линал типовые задачи к 2022. Тип.задачи.к.экз.2022 (1). Образцы практических заданий в экз билетах по Лин алг и. анал геом

• Название: Образцы практических заданий в экз билетах по Лин алг и. анал геом
• Анкор: линал типовые задачи к 2022
• Дата: 20.06.2022
• Размер: 90.18 Kb.
• Имя файла: Тип.задачи.к.экз.2022 (1).docx
• Тип: Исследование; #606824

Образцы практических заданий в экз. билетах по «Лин.алг.и.анал.геом» в летнюю сессию 2022.

Общие сведения о предстоящем экзамене. В билете

под №1 стоит вопрос по теории, который оценивается от 0 до 5 баллов.

под №№2-6 стоят задачи, которые оцениваются от 0 до 9 баллов.

На экзамен отводится 70 минут. Для положительной оценки следует набрать не менее 15 баллов, при этом две какие-то задачи должны быть решены полностью. Если на экзамене набрано менее 16 баллов, то ставится оценка «неудовлетворительно» и набранные за семестр баллы за активность «сгорают». Если по билету набрано 16 и более баллов, то к набранным баллам прибавляются баллы за активность. В этом случае оценка выставляется по критерию:

16-45 баллов – «удовлетворительно»;

46-60 баллов – «хорошо»;

61-75 баллов – «отлично».

Если по билету набрано 50 баллов, то без учета баллов за активность выставляется оценка «отлично».

Задачи под №2. Исследование и решение линейных алгебраических уравнений

2.1. Дана система уравнений с параметром

1) При каких значениях параметра система совместна?

2) При каких значениях параметра система несовместна?

3) При каких значениях параметра общее решение системы является 0-мерным линейным пространством?

4) При каких значениях параметра общее решение системы является линейным пространством?

5) При каких значениях параметра общее решение системы не является линейным пространством?

6) При каких значениях параметра общее решение системы является 0-мерным линейным пространством?

7) При каких значениях параметра общее решение системы является 1-мерным линейным пространством?

8) При каких значениях параметра общее решение системы является 2-мерным линейным пространством?
2.2. Критерием Кронекера-Капелли исследовать систему уравнений на совместность (несовместность).



2.3. Найти общее решение неоднородной системы



И выделить из него частное решение системы и общее решение соответствующей однородной системы.

2.4. Найти общее решение и ФСР однородной системы

.
Задачи под №3. Матрица перехода от одного базиса к другому. Отображение, оператор, линейный

оператор. Матрица линейного оператора. Образ, ядро, ранг, дефект линейного оператора.

3.1. Записать матрицу перехода от базиса к новому базису линейного пространства

3.2. Записать матрицу перехода от базиса к новому базису линейного пространства .

3.3. Каким является отображение (оператором или линейным оператором) множества по закону , где - заданные квадратные матрицы второго порядка?

3.4. Доказать, что отображение в пространстве многочленов не является линейным оператором.

3.5. Доказать, что отображение в пространстве многочленов является линейным оператором.

3.6. Является ли линейный оператор обратимым?

3.7. Найти образ и ранг (ядро и дефект) линейного оператора , если , , .

3.8. В 3-мерном линейном пространстве в базисе вектор имеет координаты . Найти координаты этого вектора в новом базисе , где .

Задачи под №4. Собственные числа и собственные векторы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием координат.

4.1. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы . Будет ли линейный оператор с такой матрицей линейным оператором простого типа?
4.2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы . Будет ли линейный оператор с такой матрицей линейным оператором простого типа?
4.3. Линейный оператор простого типа в базисе имеет матрицу . Найти собственный базис этого оператора.
4.4. Найти собственный ортонормированный базис линейного самосопряженного оператора имеющего в ортонормированном базисе евклидова пространства матрицу .

4.5. К какому каноническому виду приводится квадратичная форма ортогональным преобразованием координат? Найти это преобразование координат.

Задачи под №5. Евклидово пространство, скалярное произведение, матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базисы. Метод Грама-Шмидта ортогонализации системы векторов.

5.1. В евклидовом пространстве в базисе матрица Грама равна . - новый базис, . Записать формулы для скалярного произведения в базисах и .

5.2. В двумерном евклидовом пространстве в базисе матрица Грама равна . Найти угол между векторами .

5.3. В евклидовом пространстве в базисе матрица Грама равна . При каких значениях параметра векторы ортогональны.

5.4. Какие из приведенных ниже матриц являются матрицами Грама в 3-мерном евклидовом пространстве:

5.5. В евклидовом пространстве в базисе матрица Грама равна . Вычислить скалярное произведение векторов .

Задачи под №6. Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичных форм методом Лагранжа к каноническому виду. Индексы инерции квадратичной формы. Критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы. Ортогональные матрицы, ортогональные преобразования координат.

6.1. Дана билинейная форма . Найти соответствующую ей квадратичную форму, методом Лагранжа привести ее к каноническому виду, найти индексы инерции, и исследовать на знак квадратичную форму (т.е. является квадр.форма знакопеременной или знакопостоянной со знаком плюс, или знакопостоянной со знаком минус, или положительно определенной, или отрицательно определенной).

6.2. Дана билинейная форма . Найти соответствующую ей квадратичную форму и с помощью критерия Сильвестра исследовать ее на положительную и отрицательную определенность.

6.3. Проверить, является ли ортогональной матрица ?

6.4. Проверить, будет ли преобразование координат по формулам ортогональным?