G, которое мы называем циклическим изоморфизмом. А также приводится пример матричного представления такого циклического изоморфизма. Определение Если для k
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
9 0 ,a a , а элементы , , , , образуют подгруппу го порядка. Т. к. элемент отвечает требованиям нашей теоремы, то кроме заданного циклического изоморфизма мы получаем ещё четыре подобных. 9 a - 7 - Франц Герман Franz Hermann - 8 - 0 a 0 a 0 a 0 a 1 a 1 a 1 a 1 a 0 a 1 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 0 a 1 a 2 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 5 a 5 a 5 a 5 a 5 a 5 a 5 a 5 a 5 a 5 a 5 a 5 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 7 a 7 a 7 a 7 a 7 a 7 a 7 a 7 a 7 a 7 a 7 a 7 a 8 a 8 a 8 a 8 a 8 a 8 a 8 a 8 a 8 a 8 a 8 a 8 a 9 a 9 a 9 a 9 a 9 a 9 a 9 a 9 a 9 a 9 a 9 a 9 a 1 A 2 A 3 A 4 A 1 a 2 a 3 a 4 a 1 A 2 A 3 A 1 a 2 a 3 a 9 A 9 a 1 A 2 A 3 A 4 A 1 a 2 a 4 a 1 A 2 A 1 a 2 a 3 a 9 A 9 a 4 A 9 A 4 a 9 a 3 A 3 a 4 A 9 A 4 a 9 a 1 A 2 A 3 A 4 A 9 A 1 a 2 a 3 a 4 a 9 a 1 a 2 a 3 a 4 a 9 a Рис. 13 Рис. 14 Данный циклический изоморфизм интересен тем, что для каждой отдельной из пяти полученных четырёхгранных диаграмм не существует обратных диаграмм. Все пять подгрупп можно объединить одной диаграммой (Рис) Рис. 15 Франц Герман Franz Hermann О существовании пятой подгруппы можно было сделать заключение и из анализа равенств (4). На этом мы закончим исследование общих вопросов и приступим к построению матричного представления циклического изоморфизма. Матричное представление Следует заметить, что однотипным (изоморфным) циклическим изоморфизмом могут быть связаны подгруппы необязательно изоморфных групп, поэтому мы будем строить матричное представление именно циклического изоморфизма, а не матричное представление абстрактных групп. Построим циклический изоморфизм для матричных групп го порядка, состоящих из матриц го порядка. Таблица Кэли таких групп показана на Рис. 7. Рассмотрим частный случай раенств (3). 3 1 1 3 1 c a b a = − , , (5) 3 1 1 3 1 a b c b = − 3 1 1 3 1 b c a c = − Cопоставим каждому элементу, искомых групп, некоторую матрицу второго порядка. E a = 0 , + = A a 1 , − − = = A a a 1 1 2 , A a = 3 , где Е – единичная матрица, + A , − A - сопряжённые корни квадратные из матрицы А, причём E A = 2 , + A − A = − A + A = Е. Сделаем аналогичные сопоставления и для элементов других двух групп. E b = 0 , + = B b 1 , − − = = B b b 1 1 2 , B b = 3 , E c = 0 , + = C c 1 , − − = = C c c 1 1 2 , Тогда на основании равенств (5) получаем следующую стстему матричных уравнений представления циклического изоморфизма. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = − + − + − + B C A C A B C B C A B A (6) Мы должны помнить, что буквами А, В, С теперь обозначаются матрицы, а не группы. Так как наши матрицы А, В, С обладают одними и теми же свойствами, то мы введём для них общее обозначение Х, где Х ХЕ) Рассмортим в развёрнутом виде условия (7). - 9 - Франц Герман Franz Hermann Отсюда получаем ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + = + = + 0 0 1 1 22 11 21 22 11 12 21 12 2 22 21 12 2 11 x x x x x x x x x x x x (8) Кроме этого, из ( ) ( ) 1 det det = ⋅ X X , следует ( ) 1 det ± = X . Для нахождения матриц + X и − X воспользуемся формулой (9), которая несложно выводится и её вывод мы здесь опускаем. ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ± ± ± + ± = ± X x x x X x X x x X det det det 2 1 22 21 12 11 22 11 , (9) при ( Рассмотрим произведение сопряжённых корней из матрицы Х. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + − − ⋅ + + + = − + X x x X E X X x x X E X X X det 2 det det 2 det 22 11 22 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Отсюда получаем ( ) ( ) ( ) 1 det 4 1 det 2 22 11 = − + − X x x X . (10) Ранее мы отмечали, что ( ) 1 det ± = X , но заметим, что при равенство (10) становится противоречивым, следовательно ( ) 1 det = X ( ) 1 det − = X . Тогда, с учётом (10), получаем такую систему уравнений. ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = + + = + = + = + = + 2 4 0 0 1 1 2 22 11 22 11 21 22 11 12 21 12 2 22 21 12 2 11 x x x x x x x x x x x x x x (11) - 10 - Франц Герман Franz Hermann Теперь можем приступить к поиску простейших решений системы уравнений (11), которые бы удовлетворяли решениям системы (6). Рассмотрим случай, когда 0 21 12 = = x x , тогда . Помним, что . То. получаем такие решения 1 2 22 2 11 = = x x ( ) 1 det − = X 1) , , или 0 21 12 = = x x 1 11 = x 1 22 − = x ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 1 X 2) , , или 0 21 12 = = x x 1 11 − = x 1 22 = x ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Очевидно, эти решения удовлетворяют системе (11). Рассмотрим второй простейший случай, когда 0 22 11 = = x x , Т. кто. Получаем такие простейшие решения 1 21 12 = x x 3) , , или 0 22 11 = = x x 1 12 = x 1 21 = x ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 1 0 X 4) , , или 0 22 11 = = Решения 1) – 4) все удовлетворяют матрицам А, В, С. Рассмотрим всевозможные пары решений 1) – 4), может быть, какая-то пара из них удовлетворяет системе уравнений (6). Рассмотрим решения 1) и 2), пусть , . Вычислим по формуле (9) сопряжённые квадратные корни ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 1 A ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 1 B + A и − A . ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − + = + i i i A 1 0 0 1 2 1 , Подставим полученные матрицы в первое уравнение системы (6). = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − + = − + i i i i i i A B A 1 0 0 1 2 1 1 0 0 1 1 0 0 1 2 1 B = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Заметим, что мы взяли 2 4 − = , т. к. это условие пятого уравнения системы (11) прите, в нашем случае, 0 22 11 = + x x 0 22 11 = + То. получаем , что противоречит первому уравнению системы (6). Поменяв местами матрицы Аи В, также приходим к противоречию. Решения 3) и 4) также не удовлетворяют первому уравнению системы (6). - 11 - Франц Герман Franz Hermann Рассмотрим решения 1) и 3). Пусть , . Находим сопряжённые корни квадратные из матрицы А, подставляем полученные выражения в первое уравнение системы (6) и получаем в результате новую матрицу Нетрудно проверить, что матрица С удовлетворяет и системе уравнений (11). Проверим, удовлетворяет ли матрица С второму уравнению системы (6). Находим ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + i i i B 1 1 2 1 , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − = − i i i B 1 1 2 1 и подставляем во второе уравнение системы (6). Аналогично убеждаемся, что матрицы А, В, С удовлетворяют и третьему уравнению системы (6). Таким образом, мы получаем первое представление циклического изоморфизма для трёх групп четвёртого порядка, порождаемое матрицами 1) , , Как видим, матрицы А, В, С ничто иное, как известные матрицы Клиффорда- Паули. Проводя аналогичные действия, получаем и другие простейшие решения системы уравнений циклического изоморфизма. 2) , , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 1 0 A ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 1 B ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 0 0 i i C 3) , , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 1 A ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 1 1 0 B ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 0 0 i |