Наибольшее и наименьшее значение функции наибольшее значение наибольшее значение наименьшее значение наименьшее значение
 Скачать 2.95 Mb.
|
|
Наибольшее и наименьшее значение функции наибольшее значение наибольшее значение наименьшее значение наименьшее значение a b a b Предположим, что функция f не имеет на отрезке [а; b] критических точек. Тогда она возрастает (рис. 1) или убывает (рис. 2) на этом отрезке. Значит, наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; b] — это значения в концах а и b. функция возрастает функция убывает наименьшее значение наибольшее значение наибольшее значение наименьшее значение наименьшее значение a b a b Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; b] конечное число критических точек. Наибольшее и наименьшее значения функция f может принимать в критических точках функции или в точках а и b. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее. Примеры c n c наибольшее значение Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4] 1. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 1) y(0) = 0 y(4) = 43– 27 4 = – 44 2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) x = 3 [0; 4] x = –3 [0; 4] y(3) = 33– 27 3 = –54 3 х 1 0 х В 11 - 5 4 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. 3 -3
Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4] 1) y / = 3x2 – 27 2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) 3 -3 x = 3 [0; 4] x = –3 [0; 4] y(4) = 43– 27 4 = – 44 y(3) = 33– 27 3 = –54 3 х 1 0 х В 11 - 5 4 3) y(0) = 0 Выполнение этапов решения можно изменить, как вам удобно. наибольшее значение наименьшее значение a b a b Предположим, что функция f имеет на отрезке [а; b] одну точку экстремума. Если это точка минимума, то в этой точке функция будет принимать наименьшее значение. Если это точка максимума, то в этой точке функция будет принимать наибольшее значение.
Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4] 1) y / = 3x2 – 27 2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) 3 -3 y(3) = 33– 27 3 = –54 3 х 1 0 х В 11 - 5 4 3) Другой способ решения + + – x y\ y -3 3 0 4 min Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка. Этот способ будет удобно вспомнить, когда вычисления значений функции в концах отрезка будет сложным. x = –1 [-2; 0] Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 1) y(0) = 4 y(-2) = (-2)3– 3 (-2) +4 = 2 2) y / = 3x2 – 3 = 3(x2 – 1) = 3(x – 1)(x + 1) x = 1 [-2; 0] y(-1) = (-1)3– 3 (-1) + 4 = 6 3 х 1 0 х В 11 6 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. 1 -1 Найдите наибольшее значение функции y = x3 – 3x + 4 на отрезке [– 2; 0] 2. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 1) y(1) = 1 – 2 + 1 + 3 = 3 y(4) = 43– 2 42 + 4 + 3 = 39 2) y / = 3x2 – 4x + 1= [1; 4] y(1) = 3 3 х 1 0 х В 11 3 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 2x2 + x +3 на отрезке [ 1; 4 ] 3. 3x2 – 4x + 1 = 0 D=16–4*3*1=4 x2= 4-2 6 = 3 1 [1; 4] 3 1 3(x – 1)(x – ) 6 x1= 4+2 = 1 Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ -3; 3 ] 4. x = –3 [-3; 3] Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. x = 3 [-3; 3] y(-3) = 11 3 х 1 0 х В 11 1 1 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. y(-3) = -25 Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 1; 9 ] 5. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 3 х 1 0 х В 11 1 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. [1; 9] 2 Найдите наименьшее значение функции на отрезке [ 1; 9 ] 6. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 3 х 1 0 х В 11 - 3 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. [1; 9] 2 Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде Найдите наименьшее значение функции на отрезке [-10; 1 ] 7. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 3 х 1 0 х В 11 5 , - 1 2 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде x = –5 [-10; 1] x = 5 [-10; 1] x = 0 D(y) x = 0 D(y): 2 / 1 1 х х Найдите наименьшее значение функции на отрезке [-10; 1 ] 7. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 3 х 1 0 х В 11 5 , - 1 2 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. x = 0 D(y): Можно решить задание, применив формулу: 2 / / / v uv v u v u Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 1; 9 ] 8. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 3 х 1 0 х В 11 3 7 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде x = –6 [ 1; 9] x = 6 [ 1; 9] x = 0 D(y) x = 0 D(y): 2 / 1 1 х х Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 3; 10 ] 9. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 3 х 1 0 х В 11 1 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. x = 7 [ 3; 10] / / / uv v u uv 1). Первое число меньше 1, т.к. знаменатель e4 > 5. 2). Второе число – отрицательноe. 3). Значит, наибольшее число 1. 7 1 Найдите наименьшее значение функции на отрезке [ 1; 7 ] 10. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 3 х 1 0 х В 11 - 4 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. x = 2 [ 1; 7] / / / uv v u uv Наименьшее число – 4, т.к. первые два положительные. x = 8 [ 1; 7] 8 2 1 – + x y\ y -5 -4 – + Найдите наибольшее значение функции y = ln(x+5)5 – 5x на отрезке [-4,5; 0] 3 х 1 0 х В 11 2 0 11. -4,5 0 max Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка. / 1 lnx x y = 5ln(x+5) – 5x 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее. x = -4 [-4,5; 0] 0 Можно рассуждать иначе Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде Найдите наибольшее значение функции y = ln(11x) – 11x + 9 на отрезке 3 х 1 0 х В 11 8 12. max Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка. / 1 lnx x 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. – + x y\ y 1 11 5 22 1 22 [ ; ] 1 22 5 22 1 11 x = [ ; ] 1 22 5 22 0 Найдите наименьшее значение функции y = 2х2 – 5x + lnx – 3 на отрезке 3 х 1 0 х В 11 - 6 13. min Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка. / 1 lnx x 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. – + x y\ y 1 7 6 5 6 [ ; ] 5 6 7 6 x = 1 [ ; ] 5 6 7 6 0 Найдите наибольшее значение функции y = 7cosx +16x – 2 на отрезке 3 х 1 0 х В 11 5 14. Функция на всей области определения возрастает. Нетрудно догадаться, что у / > 0. Тогда наибольшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0. 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. / cosx – sinx Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наибольшее. 0 Критических точек нет. Тогда наибольшее значение функция будет принимать в одном из концов отрезка. Можно было и раньше догадаться, что наибольшее значение будет именно в левом конце отрезка! Как? 6 5 sin 6 sin 3 х 1 0 х В 11 3 2 Найдите наибольшее значение функции y = 10sinx – x + 7 на отрезке 15. 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. / sinx cosx 0 36 2 1 6 sin 6 5 sin Формула приведения Синус –нечетная функция Функция на всей области определения убывает. Нетрудно догадаться, что у / < 0. Тогда наименьшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0. 3 х 1 0 х В 11 9 Найдите наименьшее значение функции y = 5cosx – 6x + 4 на отрезке 16. 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. / cosx – sinx 1 0 Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наименьшее. 3 х 1 0 х В 11 1 2 Найдите наибольшее значение функции y = 12cosx + 6 x – 2 + 6 на отрезке 17. 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. Но нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в заданный отрезок 3 х 1 0 х В 11 1 2 Найдите наибольшее значение функции y = 12cosx + 6 x – 2 + 6 на отрезке 17. 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. Убедимся, что данная точка является точкой максимума на заданном промежутке. Значит, наибольшее значение функция достигает именно в этой точке. Тогда значения функции в концах отрезка можно не считать. – + 3 x y\ y 2 0 Можно рассуждать иначе max 3 х 1 0 х В 11 4 Найдите наименьшее значение функции y = 11 + – х – cosx на отрезке 18. 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. Но нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в заданный отрезок Можно убедиться, что данная точка является точкой минимума на заданном промежутке. Значит, наименьшее значение функция достигает именно в этой точке. Тогда значения функции в концах отрезка можно не считать. + – 6 x y\ y 2 0 min 3 х 1 0 х В 11 1 Найдите наименьшее значение функции y = 4tgx – 4x – + 5 на отрезке 19. 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. Нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в заданный отрезок / tgx cos2x 1 0 3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений сделаем выбор наименьшего. 3 х 1 0 х В 11 5 Найдите наибольшее значение функции y = 3tgx – 3x + 5 на отрезке 20. 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. Нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в заданный отрезок / tgx cos2x 1 0 3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений сделаем выбор наибольшего. -1 0 Решая задания на наибольшее и наименьшее значение функции, я применяла различные способы. Если вы решаете задания своим способом и всегда попадаете в правильный ответ, не стоит переучиваться. При использовании материалов сайта необходимо сделать ссылку на сайт http://le-savchen.ucoz.ru |