур, таких как куб и цилиндр, можно вычислить умножив площадь основания на высоту. Площадь основания в случае с цилиндром равна площади окружности, которую, вы, наверняка помните: π • r2.

    Следовательно, объем цилиндра равен π • r2 • h

    Подставим значения для цилиндра с жидкостью в первом и во втором случае. V= π r12 h1 V= π r22 h2 Объем жидкости не изменялся, следовательно, можно приравнять объемы.

    V= V2

    Левые части равны, значит можно приравнять и правые.

    π r12 h= π r22 h2

    Полученное уравнение решим относительно второй высоты h2.

    h2 – неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель.

    h=( π r12 h1)/ π r22

    По условию площадь основания стала в 4 раза больше, то есть r2 = 4 r1 . Подставим r2 = 4 rв выражение для h1. Получим: h=( π r12 h1)/ π (4 r12 Полученную дробь сократим на π, получим h=( r12 h1)/ 16 r12 Полученную дробь сократим на r1, получим h= h1/ 16. Подставим известные данные: h= 80/ 16 = 5 см. Ответ: 5.

    Вариант 13МБ2

    Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?



    Алгоритм выполнения:

    1. Записать формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.

    2. Записать в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.

    3. Найти отношение объемов.

    4. Преобразовать полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.

    5. Сократить получившуюся дробь.

    Решение:

    Запишем формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.

    V = a · b · c

    Запишем в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.

    V= a1 · b1 · c1

    V= a2 · b2 · c2

    Найдем отношение объемов.

    V/ V= (a1 · b1 · c1)/ ( a2 · b2 · c2)

    Преобразуем полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы. По условию c1 = 4,5 c(первая коробка в четыре с половиной раза выше второй), b2 = 3 b1 (вторая коробка втрое шире первой). Так как это правильные четырехугольные призмы, то в основании лежит квадрат, а значит глубина второй коробки тоже втрое больше глубины первой, то есть a2 = 3 a1 Подставим эти выражения в формулу отношения объемов:

    V/ V= (a1 · b1 · c1)/ ( a2 · b2 · c2) = (a1 · b1 · 4,5c2)/ ( 3a1 · 3b1 · c2) = (a1 · b1 · 4,5c2)/ ( 9a1 · b1 · c2)

    Сократим получившуюся дробь на a1 · b1 · c2. Получим:

    V/ V= (a1 · b1 · 4,5c2)/ ( 9a1 · b1 · c2) = 4,5/9 = ½.

    Объем первой коробочки в 2 раза меньше объема второй. Ответ: 2.

    Вариант 13МБ3

    Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в полтора раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?



    Алгоритм выполнения:

    1. Записать формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.

    2. Записать в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.

    3. Найти отношение объемов.

    4. Преобразовать полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.

    5. Сократить получившуюся дробь.

    Решение:

    Запишем формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.

    V = a · b · c

    Запишем в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.

    V1 = a1 · b1 · c1

    V= a2 · b2 · c2

    Найдем отношение объемов.

    V/ V= (a1 · b1 · c1)/ ( a2 · b2 · c2)

    Преобразуем полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.

    По условию c1 = 1,5 c(первая коробка в полтора раза выше второй), b2 = 3 b1 (вторая коробка втрое шире первой).

    Так как это правильные четырехугольные призмы, то в основании лежит квадрат, а значит глубина второй коробки тоже втрое больше глубины первой, то есть a2 = 3 a1

    Подставим эти выражения в формулу отношения объемов:

    V/ V= (a1 · b1 · c1)/ ( a2 · b2 · c2) = (a1 · b1 · 1,5c2)/ ( 3a1 · 3b1 · c2) = (a1 · b1 · 1,5c2)/ ( 9a1 · b1 · c2)

    Сократим получившуюся дробь на a1 · b1 · c2. Получим:

    V/ V= (a1 · b1 · 1,5c2)/ ( 9a1 · b1 · c2) = 1,5/9 = 15/(10 · 9) = 3/(2 · 9) = 1/ (2 · 3) = 1/6.

    Объем первой коробочки в 6 раза меньше объема второй. Ответ: 6.

    Вариант 13МБ4

    От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

    Сначала вспомним сколько всего граней и вершин у куба: шесть граней и восемь вершин. Теперь на месте каждой вершины образуется новая грань после отпила, значит у модифицированного в задании куба шесть родных граней и восемь новых (после отпила). Итого получаем: 6 + 8 = 14 граней.

    Ответ: 14.

    Если бы нас спросили, а сколько вершин у нового “куба”. Очевидно, если вместо одной становится три, а их всего восемь, то получаем: 8 • 3 = 24

    Вариант 13МБ5

    Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6, а второго – 6 и 4. Во сколько раз объем второго цилиндра больше объема первого?

    Алгоритм выполнения

    1. Записываем ф-лу для вычисления объема цилиндра.

    2. Вводим обозначения для радиуса основания и высоты 1-го цилиндра. Выражаем подобным образом аналогичные параметры 2-го цилиндра.

    3. Формируем формулы для объема 1-го и 2-го цилиндров.

    4. Вычисляем отношение объемов.

    Решение:

    Объем цилиндра равен: V=πR2H. Обозначим радиус основания 1-го цилиндра через R1, а его высоту – через Н1. Соответственно, радиус основания 2-го цилиндра обозначим через R2, а высоту – через Н2. Отсюда получим: V1=πR12H1, V2=πR22H2. Запишем искомое отношение объемов:

     .

    Подставляем в полученное отношение числовые данные:

    .

    Вывод: объем 2-го цилиндра больше объема 1-го в 6 раз.

    Вариант 13МБ6

    В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объем детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

    Алгоритм выполнения

    1. Вводим обозначения для объема до погружения детали и после. Пусть это будет соответственно V1 и V2.

    2. Фиксируем значение для V1. Выражаем V2 через V1. Находим значение V2.

    3. Переводим результат, полученный в литрах, в куб.см.

    Решение:

    Объем бака до погружения V1=5 (л). Т.к. после погружения детали объем стал равным V2. Согласно условию, увеличение составило 1,4 раза, поэтому V2=1,4V1. Отсюда получаем: V2=1,4·5=7 (л). Т.о., разница объемов, которая и составляет объем детали, равна:

    V2–V1=7–5=2 (л).

    2 л=2·1000=2000 (куб.см).

    Вариант 13МБ7

    Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h=80 см. На каком уровне окажется вода, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах.

    Алгоритм выполнения

    1. Записываем ф-лу для расчета объема цилиндра.

    2. На основании этой формулы записываем 2 уравнения – для вычисления объема воды в 1-м и 2-м сосудах. Для этого используем в формуле соответствующие индексы 1 и 2.

    3. Поскольку воду просто переливают их одного сосуда в другой, то ее объем не изменяется. Поэтому приравниваем полученные уравнения. Из полученного единственного уравнения находим уровень воды во 2-м сосуде, выраженный высотой h2.

    Решение:

    Объем цилиндра равен: V=Sоснh=πR2h. Объем воды в 1-м сосуде: V1=πR12h1. Объем во 2-м сосуде: V2=πR22h2. Приравниваем V1 и V2πR12h1=πR22h2. Сокращаем на π, выражаем h2:

     .

    По условию R2=2R1. Отсюда:

    .

    Вариант 13МБ8

    От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все ее вершины (см. рис.). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?



    Алгоритм выполнения

    1. Определяем количество вершин у треугольной призмы.

    2. Анализируем изменения, которые произойдут при отпиливании всех вершин. Подсчитываем кол-во вершин у нового многогранника.

    Решение:

    Вершины призмы формируют вершины оснований (верхнего и нижнего). Поскольку основаниями правильной треугольной призмы являются правильные треугольники, то вершин у такой призмы 3·2=6 штук.

    Спилив вершины призмы, получим вместо них небольшие (по сравнению с размерами самой призмы) треугольники. Это отображено и на рисунке. То есть вместо каждой вершины образуется 3 новых. Следовательно, их кол-во станет равным: 6·3=18.

    Вариант 13МБ9

    Даны две коробки, имеющие форму правильной четырехугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре с половиной раза ниже второй, а вторая второе уже первой. Во сколько раз объем первой коробки больше объема второй?



    Алгоритм выполнения

    1. Вводим обозначения для линейных параметров коробок и их объемов.

    2. Определяем зависимость линейных параметров согласно условию.

    3. Записываем формулу для вычисления объема призмы.

    4. Адаптируем эту формулу для объемов коробок.

    5. Находим отношение объемов.

    Решение:

    Т.к. форма коробок – правильная призма, то в их основании лежат квадраты. Поэтому можем обозначить длину и ширину каждой коробки одинаково. Пусть для первой коробки это а1, а для второй а2. Высоты коробок обозначим соответственно h1 и h2. Объемы – V1 и V2.

    Согласно условию, h2=4,5h1а1=3а2. Объем призмы равен: V=Sоснh. Т.к. в основании коробок лежит квадрат, то Sосн2. Отсюда: V=a2h. Для 1-й коробки имеем: V1=a12h1. Для 2-й коробки: V2=a22h2. Тогда получаем отношение: Ответ: 2

    Вариант 13МБ10

    В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ½ высоты. Объем сосуда 1600 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.



    Алгоритм выполнения

    1. Доказываем, что данные в условии конусы подобны.

    2. Определяем коэффициент подобия.

    3. Используя свойство для объемов подобных тел, находим объем жидкости.

    Решение:

    Если рассматривать сечение конуса по двум его противоположно расположенным образующим (осевое сечение), то видим, что полученные таким способом треугольники большого конуса и малого (образованного жидкостью) подобны. Это следует из равенства их углов. Т.е. имеем: у конусов подобны высоты и радиусы основания. Отсюда делаем вывод: т.к. линейные параметры конусов подобны, то и конусы подобны.

    По условию высота малого конуса (жидкости) составляет ½ высоты конуса. Значит, коэффициент подобия малого и большого конусов равен ½.

    Применяем св-во подобия тел, которое заключается в том, их объемы относятся как коэффициет подобия в кубе. Обозначим объем большого конуса V1, малого – V2. Получим:

    .

    Поскольку по условию V1=1600 мл, то V2=1600/8=200 мл.

    Вариант 13МБ11

    Даны два шара с радиусами 4 и 1. Во сколько раз объем большего шара больше объема меньшего?



    Алгоритм выполнения

    1. Записываем формулу для вычисления объема шара.

    2. Адаптируем формулу для каждого из шаров. Для этого используем индексы 1 и 2.

    3. Записываем отношение объемов, вычисляем его, подставив числовые данные из условия.

    Решение:

    Объем шара вычисляется по ф-ле:  . Отсюда объем 1-го (большего) шара равен  , 2-го (меньшего) шара –  . Составим отношение объемов:



    Подставляем в полученную формулу числовые данные из условия:



    Вывод: объем большего шара в 64 раза больше.

    Вариант 13МБ12

    Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 18, а второго – 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго?



    Алгоритм выполнения

    1. Записываем формулу для определения площади бок.поверхности цилиндра.

    2. Переписываем ее дважды с использованием соответствующих индексов – для 1-го (большего) и 2-го (меньшего) цилиндров.

    3. Находим отношение площадей. Вычисляем отношения, используя числовые данные из условия.

    Решение:

    Площадь бок.поверхности цилиндра вычисляется так: S=2πRH. Для 1-го цилиндра имеем: S1=2πR1H1. Для 2-го цилиндра: S2=2πR2H2. Составим отношение этих площадей:



    Найдем числовое значение полученного отношения:



    Вывод: площадь боковой поверхности 1-го цилиндра больше в 12 раз.

    Вариант 13МБ13

    Однородный шар диаметром 3 см весит 162 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?



    Алгоритм выполнения

    1. Записываем формулу для определения массы большего шаров через плотность и объем.

    2. Объем в этой формуле расписываем через ф-лу объема шара (через его радиус).

    3. Записываем ф-лу для массы меньшего шара, расписываем объем через радиус (по аналогии с пп.1 и 2).

    4. Поскольку оба шара изготовлены из одного и того же материала, то найденное значение для плотности можем использовать в ф-ле для массы меньшего шара. Вычисляем искомую массу.

    Решение:

    Масса большего (1-го) шара равна: m1=ρV1. Объем этого шара составляет V1=(4/3)πR13. Отсюда получаем: m1=(4/3)πρR13. Из этого уравнения выразим плотность:  . Масса меньшего (2-го) шара равна: m2V2. Объем шара: V2=(4/3)πR23. В ур-ние для m2 подставим выражения для ρ и V2. Получаем:

    Вычисляем m2:



    Вариант 13МБ14

    В бак, имеющий форму правильной четырехугольной призмы со стороной основания, равной 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объем детали сложной формы, ее полностью погружают в эту жидкость. Найдите объем детали, если после ее погружения уровень жидкости в баке поднялся на 10 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.



    Алгоритм выполнения

    1. Определяем часть призмы, соответствующую объему погруженной детали.

    2. Вычисляем объем детали на основании формулы для определения объема прямой призмы с квадратом в основании.

    Решение:

    Погруженная в жидкость деталь занимает объем, соответствующий столбу жидкости, высота которого равна 10 см, т.е. разнице, возникшей между начальной высотой жидкости и конечной (после погружения). Это означает, что деталь имеет объем, равный части жидкости, занимающей объем 40х40х10 (см).

    Найдем этот объем:

    V=40·40·10=16000 (см3).


    написать администратору сайта