нелинейная регрессия. Нелинейная регрессия. Нелинейная регрессия. Примеры нелинейной регрессии. Методы преобразования полиноминального уравнения регрессии. Преобразование экспоненциальной функции. Коэффициенты эластичности для нелинейных уравнений регрессии
 Скачать 1.57 Mb.
|
Нелинейная регрессия. 1. Примеры нелинейной регрессии. 2. Методы преобразования полиноминального уравнения регрессии. 3. Преобразование экспоненциальной функции. 4. Коэффициенты эластичности для нелинейных уравнений регрессии. Нелинейные регрессииполиномы разных степеней у = а +bх + с2 + ε, у =а + bх +сх +dx3+ ε, равносторонняя гипербола степенная y = axb ε показательная у = аbх ε экспоненциальная y=ea+bxε В параболе второй степени у= а0 + а1 х + а2 х2 + ε заменяя переменные х1 =х, х2 = х2, получим двухфакторное уравнение линейной регрессии: у= а0 + а1 х1 + а2 х2 + ε для оценки параметров которого используется МНК. Соответственно для полинома третьего порядка y= a0+a1x+a2x2+a3x3+ ε, при замене х=х1, х2=х2, х3=х3 получим трехфакторную модель линейной регрессии: у= а0 + а1 х1 + а2 х2 + а3 х3 + ε, Для полинома k-порядка y= a0+a1x+a2x2+…+akxk+ ε получим линейную модель множественной регрессии с k объясняющими переменными: у= а0 + а1 х1 + а2 х2 + …+ аk хk + ε Приравниваем к нулю первую производную параболы второй степени. Применение МНК для оценки параметров параболы второй степени приводит к следующей системе нормальных уравнений: равносторонняя гипербола кривая Филлипса Для равносторонней гиперболы такого вида, заменив 1/х на z, получим линейное уравнение регрессии y = a +bz +ε оценка параметров которого может быть дана МНК. Система нормальных уравнений составит: В отдельных случаях может использоваться и нелинейная модель вида Но, если в равносторонней гиперболе преобразованию подвергается объясняющая переменная z = 1/x и y = а + bz + ε, то для получения линейной формы зависимости в обратной модели преобразовывается у, а именно: z =1/y и z = a + bx +ε. В результате обратная модель оказывается внутренне нелинейной и требование МНК выполняется не для фактических значений признака у, а для их обратных величин 1/у, а именно Линеаризация
Х=lnxМодели, нелинейные по параметрам
- нелинейные модели внутренне нелинейные. в эконометрических исследованиях при изучении эластичности спроса от цен широко используется степенная функция: y = axbε где у – спрашиваемое количество; х – цена; ε – случайная ошибка. логарифмирование данного уравнения по основанию ε приводит его к линейному виду: lnу = lnа + b lnx + ln ε. Если же модель представить в виде y = axbε, то она становится внутренне нелинейной, т.к. ее невозможно превратить в линейный вид. Внутренне нелинейной будет и модель вида у = а + bхc + ε, или модель В этом плане к линейным относят, например, экспоненциальную модель y = еa+bхε, т.к. логарифмируя ее по натуральному основанию, получим линейную форму модели lnу = а + b х +lnε. Модели внутренне нелинейные по параметрам могут иметь место в эконометрических исследованиях. Среди них можно назвать и обратную модель вида: В степенной функции y = axbε. параметр b является коэффициентом эластичности. Его величина, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Формула расчета коэффициента эластичности:
Если в линейной модели и моделях, нелинейных по переменным, при оценке параметров исходят из критерия то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным данным результативного признака, а к их преобразованным величинам, т. е. lnу, 1/у. Так, в степенной функции y = axbε МНК применяется к преобразованному уравнению lnу = lnа + xlnb. Это значит, что оценка параметров основывается на минимизации суммы квадратов отклонений в логарифмах: Соответственно, если в линейных моделях (включая нелинейные по переменным ∑(y-ŷх) =0, то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, Корреляция для нелинейной регрессии Для равносторонней гиперболы индекс корреляции Линейный коэффициент корреляции между переменными y и lnx Ошибка разности между индексом детерминации R2yx и коэффициентом детерминации r2yx: Ошибка аппроксимации Нелинейные модели внутренне линейные
Y=ln y, X=ln x, A=ln aY=lny, В=lnb, A=lnaY=lny, A=lnaY=1/y |