G, которое мы называем циклическим изоморфизмом. А также приводится пример матричного представления такого циклического изоморфизма. Определение Если для k
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
Франц Герман Franz Hermann Франц Герман Теория циклического изоморфизма Общая теория В данной работе рассматривается свойство изоморфных подгрупп некоторой абстрактной группы G, которое мы называем циклическим изоморфизмом. А также приводится пример матричного представления такого циклического изоморфизма. Определение Если для k изоморфных подгрупп , , ..., некоторой группы G существуют преобразования 1 A 2 A k A 3 1 1 2 1 A a A a = − , , ..., , , где - изоморфные элементы соответствующих подгрупп , то такое преобразование будем называть циклическим изоморфизмом. Приступим к поискам циклического изоморфизма среди подгрупп го порядка. Таблица Кэли для таких групп имеет вид (Рис. 1). 0 a 1 a 0 a 0 a 0 a Рис. 1 Предположем, что мы имеем три подгруппы второго порядка (группы второго порядка всегда изоморфны, обладающие свойством циклического изоморфизма A:{ e, a }, B:{ e, b }, C:{ e, c }, , где e - нейтральный элемент. Каждый элемент в такой группе является обратным самому себе, поэтому можем записать aCa = B, cBc = A, bAb = C . (1) Циклический изоморфизм удобно изображать в виде диагрвммы (Рис. 2). A a b c B Рис. 2 - 1 - Франц Герман Franz Hermann Из равенств (1) легко получить обратные проебразования: aBa = C, cAc = B, bCb = A. A c b b b b b b b b b a a a a a a a a c c c c c c c c e e e e e e e e c b a a B C A B C d d d d d d d d f f f f f f f f Рис. 3 Очевидно, что обе диаграммы можно объединить. Рис. 4 Как видим, простейший циклический изоморфизм симметричен или, вернее сказать, по своему коммутативен, те. Из равенств рассмотренного циклического изоморфизма можно получить два таких выражения ab = bc = ca = d, ba = cb = ac = f. Нетрудно заметить, что элементы e, a, b, c, d, f образуют некоммутативную группу шестого порядка, изоморфную группе подстановок го порядка. Таблица Кэли такой группы показана на Рис. 5. Рис. 5 - 2 - Франц Герман Franz Hermann Для симметрической группы подстановок третьего порядка будем иметь такие соответствия ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 3 3 2 2 1 1 e , , , , , Всякая группа, изоморфная группе подстановок го порядка имеет три подгруппы, обладающие элементарным циклическим изоморфизмом. Данный изоморфизм мы назвали элементарным, т. кон построен для подгрупп минимального порядка. Перейдём к рассмотрению циклического изоморфизма для групп го порядка. Таблица Кэли для таких групп имеет вид 0 a 0 a 0 a 0 a 1 a 1 a 1 a 1 a 0 a Рис. 6 Пусть имеем три изоморфных подгруппы с элементами , , и нейтральным элементом е, для которых справедлив циклический изоморфизм. Зная тавлицу Кэли и определение циклического изоморфизма, можем записать i a i b i c C Ba a = 2 1 или i i c a b a = 2 1 , а отсюда получаем 2 1 1 2 a c a a b a i i = (2) Из равенства (2) замечаем, что т. кв левой и правой части сопряжённые элементы принадлежат одной и той же группе, аи- элементы других разных групп, тона основании определения циклического изоморфизма заключаем, что для существования циклического изоморфизма для подгрупп го порядка необходимо, как минимум, четырёх изоморфных подгрупп. Ниже мы вернёмся ещё к циклическому изоморфизму для подгрупп го порядка. Для циклического изоморфизма справедлива следующая Теорема Если среди подгрупп некоторой конечной группы G существуют хотя бы две изоморфные взаимнопростые подгруппы Аи В, и существует хотя бы один элемент , некоммутативный с подгруппой Вт. е. i a i i Ba B a ≠ ), то между подгрупп этого порядка существует циклический изоморфизм. - 3 - Франц Герман Franz Hermann Доказательство Пусть некоторая группа G имеет две изомофные подгруппы Аи В, и существует элемент , такой, что . Здесь под некоммутативностью элемента и подгруппы В имеется ввиду, что и образуют разные подгруппы в группе G. Очевидно, что элементы также образуют подгруппу, причём в силу неравенства - это будет подгруппа, отличная от подгрупп Аи В, но изоморфная им. Обозначим её Рассмотрим элементы , где - элемент соответственно изоморфный элементу . В силу изоморфизма подгрупп А, В и С, элементы вновь образуют подгруппу, изоморфную данным. Т. к. группа G конечная, то она имеет конечное число подгрупп. Продолжая наши построения подобным образом, мы в конце концов получим элементы уже существующей подгруппы. Те. получаем, согласно определения, циклический изоморфизм прдгрупп А, В, С, .... Что и требовалось доказать. Циклический изоморфизм может быть довольно сложным. Мы убедимся в этом уже при рассмотрении подгрупп группы подстановок го порядка. Среди подгрупп данной группы можно выделить три изоморфных подгруппы четвёртого порядка А, В, С. Причём существует элемент такой, что Следовательно, в силу вышеизложенной теоремы, данные подгруппы связаны циклическим изоморфизмом. В этом нетрудно убедиться. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 4 1 3 4 2 3 1 , 3 4 2 3 1 2 4 1 , 1 4 4 3 3 2 2 1 , : 3 2 1 a a a e A , ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 1 4 2 3 3 2 4 1 , 2 4 4 3 1 2 3 1 , 3 4 1 3 4 2 2 1 , : 3 2 1 b b b e B , ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 3 4 4 3 1 2 2 1 c , 2 4 1 3 3 2 4 1 c , 1 4 2 3 4 2 3 1 c , : 3 2 1 e C , здесь Таблица Кэли для таких групп имеет вид 0 a 0 a 0 a 0 a 1 a 1 a 1 a 1 a 0 a 1 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 0 a 1 a 2 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a Рис. 7 - 4 - Франц Герман Franz Hermann Элементом, отвечающим требованиям теоремы о циклическом изоморфизме, является элемент и, сответственно, - , т. к. . Получаем такой циклический изоморфизм 1 a 2 a 1 1 2 − = a a C Ba a = −1 1 1 , , (3) A Cb b = −1 1 1 B Ac c = −1 1 1 A B Рис. 8 Из равенств (3) легко получить обратные преобразования циклического изоморфизма. B Ca a = −1 2 2 , , A Bc c = −1 2 2 C Ab b = −1 2 2 A 2 c 2 b B Рис. 9 Элемент не отвечает условиям нашей теоремы, поэтому для построения циклического изоморфизма не годится. Кроме данных подгрупп этой группы существует ещё четыре подгруппы третьего порядка, отвечающие условиям нашей теоремы. Таблицу Кэли для таких групп мы показали на Рис. Ранее мы говорили, что для существования циклического изоморфизма среди подгрупп го порядка необходимо как раз не менее четырёх изоморфных подгрупп. Введём соответствующие обозначения и покажем диаграммы циклического изоморфизма для этих подгрупп. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 4 4 3 3 2 1 1 , 3 4 2 3 4 2 1 1 , : 2 1 a a e A , , ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 3 4 1 3 2 2 4 1 , 1 4 4 3 2 2 3 1 , : 2 1 b b e B ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 1 4 3 3 4 2 2 1 c , 2 4 3 3 1 2 4 1 c , : 2 1 e C , ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 4 4 2 3 1 2 3 1 d , 4 4 1 3 3 2 2 1 d , : 2 1 e D - 5 - Франц Герман Franz Hermann A A B C 1 c 1 b 1 a B C 2 c 2 b 2 a B C 1 c 1 b B C 2 c 2 b D D 1 d 2 d A C 1 c A C 2 c D D 1 d 2 d 1 a 2 a A B A B D Рис. 10 В данном случае равенство (2) принимает вид Среди элементов симметрической группы го порядка осталось ещё 6 элементов, каждый из которых в совокупности с нейтральным элементом образует подгруппу второго порядка. Причём, оставшиеся элементы отвечают требованиям теоремы о циклическом изоморфизме. Следовательно, между оставшихся подгрупп существует циклический изоморфизм. Введём обозначения ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 3 4 4 3 2 2 1 1 a , , , , , Подгруппы второго порядка, содержащие данные элементы, обозначим соответственно A, B, C, D, F и H, тогда - 6 - Франц Герман Franz Hermann A B F A c h c h d d b f a D C b D H f B C a F Рис. 11 Как видим изданных примеров, циклический изоморфизм довольно разнообразен. Теперь займёмся построением группы, подгруппы которой образовывали бы циклический изоморфизм, имеющий четырёхугольную диаграмму Рис. 12. d A B C D c Рис. 12 Простейшие равенства циклического изоморфизма будут иметь вид aBa = C, bCb = D, cDc = A, dAd = B. Перепишем эти равенства, введя обозначения, как принято в опренделении циклического изоморфизма 3 1 2 1 A a A a = , , , (4) Т. к. мы хотим построить простейшую из возможных групп, то будем считать, что все подгруппы , , и второго порядка. Из равенств (4) получаем дополнительные соотношения , 5 3 1 1 2 4 3 a a a a a a a = = = 6 1 3 2 1 3 4 a a a a a a a = = = , 7 3 2 2 4 4 1 a a a a a a a = = = , . И, кроме этого, необходимо ввести ещё один элемент, определяемый равенством Получаем группу го порядка, имеющую такую таблицу Кэли (Рис. 14). Из теории абстрактных групп известно, что групп го порядка существует только две. Одна из них Абелева, другая нет. Мы построили не Абелеву группу, представляющую собой прямое произведение двух групп, второго и пятого порядков. Также известно, что такая группа имеет одну подгруппу го порядка и пять подгрупп го порядка. Действительно, кроме данных нами подгрупп го порядка , , и , мы имеем ещё одну подгруппу 1 A 2 A 3 A 4 A : 9 A { } |