хз. Найти неопределенные интегралы

• Название: Найти неопределенные интегралы
• Дата: 07.10.2022
• Размер: 46.58 Kb.
• Имя файла: IDZ_8_2-8.docx
• Тип: Документы; #719321

ИДЗ 8.2 – Вариант 8

Найти неопределенные интегралы.

1.8 _^1x dx
Разобьем интеграл на два интеграла

_1x _{dx  } 1 _{dx  } x _dx

Первый интеграл, табличный:



Применима табличная формула интегрирования: ^dx  arcsin ^x  C

a

_¹ dx  _¹ dx  arcsin^x  C

Второй интеграл:

Проведем замену: t = 2 − x², dt = (2 − x²)′dx = −2xdx, dx   ^dt

2x
, тогда

x 1 1 1 ^{ 1} 1

_ dx   _ dt   _ t ² dt   

 ¹ 1

_t 2

1

 C   ¹  ^t 2

 C    C

2 2 2

 ¹  1 ^{2 1}

2 2

Учли, в решении интеграла, табличный интеграл _ x Проведем обратную замену: t = 2 − x²

В итоге решение интеграла примет вид:

_{ x}1

dx  _{  1}  C

_^x dx    C

Тогда решение исходного интеграла примет вид:

_^1x dx  arcsin^x   C



_2.8 sin 2x _dx 3sin ² x  4

В числителе используем формулу двойного угла sin2x = 2sinxcosx, запишем интеграл:

_sin2x _{dx  } 2sinxcosx _dx

3sin ² x  4 3sin ² x  4

Интегрирование заменой переменной (метод подстановки)

_f xf ^xdx 

t  f x dt  f ^xdx

 _ tdt

Проведем замену: t = sinx, dt = (sinx)′dx = cosxdx, dx 

dt cos x

, тогда

sin2x
tdt

2 d3t ²  4 1 ₂

^ 3sin ² x  4 ^{dx  2} 3t ²  4 ^{ 6 }

3t ²  4

 ln 3t



3

 4  C

Учли, в решении интеграла, табличный интеграл Проведем обратную замену: t = sinx

В итоге решение интеграла примет вид:

_^sin2x dx  ¹ ln 3sin ² x  4  C

^dx  lnx  С x

3sin ² x  4 ³


x
5

3.8 _{1  x3} dx

Разделив числитель подынтегральной функции на знаменатель, выделим целую часть неправильной дроби, стоящей под знаком интеграла. Получим интеграл от алгебраической суммы:

_x 2

Тогда интеграл запишется в виде

x
5

^1  x






2
₃ dx  _^ x



• 
  _x 2
  

1  x





₃ ^dx  _ x



²dx  <sub>

x</sub> 2

1  x

₃ dx

Первый интеграл, табличный:

Применима табличная формула интегрирования: _ x
_{ x}1

dx  _{  1}  C

_{ x} 2

_x 21 _x3

dx   C   C 2  1 3

Второй интеграл

Проведем замену: t = 1 − x³, dt = (1 − x³)′dx = −3x²dx, dx  

dt 3x ²

, тогда

x ² 1 dt 1

_{1  x3} dx   _{3  t}

  lnt  C



3

Учли, в решении интеграла, табличный интеграл Проведем обратную замену: t = 1 − x³

В итоге решение интеграла примет вид:

^dx  lnx  С x

x ² 1 <sub>3




1  x3</sub> dx   ₃ ln1  x  C
Тогда решение исходного интеграла примет вид:

x

x
5 3

_{1  x3} dx   ₃

 ¹ ln1  x³  C 3

4.8 _cos x  3² dx
Подынтегральную функцию раскроем как квадрат суммы

_cos x  3² dx  _cos² x  6cos x  9dx  _cos² xdx  _6cos xdx  _9dx

Используем формулу половинного угла _{cos 2 x } 1  cos 2x

2

Решаем интеграл

_cos x  3² dx  _^{1cos2x }dx  _6 cos xdx  _9dx  ¹ _dx  ¹ _ cos 2xdx  6sin x  9x 


2

2

2
 

 

 ¹ x  ¹  ¹ sin 2x  6sin x  9x  C  ¹⁹ x  ¹ sin 2x  6sin x  C

2 2 2 2 4

Применили в решении табличную формулу интегрирования: _cos xdx  sin x  C



5.8 tg^{2 x} dx

2

Согласно тригонометрическому тождеству tg^{2 x} 

sin ^{2 x}

2

и sin ^{2 x}  1  cos^{2 x} , преобразуем и

решаем интеграл
sin ^{2 x}

1  cos <sup>2 x

2</sup> _cos 2 ^{x 2 2}

2

cos ^{2 x}

_ tg^{2 x}dx  _² dx  _² dx  _¹ dx  _² dx  _¹ dx  _ dx 

² cos ^{2 x} 2

cos ^{2 x}

2

cos ^{2 x}

2

cos ^{2 x}

2

cos ^{2 x}

2

 2_¹ d^{ x }  x  2tg ^x  x  C

2 _x  ₂  ₂




cos ^{ }

2



Применили в решении табличную формулу интегрирования: ^dx  tgx  C

cos ² x

6.8 _sin ^x cos ^3x dx

2 2

Используя формулу произведения тригонометрических функций

sin   cos  ¹ sin   sin  ,

2

преобразуем, затем решим интеграл



_sin ^x _ ^3x  _{ sin} ^x _ ^3x 

x 3x

 _{2 2} 

^ 2 2 ^{ 1 1 1}

_sin

cos

2

dx  ^dx 

2 2

_{2 } sin x  sin 2xdx   <sub>2

</sub>sin xdx 

_{2 }sin 2xdx 

  ¹   cos x ¹  ¹ _sin 2xd 2x  ¹ cos x  ¹   cos 2x  C  ¹ cos x  ¹ cos 2x  C

2 2 2 2 4 2 4
Применили в решении табличную формулу интегрирования: _sin xdx  cos x  C


_7.8 dx

2x ²  x  2
Вынесем 2 за скобку в знаменателе

_ dx _{ } dx



2


2x ²  x  2

 ^x 

2_x 1_

 ² 

Преобразуем интеграл, выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат (формула квадрата суммы (a + b)² = a² + 2ab + b²)

₂ x ₂

¹  ¹ ²  ¹ ²

 ₂ ^{1 1}  ¹


 ¹ ^{2 15}

x   1  x  2 

^{x }   ^   ^{ 1 } ^{x  2  x }  <sup>

 1 </sup> ^{x }  ^

2 4

Решаем интеграл

 ⁴   ⁴  

4 16 _ 16

_ 4 _ 16

x  ¹

4
_ dx _{ } dx _ 1 _ dx _ 1 _ dx _ 1 _ 4 _{arctg 4  C }

2x ²  x  2

 ₂ ^x


 ² _

¹ ^{2 15 2} _


 


¹ ²

 ₁₅ ^{2 2}

² <sup>x

  1</sup>

2

 ^{x }  ^

 ^{x }

_{ } 



 arctg ^{4x  1}  C

^ _ 4 _ 16

_{ 4 }   ⁴

Применили в решении табличную формулу интегрирования: _^dx  ¹ arctg ^x  C

x ²  a ^{2 a a}

_{8.8 } dx

Преобразуем интеграл, выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат (формула квадрата разности (a − b)² = a² − 2ab + b²)


2 2 ¹


 ¹ ^{2 }  ¹ ²

 ₂ <sup>1


1</sup>  <sup>1


5</sup>  ¹ ²

1  x  x

 ^x  2 

^{x }   ^{ } 

 ^{ 1  }<sup>x  2 

x </sup>  ^

 1 

^ ^{x } 

2




 _{ 2 } 

 ² 

_ 2 4 _ 4

4 _ 2 _

Применима табличная формула интегрирования Решаем интеграл

^dx  arcsin ^x  C



a

x  ¹

_^dx  _^dx _^dx arcsin ²  C  arcsin ^2x1  C

5

2


9.8
x4 _dx 2x ²  7x  1

Вынесем 2 за скобку в знаменателе

2x ²  7x  1  ^

_{2 } ^7x _ ¹ 

²^x 

 ² 


2
Преобразуем интеграл, выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат (формула квадрата разности (a − b)² = a² − 2ab + b²)

2 2

   

 ₂ <sup>7

49</sup>  ^{49 1} 



⁷ ²



_ 41

2 2 4

 ⁴ 

 ⁴  ² 

4 16 _ 16 2 _

4 _ 16

Решаем интеграл

_ x4 _{dx } 1 _ 4x 1677_{dx } 1 _ 4x7 _{dx } 1 _ 167 _{dx }




2x ²  7x  1

⁴ 2x ²  7x  1

⁴ 2x ²  7x  1

⁴ 





2^_ x 



⁷ ²


4




41^



^ 16 ^

_ 1 _ 4x7 _{dx }23 _ dx _ 1 _ 1 _{d2x 2  7x  1} 23 _ dx _

⁴ 2x ²  7x  1

4  2 _

⁷ <sup>2 41

4</sup> 2x ²  7x  1

⁸  ⁷ ²

 ₄₁ ²

x  7  4	41
	4
x  7 	41
4 4

 ^{x }  ^

4 16

 ^{x }

_{ } _

 ¹ ln 2x ²  7x  1  ²³ 

 

¹ ln



 C  ¹ ln 2x ²  7x  1 

 ⁴ 

4x  7 	41
4x  7  41

ln

 ⁴ 

• 
  C
  

4 8 _{2  41} 4

4


Применили в решении табличные формулы интегрирования: ^dx  lnx  C ;

x

_ dx _1 _ln xa _{ C}

x ²  a ²

2a x  a

В итоге решение интеграла имеет вид:

_^x4 dx  ¹ ln 2x ²  7x  1 ²³ ln ^4x7  C

2x ²  7x  1 ⁴ 4 4x  7 


10.8 _^3x4 dx
Представим данный интеграл в виде суммы двух интегралов, предварительно выделив в числителе подынтегральной функции слагаемое, равное производной подкоренного выражения из знаменателя:

2x  4  ²  6  6 ⁸  6

_ 3x4 _{dx } 3 _{3 dx } 3 _ 2x6 _{dx } 3 _{3 dx }

x ²  6x  13 ² x ²  6x  13 ² x ²  6x  13 ² x ²  6x  13

_ 3 _ 2x6 _{dx } 3 _ 10 _ dx _ 3 _ 2x6 _{dx  5} dx

2 2 3 2

Решение первого интеграла:


3 2x  6


² x ²  6x  13

dx 

³ 2x  6 x ²



2

_ 1



 6x  13 ² dx 

³ x ²



2

_ 1


 
 6x  13 ² d x ²

 6x  13

_ 3 _ x ²

2

 ¹ 1



 6x  13 ²

1

 С  ³ 

2

x ²

1


 6x  13


_2
1


 С  3  С

  1

2 2

Решение второго интеграла

Применима табличная формула интегрирования
^dx  ¹ ln ax   C



a

Преобразуем интеграл, выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат (формула квадрата суммы (a + b)² = a² + 2ab + b²)

x²  6x 13  x²  2  3x  3²  3² 13  x²  2  3x  9 9 13  x  3²  4

Тогда решим интеграл

5_^dx  5_^dx  5_^dx  5ln x  3 

• 
  С 
  

 5ln x  3   С
Тогда общее решение исходного интеграла:

_ 3x4 _{dx  3}

 5ln x  3   C