Парная регрессия и коррекция. ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ. Теоретические сведения
![]()
|
ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ Теоретические сведенияПарная регрессия – уравнение связи двух переменных y и x: ![]() где ![]() ![]() Различают линейные и нелинейные регрессии. Линейная регрессия: ![]() Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам. Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным: полиномы разных степеней ![]() равносторонняя гипербола ![]() Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам: степенная ![]() показательная ![]() экспоненциальная ![]() Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонения фактически значений результативного признака ![]() ![]() ![]() Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно ![]() ![]() ![]() Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции ![]() ![]() ![]() и индекс корреляции ![]() ![]() ![]() Оценку качества построенной модели дает коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических: ![]() Допустимый предел значений ![]() Средний коэффициент эластичности ![]() ![]() ![]() ![]() Поскольку коэффициенты эластичности представляют экономический интерес, в таблице приведены формулы расчета коэффициентов эластичности для наиболее распространенных типов уравнений регрессии. Таблица Коэффициенты эластичности для ряда математических функций
Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной: ![]() где ![]() ![]() ![]() Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака ![]() ![]() ![]() Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() ![]() Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции расчитывается ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам: ![]() ![]() ![]() Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значение ![]() ![]() ![]() ![]() Связь между ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку ![]() ![]() ![]() Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид ![]() ![]() Если в границы доверительного интервала попадает ноль, то есть нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значение. Прогнозное значение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() и строится доверительный интервал прогноза: ![]() Пример По группе предприятий, выпускающих один и тот же вид продукции, рассматривается функция издержек: ![]() где ![]() ![]() Исходные данные и вспомогательные вычисления для расчета оценок параметров ![]() ![]() Таблица 1
Система нормальных уравнений МНК будет иметь вид![]() ![]() Решая ее, получим: ![]() ![]() Тогда, уравнение регрессии ![]() Подставив в уравнение значения х, получим теоретические значения ![]() Коэффициент регрессии ![]() То, что ![]() В рассматриваемом примере имеем ![]() ![]() Величина линейного коэффициента корреляции ![]() что достаточно близко к 1 и означает наличие очень тесной зависимости затрат на производство от величины объема выпущенной продукции. Для оценки качества линейной функции рассчитаем коэффициент детерминации ![]() Следовательно, уравнением регрессии объясняется 97,6 % дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 2,4 % его дисперсии (то есть остаточная дисперсия). Так как ![]() Для оценки существенности линейной регрессии рассчитаем: Общая сумма квадратов отклонений результативного признака ![]() Факторная сумма квадратов ![]() Остаточная сумма квадратов ![]() Факторная дисперсия ![]() Остаточная дисперсия ![]() F – критерий ![]() Табличное значение ![]() ![]() ![]() ![]() Поскольку ![]() Таблица 2 Дисперсный анализ результатов регрессии
Так как в линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров, рассчитаем по каждому параметру стандартные ошибки: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Фактическое значение ![]() ![]() ![]() Проверим справедливость равенства: ![]() ![]() (расхождения за счет округления). При числе степеней свободы ![]() ![]() ![]() Так как ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Так как ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для определения интервала прогноза по линейному уравнению регрессии рассчитаем: Точечный прогноз ![]() ![]() ![]() ![]() Средняя стандартная ошибка прогноза ![]() Для прогнозируемого ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Чтобы иметь общее суждение о качестве модели определим среднюю ошибку аппроксимации: ![]() что говорит о хорошем качестве уравнения регрессии, так как ошибка в пределах 5 - 7 % свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным. |