G, которое мы называем циклическим изоморфизмом. А также приводится пример матричного представления такого циклического изоморфизма. Определение Если для k
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
i C 4) , , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 1 1 0 A ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 1 B ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 0 0 i i C 5) , , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 1 A ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 1 0 B ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 0 0 i i C 6) , , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 1 A ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 1 1 0 B ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 0 0 i i C 7) , , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 1 0 A ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 1 B ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 0 0 i i C - 12 - Франц Герман Franz Hermann 8) , , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 1 1 0 A ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Для всех матриц этих решений справедливо общее свойство iC AB − = , iA BC − = , iB CA − = . (12) Параллельно заметим, что матрицы наших решений, в совокупности с матрицами и , образуют известную группу кватернионов. Здесь - нейтральный элемент группы, , , , , , , . В качестве групповой операции « o » между элементами выполняется действие ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ i i 0 0 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − i i 0 0 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = i i a 0 0 0 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 1 1 a ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 1 0 2 a ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 0 0 3 i i a ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 0 0 4 i i a ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 1 1 0 5 a ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 1 6 a ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = i i a 0 0 7 j i j i a ia a a − = o . Таблица Кэли такой группы имеет вид 0 a 0 a 0 a 0 a 1 a 1 a 1 a 1 a 0 a 1 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 0 a 1 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 0 a 0 a 0 a 0 a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 3 a 3 a 3 a 3 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 5 a 5 a 5 a 5 a 5 a 5 a 5 a 5 a 5 a 5 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a Рис. 16 На этом мы оставим поиск других решений систем уравнений (11) и (6) и покажем в общем виде, как строятся группы, порождаемые матрицами Паули, которые обладают свойством циклического изоморфизма. - 13 - Франц Герман Franz Hermann Группы матриц Паули Введём обозначения для матриц Паули, принятые в большинстве известной нам литературы. ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 1 1 S , , Пусть S – любая из матриц Паули. Тогда S S = Е = , . Пусть ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 0 0 1 ( ) 1 det − = S n S 1 + и n S 1 − - два сопряжённых корня ой степени из матрицы S, причём такие, что n S 1 + n S 1 − = n S 1 − n S 1 + = Е, (13) тогда множество матриц G = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − − − − + + + n n n n n n n n S S S S S S S E 1 2 1 1 2 1 , ,..., , , ,..., , , образует циклическую группу го порядка. Убедимся, что G – циклическая группа. Любые два элемента из множества G коммутативны, т. к. каждый из взятых элементов представляет собой целую степень элемента n S 1 + или элемента n S 1 − , с учётом (13). Проверим аксиомы группы. 1. На множестве G в качестве групповой операции используется операция умножения матриц, для которой справедлив ассоциативный закон. 2. Е – нейтральный элемент. 3. Для каждого элемента из G имеется ему обратный n k S + n k S − = Е. 4. Покажем, что для любых двух элементов из G их произведение является тоже элементом из G. 1). Рассмотрим произведение n k S + n m S + = n m k S + + , где n k < , n m < . а. Пусть , тогда n m k ≤ + n m k S + + ∈ G. б. Пусть . Представим n m k > + n m k S + + в следующем виде ( ) ( ) n m k n n m k n n n m k n n m k n n m k n m k S S S S S S S + − − + − − − + − − + + − + + + + = = = 2 2 , ат. к. и , n m k > + n k < n m < , то ( ) n m k n < + − 2 . Следовательно, ( ) G S S n m k n m k n ∈ = + + + − − 2 - 14 - Франц Герман Franz Hermann 2). Рассмотрим произведение n k S + n m S − , где n k < , n m < . а. Пусть , тогда m k > n k S + n m S − = n m k S − + n m S + n m S − = n m k S − + ∈ G. б. Пусть, тогда очевидно, что m k = n k S + n m S − = Е. 3). Рассмотрим произведение n k S + (или S n k S − ). S n k S + = S n k S + n k S − n k n S − − = n k n S − − ∈ G. Теперь покажем, что элемент n S 1 + (или n S 1 − ) является образующим элементом группы G. Очевидно, что все элементы слева от (см. запись множества G), кроме Е, являются степенями элемента S n S 1 + от 1 до n-1. Рассмотрим 1 1 + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n n S 1 1 + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n n S = S n S 1 + = n n S 1 − − n S 1 − n S 1 + = Элемент n n S 1 − − - первый из элементов, расположенных справа от элемента (см. запись множества G). S 2 1 + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n n S = n n S 2 − − , и т. д. Рассмотрим элемент 1 2 1 − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n n S 1 2 1 − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n n S = ) 1 ( 1 − + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n n n S = S n n S 1 − + = n S 1 − n n S 1 − − n n S 1 − + = n S 1 − , тогда n n S 2 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = n S 1 − n S 1 + = Е. То, мы доказали, что множество G является циклической группой го порядка. Группы G в дальнейшем будем называть группами матриц Паули. Покажем, что группы матриц Паули го порядка (n – чётное) обладают циклическим изоморфизмом. Напомним, что = , = 1 S 2 S i − 3 S 2 S 3 S i − , = 1 S 3 S 1 S i − 2 S - 15 - Франц Герман Franz Hermann Группу, порождаемую матрицей , будем обозначать . То, мы имеем три группы матриц Паули , , . Запишем в общем виде выражения для сопряжённых корней квадратных из матрицы k S k G 1 G 2 G 3 G k S ( ) iE S i S k k + = + 2 1 , Нетрудно убедиться, что 3 1 2 1 ± − ± + = S S S S , (14) 1 2 3 2 ± − ± + = S S S S , (15) 2 3 1 3 ± − ± + = S S S S , (16) Докажем, что ( ) ( Преобразуем равенство (14) следующим образом ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 ... − ± ± ± + − ± + = S S S S S S S S n n n , где сомножитель ( ) n S 1 2 ± используется 2 n раз. Правую часть, полученного выражения, можно представить в таком виде ( ) ( ) ( ) ( ) ∏ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ± + − ± + − ± + − ± + 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 ... n n n n n S S S S S S S S S S S S , но ( ) ( Отсюда заключаем, что ( ) ( Аналогично доказывается, что ( ) ( ) |