Напряжения и деформации
 Скачать 0.66 Mb.
|
|
ε) при сжатии или растяженииравна отношению изменения продольного ΔL или поперечного Δd размеров тела к первоначальной их вели- чине (L 0 ) или (d 0 ), а относительная объемная деформация – это отношение изменения объема (ΔV) к его начальному значению: ε || = ΔL/L 0 , ε ┴ = Δd/d 0 , ε v = ΔV/V 0 Можно также измерить относительную деформацию по отношению размеров тела после и до деформации. Сдвиговая деформация определяется тангенсом угла сдвига и при обычно малых их величинах – самой величиной этого угла (γ). Углы сдвига – это уг- лы между скошенными ребрами кубика и ортогональными осями X, Y, Z , которые были параллельны ребрам до деформации (рис. 4.6). Законом Гука устанавливается линейная зависимость между напряжениями и от- носительными величинами упругих деформаций различных видов, коэффициентами пропорциональности между которыми являются модули упругости: σ сж = ε сж * Е сж , σ раст = ε р *Е р , τ = γ *G, σ = ε V * K сж , где 93 Рис.4.6. Напряженно-деформированное состояние элементарного объема. а - нормальные и касательные напряжения на гранях элементарного объема; б - сдвиговая деформация элементарного объема, соответствующая данному напряженному состоянию. Е сж , Е р - модули Юнга для деформации одноосного сжатия и растяжения; G – модуль сдвига; К – модуль всестороннего сжатия, ε сж ε р ε V - относительные деформации (сжатия, растяжения, объемная) σ = 1/3(σ 1 + σ 2 + σ 3 ) – напряжение всестороннего сжатия. Из приведенных соотношений видно, что породы с относительно более высокими модулями упругости (большей жесткостью) будут испытывать меньшие деформации при одинаковых напряжениях по сравнению с менее жесткими. При одинаковых относитель- ных деформациях уровень напряжений внутри более жесткого блока будет выше. Модули упругости имеют размерность напряжения. Из приведенных формул сле- дует, что упругие модули соответствуют напряжениям, при которых относительная де- формация равна 1, т.е. при таком напряжении размеры блока пород должны измениться на 100%. Упругая деформация в породах и минералах не может развиваться до таких ве- личин. Величины упругих характеристик зависят от типа пород, их состава, структуры и условий образования. В магматических породах они возрастают с увеличением их основ- ности (Есж: от 40-60 ГПа в гранитах до 70-90 ГПа в габбро и перидотитах). Осадочные и вулканогенно-осадочные породы характеризуются минимальными в целом величинами упругих констант. Наивысшие их значения достигаются в контактово- и региональноме- таморфизованных породах высоких ступеней метаморфизма. В геологических процессах на величины упругих параметров существенное влия- ние оказывает ряд факторов. Это, прежде всего, скорость деформации. Поэтому различа- ют динамические модули упругости и статические упругие параметры пород – модули деформации. Динамические параметры характеризуют абсолютно упругие деформации, происходящие в течение долей секунды. Они происходят при землетрясениях, взрывах газов в трубках взрыва, явлениям гидроразрыва вследствие превышения давления раство- ров в порах и трещинах над окружающим литостатическим. При невысокой скорости деформирования связь деформаций и напряжений опре- деляется статическими модулями деформации, которые обычно в 1.1-1.6 раза ниже дина- мических. Со временем происходит рост пластических деформаций, которые достигают значительных величин при напряжениях, равных пределам пластичности (текучести) по- род. Это и является причиной снижения величин модулей деформации. Существенное значение имеет тип деформации и вид напряженного состояния де- формируемого блока пород. Так, обычно модуль Юнга при сжатии примерно в полтора раза больше, чем при растяжении, а при объемно-напряженном состоянии модуль упру- гости возрастает на 10-35%. Коэффициент Пуассона также больше присжатии (для бетона примерно в 1.7 раза). При этом за счет волнового распространения деформаций в круп- ных блоках наблюдается изменение этих параметров в разных их частях. Наличие рас- творов в породах (особенно агрессивных) существенно снижает значения упругих кон- стант и, в конечном счете, прочность пород. 94 Связь между напряжениями и деформациями в условиях плоского и объемного напряженного состояния определяется не только внешними силами, но и их суперпози- цией с поперечными по отношению к ним внутренними напряжениями в соответствии с обобщенным законом Гука. ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА В твердых телах продольные деформации сжатия или растяжения всегда сопрово- ждаются проявлением соответствующих поперечных деформаций, относительные вели- чины которых связаны прямой зависимостью. Эта связь определяется коэффициентом Пуассона - отношением относительной поперечной деформации к относительной про- дольной: μ = ε ┴ / ε || Его величина изменяется от 0 до +0.5. Это определяется тем, что относительное сокращение длины каждого деформируемого элементарного объема (кубика) при одноос- ном сжатии компенсируется боковым расширением (поперечной деформацией) в двух направлениях. Если объем тела при деформации не меняется, то сокращение размеров в одном направлении должно полностью компенсироваться приростом их в поперечных. Это может иметь место только в жидких средах, и в значительной степени также в высо- копластичных породах типа глин, слюдистых сланцев, мраморов, серпентинитов, для ко- торых значения коэффициента Пуассона высоки. Его величина зависит, прежде всего, от наличия в породах минералов с высоким или низким его значением. Богатые кварцем по- роды имеют низкие его значения (0.1-0.2), а породы содержащие карбонаты и глинистые минералы, а также слюды значительно более пластичны. Здесь значения коэффициента в них достигают 0.35-0.4. Трещиноватость и пористость приводят к снижению коэффици- ента Пуассона. Упругие деформации, будучи линейно связаны с соответствующими компонента- ми напряжений, также являются тензорными величинами. Каждой компоненте тензора напряжений соответствует определенная компонента тензора деформаций: деформации сжатия или растяжения ( ε i ) - соответствующим i-м компонентам нормального напряже- ния ( σ i ); сдвиговые деформации ( γ ij ) –касательным напряжениям ( τ ij ). Поэтому деформа- ции сжатия или растяжения имеют индексы нормальных, а деформации сдвига – каса- тельных напряжений (рис. 4.3). Величина сдвиговой деформации кубика определяется двумя углами сдвига между смежными его гранями и соответствующими осями. С уче- том этого в тензоре деформаций компонентам касательных напряжений соответствуют половины величин углов сдвига: σ x τ xy τ xz ε x 1/2 γ xy 1/2 γ xz Т σ = τ yx σ y τ yz Т ε = 1/2γ yx ε x 1/2 γ yz τ zx τ zy σ z 1/2 γ zx 1/2 γ zy ε z Для граней элементарного кубика, на которых действуют главные нормальные на- пряжения, эти тензоры принимают следующий вид: σ 1 0 0 ε 1 0 0 Т σ = 0 σ 2 0 Т ε = 0 ε 2 0 0 0 σ 3 0 0 ε 3 Уравнения связи между соответствующими компонентами напряжений и дефор- маций тензоров определяются законом Гука. Упругие деформации в продольном и поперечных направлениях связаны соотно- шениями обобщенного закона Гука, который учитывает поперечные деформации, про- 95 порциональных коэффициенту Пуассона. При продольной одноосной деформации сжа- тия, равной σ х /E, по двум другим осям возникнут поперечные деформации растяжения: - μ σ х /E. Они алгебраически суммируются с соответствующими деформациями сжатия, ес- ли по другим осям действуют сжимающие напряжения (при двух- или трехосном напря- женном состоянии). Вдоль граней кубика возникнут деформации сдвига (γ) за счет каса- тельных напряжений. Эта совокупность деформаций описывается следующими уравне- ниями обобщенного закона Гука: ε x = E 1 [σ x - μ (σ y + σ z ], γ xy = τ xy / G, ε y = E 1 [σ y - μ (σ x + σ z ], γ yz = τ yz / G ε z = E 1 [σ z - μ (σ x + σ y ], γ zx = τ zx / G где μ – коэффициент Пуассона. Аналогичные соотношения можно записать и для деформаций, связанных с глав- ными напряжениями σ 1, 2, 3 . Касательные напряжения и деформации сдвига в этом случае отсутствуют. При плосконапряженном состоянии отсутствует напряжение по одной из осей. При σ z = 0 величины деформаций кубика будут следующими: ε x = E 1 [σ x - μ σ y ], γ xy = τ xy / G, ε y = E 1 [σ y - μ σ x ], γ yz = 0, ε z = - E 1 [μ (σ x + σ y ], γ zx = 0 В направлении оси Z продольная деформация (деформация растяжения) возникает за счет поперечных деформаций по причине действия двух других нормальных напряже- ний. В этом случае тензоры напряжений и деформаций будут иметь вид: σ x τ xy ε x 1/2γ xy 0 Тн = τ yx σ y Тд = 1/2γ yx ε y 0 0 0 ε z При невозможности развития деформаций по одному из направлений возникает плоскодеформированное состояние. Тогда при ε z = 0 σ z = μ (σ x + σ y ) и деформации по осям Х и Y составят: ε x = E 1 {σ x - μ [σ y + μ (σ x + σ y )]} , ε y = E 1 {σ y - μ [σ x + μ (σ x + σ y )]} С учетом приведенных соотношений можно рассмотреть деформацию простого сдвигания [5]. Эта деформация вызывается парой сил (касательных напряжений), дейст- вующих в параллельных плоскостях, но в противоположных направлениях (рис. 4.7 А). При этом при простом сдвиге деформируемый блок квадратного сечения превращается в ромб так, что расстояние между гранями, сдвигающимися в противоположных направле- ниях, не меняется. Ось растяжения (А) при этом образует все более острый угол к на- правлению сдвига. Ось сжатия (С), наоборот, разворачивается к оси сдвига под большим углом. Происходит вращение главных осей деформаций А и С, которые перестают совпа- дать с осями главных нормальных напряжений. При этом испытывают вращение и опе- ряющие трещины (сопряженные сколы Ридделя и трещины отрыва). Площадь ромбиче- ского сечения блока остается постоянной. Следовательно, объем блока также не меняется 96 σ 3 σ 3 σ 1 σ 1 А Б Рис. 4.7 –А: Деформация сжатия-растяжения при плосконапряженном состоянии (внешний ромб – некорректное выделение элементарного блока). Б: Деформирование при простом (I) и «чистом» (II) сдвиге. Стрелками показаны направления действия пар сил. и деформирование по средней (вертикальной для сдвига) оси В не происходит. Деформа- ция является плоской, ее величины по осям сжатия и растяжения составят: ε 3 = E 1 {σ 3 - μ [σ 2 + μ (σ 3 + σ 2 )]} , ε 1 = E 1 {σ 1 - μ [σ 2 + μ (σ 1 + σ 2 )]} Академик Ю.Н. Работнов (1948) показал, что уравнения обобщенного закона Гука применимы и для анализа больших пластических деформаций. Для этого с учетом зако- номерностей процесса ползучести определяются временные операторы изменения моду- лей деформации и коэффициента Пуассона. Эллипсоид деформации Беккера, как показал М.В. Гзовский [5], также можно использовать для оценки больших деформаций при сдви- ге. На участках изменения простирания сдвига может происходить как дополнитель- ное сжатие, так и дополнительное растяжение. Это обусловлено увеличением угла между сдвигом и направлением сжатия и растяжения на таких участках. При сдвиге с дополни- тельным сжатием происходит уменьшение площади ромбического сечения блока за счет сокращения его ширины (рис.4.7 Б). В этом случае деформация становится объемной, т.к. при сокращении этой площади возникает поперечная деформация растяжения по верти- кальной оси В. Трещинообразование наиболее интенсивно на участках изгиба плоскости сдвига, где увеличивается ее угол с осью растяжения (рис.4.7 В). Максимальные касательные на- 97 пряжения в зоне сдвига возрастают за счет действия как сжимающих, так и растягиваю- щих напряжений, тогда τ max = (σ 3 + σ 1 )/2. В зоне изгиба они возрастают еще больше. В со- ответствии с круговой диаграммой Мора при смещении влево точки σ 1 (в область растя- жения) величина нормального сжимающего напряжения на площадке формирования ско- ла уменьшится, что приведет к ослаблению внутреннего трения. Кроме этого, под дейст- вием растягивающих усилий возрастет степень приоткрывания трещин. Эти участки раз- ломов, называемые дуплексами растяжения (структуры «pull-apart») являются участками повышенной проницаемости для магм и рудоносных растворов. Это было, в частности, показано на примерах урановых и золоторудных месторождений разных регионов России и СНГ Б.Н. Шашориным (2004) и С.Е. Знаменским (2008). В дуплексах растяжения про- исходит деформация достаточно близкая к так называемому «чистому» сдвигу, при кото- рой σ 3 = - σ 1 . При этом поле напряжений кубик превращается в ромб так, что все грани ромба становятся непараллельными, но ориентировка его диагоналей (осей деформации сжатия и растяжения) остается постоянной. УПРУГИЕ И ОСТАТОЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ По своему механизму и форме проявления деформации могут быть упругими и ос- таточными. Упругая деформация исчезает после прекращения силового воздействия. Аб- солютно упругая деформация возникает и достигает предельного при данных условиях значения синхронно с возникновением напряжений. Это обусловлено тем, что под дейст- вием напряжений на уровне кристаллической структуры вещества происходят изменения в расположении атомов и молекул (уменьшение расстояний при сжатии, увеличение – при растяжении, сдвигание вдоль плоскостей – при действии пары сил). Характерным для упругой деформации является изменение не только формы, но обычно и объема тела. Причиной исчезновения упругих деформаций является сохранение связей между атомами и элементами кристаллической решетки минералов. Эти связи определяются электромаг- нитными взаимодействиями атомов и молекул. Их суммарное действие приводит к воз- никновению внутренних сил (напряжений), восстанавливающих первичное положение фрагментов твердого тела после снятия нагрузки. Они наиболее быстро возрастают при сжатии, в меньшей степени – при сдвиге, и минимально – при растяжении. Чем меньше время воздействия, а также величина напряжений, тем ближе деформация к абсолютно упругой, которая возникает и исчезает со скоростями распространения упругих волн, со- ставляющие первые километры в секунду. Относительная величина упругой деформации обычно не превышает первых процентов. Однако любое твердое тело не является абсо- лютно упругим. В нем в той или иной степени развиваются и другие деформации – упру- гого последействия (вязко-упругая деформация) и также остаточные деформации. Поэто- му на кривой зависимости деформаций от напряжения имеется две ветви – одна в связи с ростом напряжений, вторая – при их спаде (разгрузке). Вторая ветвь не повторяет первую (явление гистерезиса) и смещена относительно нее на некоторый интервал, соответст- вующий величине относительной необратимой (остаточной) деформации. Если деформация остается постоянной, то происходит явление релаксации (спада) напряжений со временем. Это может иметь место, когда блок пород оказывается зажатым между сместившимися соседними блоками. Если он имеет большее время релаксации на- пряжений, чем окружающие породы, то может быстрее достичь предела прочности при достаточно быстром повторении воздействия тектонических сил. Увеличение деформации при постоянстве напряжений связано с явлением ползуче- сти. Оба эти явления связаны с другими типами деформаций – упругой-вязкой (или уп- ругого последействия) и остаточной (пластической). В отличие от упругой эти деформа- ции зависят от времени. Со временем напряжения исчезнут вследствие релаксации, а уп- ругая деформация постепенно перейдет в остаточную (необратимую). Вязко-упругая деформация развивается за определенный промежуток времени, а при снятии нагрузки – также постепенно исчезает. При этом элементы кристаллической 98 решетки твердого тела постепенно занимают свои прежние места. При возникновении напряжения (σ 0 ) она постепенно нарастает до максимального значения σ 0 /E, а при его исчезновении – с такой же скоростью исчезает. Модуль упругого последействия (Е) отли- чен от модуля Юнга упругой деформации. Для деформации сдвига в приведенных ниже уравнениях используются модули сдвига (для абсолютно упругой и вязко-упругой де- формаций). Общие зависимости между напря- жениями и деформациями этого типа опи- сываются следующими уравнениями [36]: при сжатии ε(t) = σ 0 /(E e t / t0 ), при разгрузке: ε(t)= σ / [E (1 – e – t / t0 )], где to – время, за которое упруго-вязкая деформация возрастает в 1/е раз или время релаксации напряжений до уровня (1-е)/е от начального. Оно зависит от вязкости и модуля Е: to = η/E, где η (н/сек*м 2 ) – вязкость упруго- го последействия, характеризующая ин- тенсивность процесса релаксации напря- жений и имеющая другую природу и вели- чину по сравнению с эффективной вязко- стью при пластической деформации. Таким образом, чем выше вязкость пород и меньше Е, тем дольше сохраняют- ся в них напряжения. По данным экспериментального де- формирования пород Григгса деформация упругого последействия описывается лога- рифмической зависимостью: ε(t) = k lgt, где k – некоторая постоянная при данном уровне напряжений. Общее уравнение деформации по- род во времени с учетом компоненты оста- точной пластической деформации рас- сматривается ниже в соответствующем разделе. К остаточным относятся дефор- мации, которые сохраняются неограни- ченное время при прекращении силового воздействия и исчезновения напряжений. Они могут быть пластическими и хрупки- ми. При пластическом деформировании происходит изменение формы тела, но его объем остается постоянным. Основ- ной механизм ее развития определяется смещением частиц вдоль серии параллель- ных плоскостей, но в отличие от упругой деформации сдвига - с разрывом прежних связей между частицами и возникновением новых. Это и приводит к необратимости |