Линейные представления конечных групп( начало). Курсовая работа Заметки. Определение Моноид G, все элементы которого обратимы, называется группой. Другими словами, предполагаются выполненными следующие аксиомы.

• Название: Определение Моноид G, все элементы которого обратимы, называется группой. Другими словами, предполагаются выполненными следующие аксиомы.
• Анкор: Линейные представления конечных групп( начало
• Дата: 22.02.2022
• Размер: 21.78 Kb.
• Имя файла: Курсовая работа Заметки.docx
• Тип: Документы; #370282

Определение 1. Моноид G, все элементы которого обратимы, называется группой. Другими словами, предполагаются выполненными следующие аксиомы.

1) На множестве G определена бинарная операция (x, у) => ху.

2) Операция ассоциативна: (ху)z= x(уz) для всех x, у, z G.

3) С обладает нейтральным (единичным) элементом е: хе = еx = х для всех x G.

4) Для каждого элемента x G существует обратный x⁻¹ : x x⁻¹= x⁻¹x=e.

Несколько примеров групп:

1. 
   В полной линейной группе GL_n (R) рассмотрим подмножество SL_n(R) матриц с определителем 1:
   

SL_n(R) = {А GL_n (R) | det А = 1}.

Очевидно, что Е SL_n(R) .

det A=1, det B=1 => det AB=1

det A⁻¹= (det A)⁻¹= 1

Поэтому SL_n(R) — подгруппа в GL_n (R); она носит название специальной линейной

группы степени n над R. Её называют ещё и унимодулярной группой.

2. 
   Используя рациональные числа вместо вещественных, мы придём к полной линейной группе GL_n (Q) степени n над Q и к её подгруппе SL_n (Q). В свою очередь GL_n (Q) содержит интересную подгруппу GL_n (Z)
   
3. 
   Положив в примерах 1 и 2 n = 1, мы придём, во-первых, к мультипликативным группам
   

R^*=R\ {0} =G L₁(R), Q^* =Q\ {0} =G L₁(Q)

вещественных и рациональных чисел.

Теорема 1. Число неприводимых попарно неэквивалентных представлений конечной группы G над C равно числу её классов сопряжённых элементов.

Неприводимые представления

Определение 2. Пусть р: G GL (V)- некоторое линейное представление группы G. Представление р называется неприводимым, если пространство V отлично от нуля и не имеет G-инвариантных подпространств, кроме 0 и V. Это эквивалентно утверждению, что V не разлагается в прямую сумму двух представлений.

Определение 3.Пусть Р и Р'— два представления группы G; V и V' — соответствующие пространства представлений. Представления Р и Р' считаются эквивалентными, если существует изоморфизм J пространства V и V', такой, что Р' (s)( J)=J(Р (s)) для всех S G; эквивалентность может иметь место только в том случае, если основные поля пространств V и V'совпадают.

Определение 4. Конечная группа- алгебраическая группа, содержащая конечное число элементов (это число называется её порядком). Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в ней обозначается как умножение; аддитивные группы с операцией сложения оговариваются особо. Единицу мультипликативной группы будем обозначать символом 1.

Определение 5. Пусть G — произвольная (для определенности, мультипликативная) группа и а — один из ее элементов. Каждый элемент b вида g⁻'ag, гдеg G, называется сопряженным с а. (Условимся писать в этом случае b а.) Говорят еще, что элемент b получается трансформированием элемента а с помощью элемента g.

Отметим следующие свойства отношения сопряженности :

1. 
   Каждый элемент сопряжен самому себе, а а (рефлексивность отношения ),—так как а =e⁻¹ae.
   
2. 
   Если элемент b а, то а b (симметричность отношения ) — так как из равенства b =g⁻¹ag вытекает, что а = gbg⁻¹=( g⁻¹)⁻¹bg⁻¹.
   
3. 
   Если а b и b с; то a с (транзитивность отношения ).
   

Таким образом, отношение сопряженности рефлексивно, симметрично и транзитивно, а значит, оно является отношением эквивалентности и определяет разбиение группы С на непересекающиеся классы сопряженных между собой элементов.