G, которое мы называем циклическим изоморфизмом. А также приводится пример матричного представления такого циклического изоморфизма. Определение Если для k

• Название: G, которое мы называем циклическим изоморфизмом. А также приводится пример матричного представления такого циклического изоморфизма. Определение Если для k
• Анкор: 187044
• Дата: 03.03.2020
• Размер: 0.53 Mb.
• Имя файла: 187044.pdf
• Тип: Документы; #110661
• страница: 4 из 4

n
n
S
S
S
S
1
1
2
1
3
2
±
−
±
+
=
и
( )
( Используя последние равенства несложно доказать, что
( )
( )
n
m
n
m
S
S
S
S
3
1
2
1
±
−
±
+
=
,
( )
( )
n
m
n
m
S
S
S
S
1
2
3
2
±
−
±
+
=
,
( )
( )
n
m
n
m
S
S
S
S
2
3
1
3
±
−
±
+
=
- 16 -

Франц Герман Franz
Hermann То, мы доказали, что для групп
,
, справедлив циклический изоморфизм
1
G
2
G
3
G
3
1
2
1
G
S
G
S
=
−
+
,
1
2
3
2
G
S
G
S
=
−
+
, В заключение приведём пример конкретных групп матриц Паули го порядка, для которых справедлив циклический изоморфизм. Предварительно покажем вывод формулы для нахождения кубических корней из квадратных матриц го порядка. Эта формула понадобится нам в дальнейшем. Пусть и такая, что и
( )
( Развернув равенство
A
X
=
3
, получаем такую систему уравнений Сделаем преобразования уравнения (17).
(
)
( )
(
)
(
)
11
22
11
3
22
11
3
11
22
11
21
12
3
11
2
det
2
a
x
x
A
x
x
x
x
x
x
x
x
=
+
−
+
=
+
+
( )
( )
=
−
+
−
+
3
22
2
22
11
3
11
22
2
11
3
11
det
det
2
2
A
x
x
x
A
x
x
x
x
(
)
( )(
)
( )
=
−
+
−
+
+
=
3
11
22
11
3
2
22
22
11
2
11
11
det
det
2
A
x
x
x
A
x
x
x
x
x
(
)
( )
(
)
(
)
( Аналогично находим
(
)
( )
(
)
(
)
( Два последних равенства перепишем таким образом
( )(
)
(
)
( )
( )(
)
(
)
( )
3
2
22
11
22
11
3
22
22
det
det
A
x
x
x
x
A
a
x
−
+
+
+
=
3
2
22
11
22
11
3
11
11
det
det
A
x
x
x
x
A
a
x
−
+
+
+
=
, Сложим левые и правые части полученных выражений
- 17 -

Франц Герман Franz
Hermann
( )(
)
(
)
( )
3
2
22
11
22
11
3
22
11
22
11
det
det
2
A
x
x
x
x
A
a
a
x
x
−
+
+
+
+
=
+
, или
(
)
( )(
)
( Обозначив
, получаем характеристическое уравнение
t
x
x
=
+
22
11
( ) (
)
0
det
3
22
11
3
3
=
+
−
−
a
a
A
t
t
(21) Решив это уравнение, можно найти
t
, и далее и
, где
11
x
22
x
( )
( )
3
2
3
11
11
det
det
A
t
A
t
a
x
−
⋅
+
=
,
( )
( Из уравнений (18) и (19) находим
( )
3
2
12
12
det A
t
a
x
−
=
,
( )
3
2
21
21
det Получаем общую формулу
( )
( )
(
)
E
A
t
A
A
t
A
3
3
2
3
det
det
1
⋅
+
−
=
(22) Характеристическое уравнение (21) для матриц Паули имеет вид
0
3
3
=
+ Откуда
,
0
1
=
t
3
2
i
t
=
,
3
3
i
t
−
=
. И формула (22) будет выглядеть таким образом На основании последней формулы получаем
k
k
S
S
=
3
,
(
)
( )
3
1
3
3
2
1
k
k
k
S
E
i
S
S
+
+
=
−
−
=
,
(
)
( Ранее мы показали, что
( )
(
iE
S
i
S
k
k
+
=
+
2
1
2
1
)
, тогда
( ) ( ) ( )
(
)
(
)
=
+
−
−
=
=
+
+
+
iE
S
E
i
S
i
S
S
S
k
k
k
k
k
3
2
2
1
6
5
3
1
2
1
- 18 -

Франц Герман Franz
Hermann
(
)
(
) (Мы помним также, что
( )
( )
6
1
6
5
k
k
k
S
S
S
−
+
=
, те) (Но
( )
6
1
k
S
−
- это как рази есть образующий элемент для группы
го порядка. Вычисляя различные степени этого элемента, можно найти все элементы группы При вычислении матриц мы должны помнить, что
2
4
−
=
(или
i
2
4
−
=
−
), т. к. это условие последнего уравнения системы (11).
- 19 -