Алгоритм Маркова. Нормальные алгоритмы Маркова
 Скачать 1.59 Mb.
|
Нормальные алгоритмы МарковаТеория нормальных алгоритмов была разработана советским математиком Андреем Андреевичем Марковым в конце 1940-х годов. При изучении разрешимости некоторых задач алгебры, он предложил новую модель вычислений, которую назвал нормальными алгорифмами. Андрей Андреевич Марков (младший) (22.09.1903-11.10.1979) – советский математик, сын известного русского математика А.А.Маркова, основоположник советской школы конструктивной математики, автор понятия нормального алгоритма (1947 г.) Нормальные алгорифмы Маркова (НАМ) — это строгая математическая форма записи алгоритмов обработки символьных строк, которую можно использовать для доказательства разрешимости или неразрешимости различных задач. Эти алгоритмы представляют собой некоторые правила по переработке слов в каком-либо алфавите. При этом исходные данные и результат работы алгоритма являются словами в этом алфавите. Марков предположил, что любой алгоритм можно записать как НАМ. В отличие от машин Тьюринга НАМ — это "чистый” алгоритм, который не связан ни с каким "аппаратным обеспечением” (лентой, кареткой и т.п.). НАМ преобразует одно слово (цепочку символов некоторого алфавита) в другое и задается алфавитом и системой подстановок. Алфавитом будем называть любое непустое множество. Его элементы называются буквами, а любая последовательность букв – словами в данном алфавите Для удобства рассуждений допускается пустое слово, которые обозначим Слова будем обозначать буквами Р, Q, R и с индексами Формулой подстановки называется запись вида α→β (читается «α заменить на β»), где α и β – любые слова (возможно, и пустые). При этом α называется левой частью формулы, а β – правой частью. Сама подстановка (как действие) задается формулой подстановки и применяется к некоторому слову Р. Суть операции сводится к тому, что в слове Р отыскивается часть, совпадающая с левой частью этой формулы (т.е. с α), и она заменяется на правую часть формулы (т.е. на β). При этом остальные части слова Р (слева и справа от α) не меняются. Получившееся слово R называют результатом подстановки. Условно это можно изобразить так: Правила выполнения НАМПрежде всего, задается некоторое входное слово Р. Работа НАМ сводится к выполнению последовательности шагов. На каждом шаге входящие в НАМ формулы подстановки просматриваются сверху вниз и выбирается первая из формул, применимых к входному слову Р, т.е. самая верхняя из тех, левая часть которых входит в Р. Далее выполняется подстановка согласно найденной формуле. Получается новое слово Р′. На следующем шаге это слово Р′ берется за исходное и к нему применяется та же самая процедура, т.е. формулы снова просматриваются сверху вниз начиная с самой верхней и ищется первая формула, применимая к слову Р′, после чего выполняется соответствующая подстановка и получается новое слово Р′′. И так далее: Р → Р′ → Р′′ → … Следует обратить особое внимание на тот факт, что на каждом шаге формулы в НАМ всегда просматриваются начиная с самой первой. Необходимые уточнения: 1. Если на очередном шаге была применена обычная формула (α→β), то работа НАМ продолжается. 2. Если же на очередном шаге была применена заключительная формула (α ו β), то после её применения работа НАМ прекращается. То слово, которое получилось в этот момент, и есть выходное слово, т.е. результат применения НАМ к входному слову. Марковской подстановкой (Р,Q) называется следующая операция над словами: в заданном слове R находят первое вхождение слова Р и, не изменяя остальных частей слова R, заменяют в нем это вхождение словом Q Рассмотрим упорядоченную пару слов (Р,Q) Замечание: 1) Полученное слово называется результатом применения марковской подстановки (Р,Q) к слову R 2) Если первого вхождения слова Р в слово R нет (и, следовательно, вообще нет ни одного вхождения Р в R), то считается что марковская подстановка (Р,Q) не применима к слову R Частными случаями марковских подстановок являются подстановки с пустыми словами: (,Q), (P, ), (,) Для обозначения марковской подстановки (Р,Q) используют запись Р Q Эту запись называют формулой подстановки (Р,Q) Различают простые подстановки Р Q и заключительные подстановки Р ו Q Пример Данное слово: 521421 Подстановка: 21 3 Результат подстановки: 5343 Пример Данное слово: 521421 Подстановка: 21 ו Результат подстановки: 5421 Пример Данное слово: 521421 Подстановка: 25 7 Результат подстановки: Не применима Создавать - лучше, чем уничтожать, а дарить - лучше, чем принимать |