О НАЗНАЧЕНИИ ПОЛЮСОВ В МНОГОВХОДНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМА. О назначении полюсов в многовходных управляемых линейных системах
 Скачать 0.91 Mb.
|
|
ЛЕММА 3: Пусть  управляемо, а  циклически. Существует такой вектор  , что  является управляемым.Доказательство: для  пусть  будет минимальный полином в  , а  циклическое подпространство, порожденное . Таким образом,  , и, если a является минимальный полином , .Пусть  - будет генератором . Существуют многочлены  такое что  ,  . Существование действительных чисел  , будет доказано, что  генерирует . По лемме 2 достаточно выбрать так, чтобы взаимно с  .Для этого сначала отметим, что  . (5)На самом деле, если  это наибольший общий делитель слева, то  ,  для подходящих полиномов  и  . Потом , .Таким образом  ,  ; следовательно, по определению наименьшим общим кратным,  , то есть  .Наконец, обратите внимание, что и  взаимно просты тогда и только тогда, когда  ,  , где  - (комплексные) нули  . В силу (5) величины  , , не могут все обращаться в нуль для любого . Следовательно, числа  с требуемым свойством существуют.Следующее наблюдение будет полезно; простое доказательство опущено. ЛЕММА 4: Если является управляемым и  является матрицей  , то  является управляемым.Также используется концепция соответствия. Пусть  - инвариантное подпространство в , то есть  всякий раз, когда  . Подпространство  инвариантно  , если  подразумевает , где  и  . Напишите  , если  . Векторы  линейно независимы , если из соотношения  следует  , для всех множеств скаляров  . Для некоторого  пусть  будет наибольшим целым числом таким, чтобы векторы линейно независимы , и пусть  будет их пролетом. Тогда является циклическим ; ясно, что инвариантен . Относительное минимальный полином для - это (уникальный) нормированный многочлен  наименьшей степени такой, что  для всех .2) Доказательство необходимости: Теперь можно доказать необходимость. Пусть  обозначает -й столбец  : .Пусть  быть циклическим подпространством, порожденным , и положить  . Поскольку  является управляемым, но в целом не являются независимыми. Тем не менее, можно записать как прямую сумму ,  (6)где определенные подпространства  . Чтобы увидеть это, предположим, что  , и определим  . Если  то пусть  ,  , будет наибольшим целым числом, таким, что векторы линейно независимы, и пусть  будет пролетом  . Тогда является циклическим  , с относительным минимальный полином степени . Продолжая таким образом, для  определим  ,  , чтобы быть наибольшим целым числом таким, чтобы векторы. линейно независимы, и пусть  будет пролетом  . Тогда циклическое  с относительным минимальный полином степени  . Если на любом этапе  , то  пропускается. Переупорядочив столбцы , если это необходимо, можно организовать, что для  векторы порождают независимые подпространства , где либо  , либо  . Поскольку  , если  ,  , то следует, что (6) верно и, следовательно,  .Далее  трансформируется в удобную стандартную форму.Позволять  ,  (7)быть относительным минимальный полином для  или абсолютным минимальный полином для в случае  . Следуя Лангенхопу [2], ввести векторы ,  ,  (8а)где суммирование не появляется в случае  ; то есть, , . (8b)Понятно, что для каждого векторы  , являются независимыми линейными комбинациями векторов  , и, следовательно, весь набор  , является основой для . Заметим, что для   ,  (9a)Кроме того, из-за того факта, что относительное минимальный полином  имеет степень , следует (см. (7)) ,  (9b)для некоторых скаляров  , и где двойное суммирование не появляется, если . Затем, используя (9), вычислите форму , рассматриваемой как линейное преобразование в , относительно базиса  . То есть пусть  будет матрицей с векторами столбцов в только что написанном порядке, и пусть  . Тогда  имеет блочную форму . (10)В (10) матрицы  встречающиеся на диагонали  являются сопутствующими матрицами  . , (11)и матрицы  имеют размерность  .Наконец,  , где (12a)здесь  (12b)и  - матрица  , которая не появляется, если .Чтобы проверить детали (10), (ll) и (12), отметим, что  является столбцом компонентов  в базисе  .Таким образом,  -й столбец  - это список компонентов, в этом базисе,  , где - это -й базисный вектор. Этот список можно прочитать из (9). Аналогично  является столбцом компонент  , так что (12) сразу следует из (8b).С  в канонической форме будет в конечном итоге показано, что собственные значения  могут быть заданы произвольно. Положим  и наблюдаем, что матрица  подобна под  к . Далее возьмите в виде (13)где  , .В верхний блок имеет размерность  , а нижний блок размера  . Из (10)- (13) видно, что где, для , .Пусть  будет определителем  , то есть . (14)Из треугольной формы  следует, что .Также из (14) ясно, что нули числа могут быть назначены произвольно (при условии сопряженности комплексных нулей) путем правильного выбора действительных коэффициентов  . Это показывает, что, в частности, система (1) всегда может быть стабилизирована путем соответствующего выбора  .Чтобы показать, что может быть назначен произвольный набор собственных значений  , необходимо учитывать тот факт, что матрицы  имеют фиксированную размерность. Если, например,  и  каждый имеют размерность  , невозможно назначить произвольную комплексную пару собственных значений путем независимой регулировки  . Это дополнительная сложность, связанная с ограничением реальных параметров. Для продолжения пусть  , где  имеет вид (13) и подчиняется только требованию, чтобы все собственные значения  были различны. Только что было замечено, что такой выбор возможен. Тогда по лемме 1 пространство циклически относительно матрицы . По лемме 4  является управляемым. Применяя лемму 3, можно найти  -вектор  такой, что  является управляемым. Теперь  для подходящей  вектор  . Таким образом, если  принимается в виде с  скаляром и вектором  , то система (1) становится .Наконец, поскольку теорема верна в случае с одним входом, можно выбрать в виде таким образом, что матрица  имеет требуемый набор собственных значений . То есть матрица «усиления» имеет обязательное свойство. Теорема доказана. |