О НАЗНАЧЕНИИ ПОЛЮСОВ В МНОГОВХОДНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМА. О назначении полюсов в многовходных управляемых линейных системах
 Скачать 0.91 Mb.
|
|
О НАЗНАЧЕНИИ ПОЛЮСОВ В МНОГОВХОДНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ Аннотация - Показано, что управляемость системы с разомкнутым контуром эквивалентна возможности присвоения произвольного набора полюсов матрице передачи системы с замкнутым контуром, образованной с помощью подходящей линейной обратной связи состояния. В качестве приложения этого результата показано, что система с разомкнутым контуром может быть стабилизирована линейной обратной связью тогда и только тогда, когда неустойчивые моды ее системной матрицы являются управляемыми. Показано, что двойственность этого критерия эквивалентна существованию наблюдателя типа Люнбергера для идентификации асимптотического состояния. Ключевые слова: управляемость системы, обратная связь, размещения полюсов, разомкнутой контур, критерия эквивалента, линейная система. ВВЕДЕНИЕ Рассмотрим систему  . (1)Здесь и далее все векторы и матрицы имеют вещественные элементы, а все матрицы являются константами. В (l)  и  - матрицы размерности  и  соответственно;  - это вектор  , обозначающий состояние, а  - вектор  , который, как обычно, обозначает внешний вход. Рассмотрим замкнутую систему, определяемую для некоторой  матрицы  и нового внешнего входа  .Тогда (1) становится  . (2)В приложениях часто желательно выбирать так, чтобы матрица  имела особые свойства, например, стабильность. Интуитивно понятно, что возможность такого выбора зависит от управляемости, в соответствующем смысле, состояния относительно . Эта статья посвящена свойству «размещение полюсов», которое, как показано, эквивалентно управляемости (1) в обычном смысле. Чтобы быть точным, учтите следующее быть произвольным набором из комплексных чисел  , так что любой с  появляется в  в сопряженной паре. Также напомним, что пара  (полностью) управляема тогда и только тогда, когда матрица   имеет полный ранг . Тогда основной результат, который нужно доказать, состоит в следующем.Теорема: Пара является управляемой тогда и только тогда, когда для каждого выбора множества существует матрица  , такая, что имеет для своего набора собственных значений. Другими словами, управляемость эквивалентна тому свойству, что матрица передачи с обратной связью  может быть назначен произвольный набор полюсов путем подходящего выбора матрицы «усиления» обратной связи .Если является -вектором ( ), указанный результат хорошо известен и становится очевидным после изменения базиса, которое преобразует к сопутствующей (рациональной канонической) форме и к форме где штрих обозначает транспонирование. Такой выбор базиса всегда возможен, если управляемо [l]. Чтобы доказать результат в общем случае, пара сначала преобразуется в каноническую форму, в которой система с несколькими входами представлена в виде треугольного массива, из которых диагональные блоки являются системами только что описанного типа. Это преобразование было использовано Лангенхопом [2], а затем в двойном контексте Бассом и Гурой [6] и Люнбергером [7]. Лангенхоп доказал теорему, аналогичную изложенной выше, в случае, когда  и где элементы матриц параметров могут быть произвольными комплексными числами. Существующее ограничение на матрицы с вещественными элементами, очевидно, препятствует немедленному результату Лангенхопа; но эта трудность преодолевается путем использования предварительных результатов.Доказательство теоремы. Аргумент Лангенхопа [2] применяется без изменений. Фактически, пусть  - это любые различные действительные числа, такие что  ,  . По предположению, существует векторов  , и  -матрица , такая тот , или  , . (3)поскольку  для подходящих рациональных функций  из (3) следует , . (4)Поскольку  различны, собственные векторы  матрицы  линейно независимы. Таким образом, (4) утверждает, что область  является целым пространством, то есть имеет ранг .Доказательство необходимости опирается на теорию циклических подпространств [3]. Для полноты предварительные результаты собраны ниже. 1) Предварительные результаты. Обозначим через  координату и пусть матрица будет фиксированной. Если  и  , пусть  будет наибольшим целым числом, таким, что векторы линейно независимы, и пусть  обозначает их размах. - циклическое подпространство, порожденное  . является циклическим, если существует  , такой что  , то есть такой, что  является управляемым. Минимальный полином для -это (единственный) нормированный многочлен  самой низкой степени, такой что  . Таким образом, генерирует тогда, когда минимальный полином для имеет степень . Минимальный полином из , как обычно, (уникальный) нормированный многочлен  наименьшей степени такой, что  ; является наименьшим общим кратным минимальный полином векторов . Очевидно, является циклическим, только если степень равна . Обратное утверждение можно сформулировать следующим образом.ЛЕММА 1: если минимальныйполином из имеет степень , то циклический, то есть существует  , такой что минимальный полином из является .В частности, условие леммы 1 выполняется, если собственные значения различны.Два нормированных полинома  ,  взаимно просты, если их наибольший общий делитель равен 1. Тогда [4] существуют такие полиномы  и  , что ЛЕММА 2: Пусть циклический, с минимальными полиномами  , и  является генератором [4]. Если  для некоторого полинома  и если и взаимно просты, то также является генератором .Обратное тоже верно, но не нужно. Доказательство: Пусть  будет минимальный полином от . Поскольку и взаимно просты, существуют и такие, что  . Таким образом .Если  произвольно, то для некоторого полинома  , ;тогда  , и поэтому  ( делит ). Поскольку - минимальный многочлен ,  . Следовательно,  , и поэтому генерирует . Доказательство завершено.Пусть - матрица  , как и раньше, и пусть  обозначает подпространство , натянутое на векторы столбцов . Очевидно, что если содержит генератор , то  является управляемым. Поскольку минимальный полином из может иметь степень меньше , обратное утверждение в общем случае ложно. Однако для циклического пространства верно следующее. |