8 сынып геометрия. 8 сынып геометрия 2. Не для пе чати Не для пе чати
 Скачать 1.94 Mb.
|
|
Раздел 2. СооТношЕния мЕжду СТоРонами и углами пРямоугольного ТРЕугольника изучив материалы данного раздела, мы достигнем следующих целей: будем знать определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов через отношения сторон в прямоугольном треугольнике; будем доказывать и применять теорему Пифагора; будем доказывать и применять свойства высоты, опущенной из вер- шины прямого угла на гипотенузу; будем выводить формулу sin 2 α + cos 2 α = 1, используя теорему Пифагора, и применять при решении задач; будем выводить и применять основные тригонометрические тождества; будем знать и применять взаимосвязь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом углов α и (90° – α); будем находить значения sinα, cosα, tgα и ctgα по данному значению одного из них; будем строить угол по известному значению его синуса, косинуса, тангенса или котангенса; будем использовать прямоугольный треугольник для вывода значе- ний синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30°, 45°, 60°; будем применять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30°, 45°, 60° для нахождения элементов прямоугольного треугольника; будем находить стороны и углы прямоугольного треугольника по двум заданным элементам. 2.1. ТЕОРЕМА О пРОпОРциОНАльНЫх ОТРЕзКАх. ТЕОРЕМА пиФАГОРА пропорциональные отрезки Определение. Отношением отрезков АВ и CD называется отношение их длин. AB = 2 см, CD = 4 см. AB CD = = 2 4 1 2 , т. е. отношение отрезков AB и CD равно 1 2 (рис. 2.1). Если выполняется равенство AB CD A B C D = 1 1 1 1 , то гово- рят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и C 1 D 1 Рис. 2.1 D В С А Все учебники Казахстана на OKULYK.KZ * Книга предоставлена исключительно в образовательных целях согласно Приказа Министра образования и науки Республики Казахстан от 17 мая 2019 года № 217 Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати е для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати е для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати 53 раздел 2 Если AB A B CD C D 1 1 1 1 = = PQ PQ 1 1 , то отрезки AB, CD, PQ пропорциональны отрезкам A 1 B 1 , C 1 D 1 , P 1 Q 1 ∆ ABC : AB = 10 см, AC = 7 см. AB 1 = 6 см, AC 1 = 4,2 см. AB AC = 10 7 , AB AC 1 1 6 4,2 10 7 = = , т. е. отрезки AB и АC пропорциональны отрезкам AB 1 и AС 1 Теорема 1. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, от- секают от сторон угла пропорциональные отрезки. Пусть параллельные прямые пересекают сторо- ны угла А в точках B, C и B 1 , C 1 соответственно (рис. 2.3). Доказать, что AB AB AC AC 1 1 = ▲ Допустим, что существует отрезок длиной ε, который можно целое число раз отложить на от- резках АС и АС 1 , т. е. существуют целые числа n и m такие, что AC = n ε, AC 1 = = m ε, n > m. Разобьем отрезок АС на n равных частей и проведем через точки де- ления прямые, параллельные ВС. Тогда точка С 1 совпадет с одной из то- чек деления. По теореме Фалеса, проведенные параллельные прямые раз- бивают отрезок АВ на равные отрезки с некоторой длиной δ. Следователь- но, АВ = nδ, АВ 1 = mδ, получим, что AC AC m n 1 = = m n , AB AB m n 1 = = m n , т. е. получили равенство AB AB AC AC 1 1 = Однако может случиться так, что нет отрезка длиной ε, который мож- но было бы целое число раз отложить на отрезках АС и АС 1 . В этом случае также можно доказать пропорциональность указанных отрезков. Косинус острого угла Определение. Косинусом острого угла α пря- моугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус угла α обозначается так: cos α. На рис. 2.4 показан прямоугольный треуголь- A B B 1 C 1 C Рис. 2.2 A B B 1 X C C 2 Y C 1 Рис. 2.3 A B c b a C Рис. 2.4 Все учебники Казахстана на OKULYK.KZ * Книга предоставлена исключительно в образовательных целях согласно Приказа Министра образования и науки Республики Казахстан от 17 мая 2019 года № 217 Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати е для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати е для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати 54 соотношения межДу сторонами и углами прямоугольного треугольника 2 ник АВС с острым углом А, равным α. Прилежащий к нему катет АС = b, а гипотенуза AB = c. По определению получим: cos α = AC AB , или cos α = b c Теорема 2. Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника. ▲ пусть АВС и А′В′С′ – два прямоугольных треугольника с одним и тем же углом при верши- нах А и А′, равным α (рис. 2.5). Доказать, что A C A B AC AB ′ ′ ′ ′ = построим треугольник АВ 1 С 1 , равный треуголь- нику А′В′С′, как показано на рис. 2.5. Так как ACBC, ACB 1 C 1 , то BC || B 1 C 1 . Тогда по свойству пропорциональных отрезков AC AB AC AB 1 1 = . А так как по построению AC 1 = А′С′, AB 1 = А′B′, то выполняется равенство A C A B AC AB ′ ′ ′ ′ = пример. Даны отрезки длиной а, b, c. построим отрезок x bc a = ▲ Построим любой неразвернутый угол с вер- шиной в точке о. Отложим на одной стороне угла отрезки оА = a, OB = b, а на другой стороне – отре- зок OC = c (рис. 2.6). Затем соединим точки А и С прямой и проведем параллельную ей прямую через точку В. Пусть эта прямая пересечет вторую сторо- ну угла в точке D. Тогда по теореме 1 получим ра- венства OA OB OC OD = или OD OB OC OA bc a = = · , т. е. отрезок оD и есть искомый отрезок. |